12 命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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12命题及其关系充分条件与必要条件
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识梳理]
1.命题
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题中真假性的等价关系:
原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
(3)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提;
③对于有多个并列条件的命题,应把其中一个作为大前提.
3.充要条件
(1)集合与充要条件
(2)充分条件与必要条件的两个特征
①对称性:
若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”.
②传递性:
若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否定是“若綈p,则綈q”.( )
(3)若命题“若p,则q”为真命题,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
(4)“x>-1”是“x>0”的充分不必要条件.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.教材衍化
(1)(选修A1-1P6练习)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
答案 C
解析 若命题为“若p,则q”,命题的逆否命题为“若非q,则非p”,所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.故选C.
(2)(选修A1-1P12A组T3)x2-3x+2≠0是x≠1的________条件.
答案 充分不必要
解析 若x2-3x+2≠0则x≠1且x≠2,此时充分性成立,
当x=2时,满足x≠1,但此时x2-3x+2=0成立,即必要性不成立,
即x2-3x+2≠0是x≠1的充分不必要条件.
3.小题热身
(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 解法一:
∵数列{an}是公差为d的等差数列,
∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,
∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d.
若d>0,则21d>20d,10a1+21d>10a1+20d,
即S4+S6>2S5.
若S4+S6>2S5,则10a1+21d>10a1+20d,即21d>20d,
∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.
故选C.
解法二:
∵S4+S6>2S5⇔S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)⇔a6>a5⇔a5+d>a5⇔d>0,∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.故选C.
(2)(2017·山东潍坊高三期末)命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 B
解析 原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或5.
故其逆命题:
“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题.故选B.
题型1 四种命题的关系及真假判断
已知:
命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断.
答案 D
解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.
因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.故选D.
(2018·黄梅期末)给出下列命题:
①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题;
②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题;
③命题“若a>b>0,则
>
>0”的逆否命题;
④“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题的序号为________.
分清原命题的条件与结论写出所要命题,进行判断.
答案 ①②③
解析 ①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题是“若b2-4ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”,是真命题;
②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形,则AB=BC=CA”,是真命题;
>0”是真命题,∴它的逆否命题也是真命题;
④命题“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题是“若mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R,则m>1”是假命题,
∵不等式的解集为R时,
的解集为∅,∴逆命题是假命题;
∴真命题有①②③.
方法技巧
四种命题关系及真假判断的方法
1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.例如典例2.
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.例如冲关针对训练2.
冲关针对训练
1.(2018·陕西模拟)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
解析 先证原命题为真:
当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=
,∴原命题为真,故逆否命题为真;再证逆命题为假:
取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴逆命题为假,故否命题也为假.故选B.
2.(2017·沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有________(填序号).
①命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题;
③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
答案 ①②
解析 对于①,命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,它是真命题;对于②,命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”,它是真命题;对于③,命题“若A∩B=B,则A⊆B”是假命题,∴它的逆否命题也是假命题;综上,正确的命题是①②.
题型2 充分条件与必要条件的判定
角度1 利用定义判断充分、必要条件
(2018·赣中南五校联考)已知α,β均为第一象限角,那么α>β是sinα>sinβ的( )
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
利用定义结合代特殊值法进行判断.
解析 由α,β均为第一象限角,可取α=2π+
,β=
,有α>β,但sinα=sinβ,即α>β不是sinα>sinβ的充分条件;又由α,β均为第一象限角,可取α=
,β=2π+
,有sinα>sinβ成立,但α<β,即α>β不是sinα>sinβ的必要条件,综上所述,α>β是sinα>sinβ的既不充分也不必要条件.故选D.
角度2 等价转化法判断充分、必要条件
(2018·阳山模拟)“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的( )
A.必要不充分条件B.既不充分也不必要条件
C.充要条件D.充分不必要条件
用等价转化法.
答案 A
解析 由题意得:
∵命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”与命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题.
∴判断命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”的真假只要判断命题“若a+b=3,则a=1且b=2”的真假即可.
因为命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题.
所以命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”是假命题,
∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3.
同理“若a=1且b=2,则a+b=3”是真命题,
∴命题“若a+b≠3,则a≠1或b≠2”是真命题.
∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2.
∴“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件.故选A.
角度3 集合法判断充分、必要条件
(2017·天津高考)设θ∈R,则“
<
”是“sinθ<
”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
集合法.
解析 ∵
⇔-
<θ-
⇔0<θ<
,sinθ<
⇔θ∈
,k∈Z,
∴“
<
”是“sinθ<
”的充分而不必要条件.故选A.
角度4 探求结论成立的充分、必要条件
(2018·延安质检)函数f(x)=
有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A.a<0B.0C.1用数形结合法,集合法.答案 A解析 因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.观察选项,根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1}.故选A.方法技巧充分条件和必要条件的三种判断方法1.定义法:可按照以下三个步骤进行(1)确定条件p是什么,结论q是什么;(2)尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;(3)确定条件p和结论q的关系.见角度1典例.2.等价转化法:对于含否定形式的命题,如綈p是綈q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件.见角度2典例.3.集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件.见角度3典例.冲关针对训练1.(2018·石家庄模拟)命题p:|x|<1,命题q:x2+x-6<0,则綈p是綈q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 由|x|<1得-1-1-32.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.故选A.题型3 充分、必要条件的应用 (2018·石家庄模拟)设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.本题用集合法.答案 解析 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A=≤x≤1;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.所以綈p所对应的集合为∁RA=x<或x>1},綈q所对应的集合为∁RB={x|xa+1}.由綈p是綈q的必要不充分条件,知∁RB∁RA,所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是.[条件探究] 将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,则a的取值范围是什么?解 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A={x;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.由p是q的充分不必要条件,知AB,所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是. 方法技巧根据充要条件求解参数范围的常用方法充分、必要条件的应用,一般体现在参数范围的求解上,其常用方法和注意事项为:1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.见典例.2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 冲关针对训练已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.答案 [-1,6]解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.对于p,|x-a|<4,∴a-4对于q,2∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 解法一:由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.解法二:∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.4.(2018·豫南九校联考)已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.答案 [9,+∞)解析 解法一:由≤2,得-2≤x≤10,∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},设A={x|x>10或x<-2}.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,∴且不能同时取得等号.解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).解法二:∵綈p是綈q必要而不充分条件,∴q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},又由≤2,得-2≤x≤10,∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,∴且不能同时取等号,解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9,+∞).[基础送分提速狂刷练]一、选择题1.下列命题中是真命题的是( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③答案 B解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.3.(2018·曲阜模拟)已知p:函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C.4.下列命题正确的是( )A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“a>0,b>0”是“+≥2”的充分必要条件C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”D.命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x-1≥0答案 D解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则+≥2,又当a<0,b<0时,也有+≥2,所以“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,由此可知D正确.故选D.5.(2018·广东广州质检)已知p:∃x>0,ex-ax<1成立,q:函数f(x)=-(a-1)x在R上是减函数,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x>0,ex-ax<1成立,则∃x>0,使得exa>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q:a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B.6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a:“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-,f(-x)=sin(-x)-=-sinx+=-=-f(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)=sinx-+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sinx-+a=2a,故a=0,所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的充要条件.故选C.8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )A.b≥B.b<C.a≤D.a>答案 A解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
C.
1
用数形结合法,集合法.
解析 因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.
观察选项,根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1}.故选A.
充分条件和必要条件的三种判断方法
1.定义法:
可按照以下三个步骤进行
(1)确定条件p是什么,结论q是什么;
(2)尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;
(3)确定条件p和结论q的关系.见角度1典例.
2.等价转化法:
对于含否定形式的命题,如綈p是綈q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件.见角度2典例.
3.集合法:
根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件.见角度3典例.
1.(2018·石家庄模拟)命题p:
|x|<1,命题q:
x2+x-6<0,则綈p是綈q成立的( )
解析 由|x|<1得-1-1-32.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.故选A.题型3 充分、必要条件的应用 (2018·石家庄模拟)设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.本题用集合法.答案 解析 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A=≤x≤1;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.所以綈p所对应的集合为∁RA=x<或x>1},綈q所对应的集合为∁RB={x|xa+1}.由綈p是綈q的必要不充分条件,知∁RB∁RA,所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是.[条件探究] 将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,则a的取值范围是什么?解 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A={x;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.由p是q的充分不必要条件,知AB,所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是. 方法技巧根据充要条件求解参数范围的常用方法充分、必要条件的应用,一般体现在参数范围的求解上,其常用方法和注意事项为:1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.见典例.2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 冲关针对训练已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.答案 [-1,6]解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.对于p,|x-a|<4,∴a-4对于q,2∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 解法一:由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.解法二:∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.4.(2018·豫南九校联考)已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.答案 [9,+∞)解析 解法一:由≤2,得-2≤x≤10,∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},设A={x|x>10或x<-2}.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,∴且不能同时取得等号.解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).解法二:∵綈p是綈q必要而不充分条件,∴q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},又由≤2,得-2≤x≤10,∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,∴且不能同时取等号,解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9,+∞).[基础送分提速狂刷练]一、选择题1.下列命题中是真命题的是( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③答案 B解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.3.(2018·曲阜模拟)已知p:函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C.4.下列命题正确的是( )A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“a>0,b>0”是“+≥2”的充分必要条件C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”D.命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x-1≥0答案 D解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则+≥2,又当a<0,b<0时,也有+≥2,所以“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,由此可知D正确.故选D.5.(2018·广东广州质检)已知p:∃x>0,ex-ax<1成立,q:函数f(x)=-(a-1)x在R上是减函数,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x>0,ex-ax<1成立,则∃x>0,使得exa>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q:a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B.6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a:“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-,f(-x)=sin(-x)-=-sinx+=-=-f(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)=sinx-+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sinx-+a=2a,故a=0,所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的充要条件.故选C.8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )A.b≥B.b<C.a≤D.a>答案 A解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
-1-32.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.故选A.题型3 充分、必要条件的应用 (2018·石家庄模拟)设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.本题用集合法.答案 解析 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A=≤x≤1;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.所以綈p所对应的集合为∁RA=x<或x>1},綈q所对应的集合为∁RB={x|xa+1}.由綈p是綈q的必要不充分条件,知∁RB∁RA,所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是.[条件探究] 将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,则a的取值范围是什么?解 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A={x;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.由p是q的充分不必要条件,知AB,所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是. 方法技巧根据充要条件求解参数范围的常用方法充分、必要条件的应用,一般体现在参数范围的求解上,其常用方法和注意事项为:1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.见典例.2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 冲关针对训练已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.答案 [-1,6]解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.对于p,|x-a|<4,∴a-4对于q,2∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 解法一:由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.解法二:∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.4.(2018·豫南九校联考)已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.答案 [9,+∞)解析 解法一:由≤2,得-2≤x≤10,∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},设A={x|x>10或x<-2}.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,∴且不能同时取得等号.解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).解法二:∵綈p是綈q必要而不充分条件,∴q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},又由≤2,得-2≤x≤10,∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,∴且不能同时取等号,解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9,+∞).[基础送分提速狂刷练]一、选择题1.下列命题中是真命题的是( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③答案 B解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.3.(2018·曲阜模拟)已知p:函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C.4.下列命题正确的是( )A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“a>0,b>0”是“+≥2”的充分必要条件C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”D.命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x-1≥0答案 D解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则+≥2,又当a<0,b<0时,也有+≥2,所以“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,由此可知D正确.故选D.5.(2018·广东广州质检)已知p:∃x>0,ex-ax<1成立,q:函数f(x)=-(a-1)x在R上是减函数,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x>0,ex-ax<1成立,则∃x>0,使得exa>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q:a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B.6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a:“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-,f(-x)=sin(-x)-=-sinx+=-=-f(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)=sinx-+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sinx-+a=2a,故a=0,所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的充要条件.故选C.8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )A.b≥B.b<C.a≤D.a>答案 A解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
-32.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.故选A.题型3 充分、必要条件的应用 (2018·石家庄模拟)设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.本题用集合法.答案 解析 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A=≤x≤1;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.所以綈p所对应的集合为∁RA=x<或x>1},綈q所对应的集合为∁RB={x|xa+1}.由綈p是綈q的必要不充分条件,知∁RB∁RA,所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是.[条件探究] 将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,则a的取值范围是什么?解 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},解|4x-3|≤1,得≤x≤1,故A={x;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.由p是q的充分不必要条件,知AB,所以解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是. 方法技巧根据充要条件求解参数范围的常用方法充分、必要条件的应用,一般体现在参数范围的求解上,其常用方法和注意事项为:1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.见典例.2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 冲关针对训练已知p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.答案 [-1,6]解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件.对于p,|x-a|<4,∴a-4对于q,2∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 解法一:由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.解法二:∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.4.(2018·豫南九校联考)已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.答案 [9,+∞)解析 解法一:由≤2,得-2≤x≤10,∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},设A={x|x>10或x<-2}.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,∴且不能同时取得等号.解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).解法二:∵綈p是綈q必要而不充分条件,∴q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},又由≤2,得-2≤x≤10,∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,∴且不能同时取等号,解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9,+∞).[基础送分提速狂刷练]一、选择题1.下列命题中是真命题的是( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③答案 B解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.3.(2018·曲阜模拟)已知p:函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C.4.下列命题正确的是( )A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“a>0,b>0”是“+≥2”的充分必要条件C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”D.命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x-1≥0答案 D解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则+≥2,又当a<0,b<0时,也有+≥2,所以“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,由此可知D正确.故选D.5.(2018·广东广州质检)已知p:∃x>0,ex-ax<1成立,q:函数f(x)=-(a-1)x在R上是减函数,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x>0,ex-ax<1成立,则∃x>0,使得exa>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q:a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B.6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a:“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-,f(-x)=sin(-x)-=-sinx+=-=-f(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)=sinx-+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sinx-+a=2a,故a=0,所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的充要条件.故选C.8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )A.b≥B.b<C.a≤D.a>答案 A解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
2.(2016·四川高考)设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:
实数x,y满足
则p是q的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
解析 如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.故选A.
题型3 充分、必要条件的应用
(2018·石家庄模拟)设命题p:
|4x-3|≤1;命题q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
本题用集合法.
解析 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.解|4x-3|≤1,得
≤x≤1,故A=
≤x≤1;解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.
所以綈p所对应的集合为∁RA=
x<
或x>1},綈q所对应的集合为∁RB={x|xa+1}.
由綈p是綈q的必要不充分条件,知∁RB∁RA,所以
解得0≤a≤
.
故所求实数a的取值范围是
[条件探究] 将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,则a的取值范围是什么?
解 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
解|4x-3|≤1,得
≤x≤1,故A={x
;
解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.
由p是q的充分不必要条件,知AB,
所以
根据充要条件求解参数范围的常用方法
充分、必要条件的应用,一般体现在参数范围的求解上,其常用方法和注意事项为:
1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.见典例.
2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
已知p:
|x-a|<4;q:
(x-2)(3-x)>0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为________.
答案 [-1,6]
解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件.
对于p,|x-a|<4,∴a-4对于q,2∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 解法一:由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.解法二:∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.4.(2018·豫南九校联考)已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.答案 [9,+∞)解析 解法一:由≤2,得-2≤x≤10,∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},设A={x|x>10或x<-2}.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,∴且不能同时取得等号.解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).解法二:∵綈p是綈q必要而不充分条件,∴q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},又由≤2,得-2≤x≤10,∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,∴且不能同时取等号,解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9,+∞).[基础送分提速狂刷练]一、选择题1.下列命题中是真命题的是( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③答案 B解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.3.(2018·曲阜模拟)已知p:函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C.4.下列命题正确的是( )A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“a>0,b>0”是“+≥2”的充分必要条件C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”D.命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x-1≥0答案 D解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则+≥2,又当a<0,b<0时,也有+≥2,所以“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,由此可知D正确.故选D.5.(2018·广东广州质检)已知p:∃x>0,ex-ax<1成立,q:函数f(x)=-(a-1)x在R上是减函数,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x>0,ex-ax<1成立,则∃x>0,使得exa>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q:a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B.6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a:“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-,f(-x)=sin(-x)-=-sinx+=-=-f(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)=sinx-+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sinx-+a=2a,故a=0,所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的充要条件.故选C.8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )A.b≥B.b<C.a≤D.a>答案 A解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
对于q,2∴(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 解法一:由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ,使得m=λn,则m与n反向共线,θ=180°,∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.解法二:∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 D解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.4.(2018·豫南九校联考)已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.答案 [9,+∞)解析 解法一:由≤2,得-2≤x≤10,∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},设A={x|x>10或x<-2}.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,∴且不能同时取得等号.解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).解法二:∵綈p是綈q必要而不充分条件,∴q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件,由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},又由≤2,得-2≤x≤10,∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,∴且不能同时取等号,解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9,+∞).[基础送分提速狂刷练]一、选择题1.下列命题中是真命题的是( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③答案 B解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.3.(2018·曲阜模拟)已知p:函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C.4.下列命题正确的是( )A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题B.“a>0,b>0”是“+≥2”的充分必要条件C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”D.命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x-1≥0答案 D解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则+≥2,又当a<0,b<0时,也有+≥2,所以“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,由此可知D正确.故选D.5.(2018·广东广州质检)已知p:∃x>0,ex-ax<1成立,q:函数f(x)=-(a-1)x在R上是减函数,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x>0,ex-ax<1成立,则∃x>0,使得exa>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q:a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B.6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a:“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-,f(-x)=sin(-x)-=-sinx+=-=-f(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)=sinx-+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sinx-+a=2a,故a=0,所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的充要条件.故选C.8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )A.b≥B.b<C.a≤D.a>答案 A解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
∴
(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.
1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ,使得m=λn,
则m与n反向共线,θ=180°,
∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.
当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.
∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.
∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.
反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0
⇔〈m,n〉∈
,
当〈m,n〉∈
时,m,n不共线.
2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.
3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.
4.(2018·豫南九校联考)已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.
答案 [9,+∞)
由
≤2,得-2≤x≤10,
∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},
设A={x|x>10或x<-2}.
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),
∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},
设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.
∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,
且不能同时取得等号.
解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).
∵綈p是綈q必要而不充分条件,
∴q是p的必要而不充分条件,
即p是q的充分而不必要条件,
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},
设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},
又由
∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,
且不能同时取等号,解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9,+∞).
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1.下列命题中是真命题的是( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若x-3
是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②B.①③
C.②③D.①②③
解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.
2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )
A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤b
C.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c
解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.
3.(2018·曲阜模拟)已知p:
函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:
函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )
解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C.
4.下列命题正确的是( )
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“a>0,b>0”是“
+
≥2”的充分必要条件
C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”
D.命题p:
∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:
∀x∈R,x2+x-1≥0
解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则
≥2,又当a<0,b<0时,也有
≥2,所以“a>0,b>0”是“
≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,由此可知D正确.故选D.
5.(2018·广东广州质检)已知p:
∃x>0,ex-ax<1成立,q:
函数f(x)=-(a-1)x在R上是减函数,则p是q的( )
解析 若∃x>0,ex-ax<1成立,则∃x>0,使得exa>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q:a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B.6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a:“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-,f(-x)=sin(-x)-=-sinx+=-=-f(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)=sinx-+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sinx-+a=2a,故a=0,所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的充要条件.故选C.8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )A.b≥B.b<C.a≤D.a>答案 A解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
a>1;若函数f(x)=-(a-1)x是减函数,则a-1>1,则a>2,则q:
a>2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件.故选B.
6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:
A,B的体积不相等,q:
A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )
解析 设命题a:
“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:
“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.
7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数”的( )
解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-
,f(-x)=sin(-x)-
=-sinx+
=-
=-f(x),故f(x)为奇函数;
反之,当f(x)=sinx-
+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,
又f(-x)+f(x)=sin(-x)-
+a+sinx-
+a=2a,故a=0,
所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数”的充要条件.故选C.
8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )
A.b≥
B.b<
C.a≤
D.a>
解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
∴|2x+2|∴.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
.∵|x+1|∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
∵|x+1|
∴-b-1∵|f(x)-1|0),∴⊆(-b-1,b-1).∴解得b≥.故选A.9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
∵|f(x)-1|0),
⊆(-b-1,b-1).
解得b≥
.故选A.
9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的(
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