直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案.docx
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直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
羄直线、平面平行的判定及其性质
1.
2.薂下列命题中，正确命题的是④.
肇①若直线I上有无数个点不在平面：
.内，则I//：
•；
芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；
莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:
.内的任意一条直线都没有公共点
3.
4.芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）
肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面
蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③
5.
5.腿对于平面和共面的直线mn,下列命题中假命题是（填序号）
肇①若mL用,m丄n,贝Vn/、丄
薁②若mil:
-,n//:
•，贝Vm//n
膂③若m二：
z,n//:
•，贝Um//n
芇④若mn与：
•所成的角相等，则m//n答案①②④
7.
6.膄已知直线a,b,平面「，则以下三个命题：
芃①若a//b,b二：
乂，则a//⑶
袁②若a//b,a//芒,贝Ub//芒;
莆③若a//：
•,b//:
-,则a//b.
薅其中真命题的个数是答案0
9.
7.羅直线a//平面M直线bM那么a//b是b〃M的条件.
蚀A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.不充分也不必要
11.
12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是
肆A.a広a,bua，a//bpbua，a//b
蒃C.bua，c//a，a//b，a//c
葿D.bu口，A^a，B£a，C^b，Deb且AC=BD
13.
14.薆如果直线a平行于平面?
则
蒇A.平面?
内有且只有一直线与a平行B.平面〉内无数条直线与a平行
膅C.平面〉内不存在与a平行的直线D.平面〉内的任意直线与直线a都平行
15.
15.蒂如果两直线a//b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系
蚆A.相交b.b〃°c.匕匚口D.b〃°或bu°
17.
16.薄下列命题正确的个数是
19.
17.蚃
（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I//a
芁
（2）若直线l与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行
蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
羅（4）若一直线a和平面a内一直线b平行，则a//a
莄A.0个B.1个C.2个D.3个
21.
22.罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/a是
肀A.b与a内的一条直线不相交B.b与a内的两条直线不相交
莅C.b与a内的无数条直线不相交D.b与a内的所有直线不相交
23.
23.螂已知两条相交直线a、b,a//平面a,则b与a的位置关系
肂A.b/aB.b与a相交C.b」aD.b/a或b与a相交
25.
24.膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC,SGSAB
上的高，DE、F分别是ACBCSC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.
螆解SG//平面DEF证明如下：
薄方法一：
三角形中位线连接CG交
螁•••DE是厶ABC的中位线，
芀•••DE//AB.
腿在△ACG中,D是AC的中点，
羂且DH//AG
薀•H为CG的中点.
艿•FH是厶SCG的中位线，
芄•FH//SG
蚄又SG亿平面DEFFHU平面DEF,
荿•••SG//平面DEF
荿方法二：
平面平行的性质
蚅•••EF为厶SBC的中位线，•EF/SB
膂•••EF伉平面SABSBu平面SAB
莂•EF//平面SAB
葿同理可证，DF//平面SABEFADF=F,
肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB•SG//平面DEF
27.
25.袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、GH分别是BCCG、
賺CD、A1A的中点.求证：
蕿
（1）BF/HD;
蒇
（2）EG//平面BBDD;
莁（3）平面BDF/平面BDH
袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性
虿
（1）如图所示，取BB的中点M易证四边形
蚄又•••MC/BF,「.BF/HD.
肃
（2）取BD的中点0,连接E0,D0,贝UOE^
蚈又DG&Idc•OE^dg
2
蝿.••四边形OEGD是平行四边形，•GE//DO.
肄又D0-平面BBDD,•EG/平面BBDD.
蒁（3）由
（1）知DH//BF,又BD//BD,BD、HD=平面HBD,BF、BH平面BDF,且
BDAHD=D,DBABF=B,「.平面BDF//平面BDH.
29.
26.螁如图所示，在三棱柱ABC-AiBC中，MN分别是BC和AiBi的中点.衿求证：
MN//平面AACC.
蒅证明方法一：
平行四边形的性质
膃设AC中点为F,连接NF,FC,
蒀•••N为AiBi中点,
衿•••NF//BQ,且NF=^BCi,
2
祎又由棱柱性质知BiCi庄BC
蚁又M是BC的中点，
艿•NFMC
羈.••四边形NFCM^平行四边形.
芇•MIN/CF,又CF平面AACi,MN二平面AAC,•MIN/平面AACC.莃方法二：
三角形中位线的性质
节连接AM交CC于点P,连接AiP,肇TM是BC的中点，且MC/BiCi,
莄•M是BiP的中点,
肅又•••N为AB中点,
肁•MN//AP,又APU平面AAC,MW平面AAC,：
MIN/平面AACC.
膈方法三：
平面平行的性质螅设BiG中点为Q连接NQMQ,
薃•••MQ是BGBG的中点，
袀•••MQCG,又CGu平面AAGC,MQ伉平面AAGC,
芈•••MQ/平面AACiC.
膆•••N、Q是ABi、BiC的中点,
芅•NQ二AQ,又AiC二平面AACC,NQ二平面AACC,
蕿•NQ//平面AACiC.
莈又•••MQPNQB,「.平面MNQ平面AACC,
薇又MN二平面MNQ.MIN/平面AACC.
3i.
32.螂如图所示，正方体ABC—ABiCD中，侧面对角线AB,BC上分别有两点E,F,且BE=CF.
蚁求证：
EF//平面ABCD
蒈方法一：
平行四边形的性质
BlG
螃过E作ES//BB交AB于S,过F作FT//BB交BC于T,
蒄连接ST,则-AE更，且
ABiBiBBCiCiC
莀TBiE=CF,BA=CB,.AE=BF
蒈•••旦,•••ES=FT
Bibcci
膄又•••ES//BB//FT,.四边形EFTS为平行四边形
袂•••EF//ST,又ST=平面ABCDEFC：
平面ABCD：
EF//平面ABCD
腿方法二：
相似三角形的性质
薈连接BF交BC于点Q连接AQ
薅•••BQ//BC,•B1L=圧
BQC1B
膂•EF//AQ又AQ=平面ABCDEF二平面ABCD•-EF//平面ABCD
蚇方法三：
平面平行的性质
羆过E作EG/AB交BB于G,
肂连接GF,则B11史£,
B1AB1B
羁tBiE=CiF,BA=CB,
螇•••CiE=BiG,•fg//BlCi//BCC1BBiB
莇又EGAFGpG,ABABC=B,
螄.••平面EFG/平面ABCD而EF二平面EFG
螀•EF//平面ABCD
33.
34.袇如图所示，在正方体ABC—ABiCD中，O为底面ABCD的中心,P是DD的中点，设
AB
DBQ//平面PAO
Q是CC上的点，问：
当点Q在什么位置时，平面
蒄解面面平行的判定
节当Q为CC的中点时，
葿平面DBQ//平面PAO
羇•••Q为CG的中点，P为DD的中点，•••QB//PA
袅：
P、O为DD、DB的中点，•DB//PO
羄又POPPA=P,DBAQB=B,
薂DB//平面PAOQB//平面PAO
肇.••平面DBQ//平面PAO
芆直线与平面平行的性质定理
35.
A
C
36.莁如图所示，四边形
EFGH为空间四边形ABCD勺一个截面，若截面为平行四边形
芀
（1）求证：
AB//平面EFGHCD//平面EFGH
肇
（2）若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围
蚆
（1）证明•••四边形EFGH为平行四边形，•EF//HG
膃•••HX平面ABD•EF//平面ABD
聿•••EF平面ABC平面ABDA平面ABCAB
腿•EF//AB.•AB//平面EFGH
肇同理可证，CD//平面EFGH
薁⑵解设EF=x（Ovxv4），由于四边形EFGH为平行四边形,
膂•••CF=x则FG=BF=BC-CF=1-x.从而fG=6-x.•••四边形EFGH的周长CB46BCBC42
38.芇如图所示，平面：
•//平面［，点A€:
.,C€「，点B€1,D€［，点E,F分别在线段ABCD上，且AE：
EB=CF：
FD
膄
（1）求证：
EF/-;
:
./:
:
.门平面ACDHAC,
薆•••AC//DH,•••四边形ACDH是平行四边形,
蒇在AH上取一点G,使AG：
GH=CF：
FD,
膅又•••AE：
EB=CF：
FD,•GF//HDEG//BH
蒂又EGAGFG,•平面EFG//平面-
蚆•••EF平面EFG•-EF/l综上,EF//I
薄
（2）解三角形中位线
蚃如图所示，连接AD,取AD的中点M连接MEMF.
芁•••E,F分别为AB,CD的中点，
蚆•••ME//BD,MF//AC,
羅且m^Zbgb,MF=LAC=2,
22
莄•••/EMF为AC与BD所成的角（或其补角），
罿EMF=60。
或120°,
肀.••在△EFM中由余弦定理得，
莅EF=ME2MF2_2ME«MF.cos.EMF
=,3222_2321=、.13_6
V2
螂即EF=.7或EF=,19.
39.
40.肂正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有
膀求证：
PQ//平面BCE
P、Q且AF=DQ
螆证明方法一：
平行四边形的性质
作QN/AB交BC于N,连接MN
如图所示，作PM/AB交BE于M
薄•••正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB•AE=BD
螁又TAP=DQ•PE=QB
芀又•••PM//AB//QN
腿...PMPEQN=BQ
ABAE'DCBD'
PMQN
AB_DC,
•PMQN,
羂.••四边形PMNQ^平行四边形，•PQ//MN
薀又MNu平面BCEP2平面BCE
艿•••PQ//平面BCE
芄方法二：
相似三角形的性质如图所示，连接AQ并延长交BC于K,连接EK
蚄TAE=BD,AF=DQ
荿••PE=BQ
荿•AP=DQ
成…—
PEBQ
蚅又•••AD//BK•-竺—竺
BQQK
膂由①②得竺-竺，.•.PQ/EK
肆方法三：
平面平行的性质
如图所示，在平面ABEF内，过点P作
PEQK
莂又PQ二平面BCEEK二平面BCE
葿•PQ//平面BCE
PM//BE,交AB于点M
袄连接QM
賺•••PM//BE,PM二平面BCE
蕿即PM//平面BCE
.APAM蒇…———
PEMB
莁又TAP—DQ••PE—BQ
AP_DQ
PEBQ
虿由①②得如=匹，MQ/AD
MBBQ
蚀•••MQ/BC,又TMQ：
平面BCE二MQ/平面BCE
肀又•••PMHMQM,•平面PMQ平面BCE
螅PQ二平面PMQ•PQ//平面BCE
41.
42.
螅如图所示，正四棱锥P—ABCD勺各棱长均为13,MN分别为PABD上的点，且PM：
MA=BN：
ND=5:
8.
（1）求证：
直线MN/平面PBC
（2）求线段MN的长.
（1）证明：
方法一：
相似三角形的性质
袅连接AN并延长交BC于Q
蒂连接PQ如图所示.
艿•••AD//BQAND^QNB
士.ANDNAD8
愛・・,
NQNBBQ5
羅又PM=BN=5
MAND8'
袂...AM=AN=8,.“IN/PQ
MPNQ5
螇又•••PQ二平面PBCMN二平面PBC
莅•MIN/平面PBC
肅方法二：
平行四边形的性质
C
芃如图所示，作MQAB交PB于Q,作NR//AB交BC于R,连接QR.
葿•••MQ/AB//NR
莈MQ,NR_BNPA一AB'DC一而
pPMBN#
膅又T,•••MQNR,
交AB于点O,
MAND
蒀.••四边形MNR为平行四边形，•MIN/QR.
賺又QR二平面PBC,MN二平面PBC,
腿•MN/平面PBC
芄方法三：
平面平行的性质
袁如图所示，在平面ABP内，过点M作MN/PB，
蕿连接ON.
祎•••MO/PB,MO二平面PBC,PB二平面PBC
芄即MO/平面PBC,
节•.AM=AO
APAB
莁又...PM=BN=5
MAND8
蚅•.AO=DN,
ABDB
莄•NO//AD,
蚃•NO//BC,又.NO二平面PBC,BC二平面PBC\NO//平面PBC蝿又•••M5NO=Qa平面MNO平面PBC,
蚈MN平面MNO：
MIN/平面PBC
蒄
（2）解在等边△PBC中，/PBC=60°,
螀在△PBQ中由余弦定理知PC2=PB2+BC2-2PB•BCCos/PBQ
蒁=132+65-2X13X65X1=8281PQ=91,
（8丿82648
蒇•••MIN/PQMN：
PQ=8:
13,：
Ml#-91X2=7.
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