一个肿瘤化疗模型的几种求解方法.docx

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一个肿瘤化疗模型的几种求解方法

一个肿瘤化疗模型的几种求解方法

【摘要】分别利用Bernoulli方程，Riccati方程求解方法和Mathematica软件，讨论一个肿瘤化疗模型的通解。

【关键词】肿瘤化疗模型;分离变量法;Bernoulli方程;Riccati方程;Mathematica软件

在文献[1]第5章第6节中，作者以自然生长模型为基础，建立了一个简单的肿瘤化疗模型：

　　x′x=（r-kx）-smx

（1）

　　研究药物剂量对肿瘤生长的影响，其中x是时间t的的函数，表示肿瘤的大小，m,r,k,s均为正常数，m是药物剂量，r是肿瘤细胞的活力常数，k与肿瘤细胞的生长环境即患者的免疫力有关，s则与药物的功效有关。

　　文献[1]用分离变量法求解方程

（1）,得到方程

（1）的通解:

当药物剂量mr24ks时，x（t）=l+ωtan（ω（c-kt））。

其中λ1=r-r2-4ksm2k,λ2=r+r2-4ksm2k,λ=r2k,l=r2k,ω=smk-（r2k）2

　　如无特殊声明，本研究λ1、λ2、λ3、l、ω都特指上面的数值。

c、C1、C2表示积分常数。

　　由方程的通解，文献[1]推断出：

若用小剂量mr24ks化疗中消除病灶。

因此这个模型在药理学、病理学的研究及模拟治疗实验中都是极其有价值的。

　　本研究分别利用Bernoulli方程，Riccati方程求解方法和Mathematica软件，讨论这个肿瘤化疗模型的通解，给出方程

（1）除了分离变量法以外的的几种新的求解方法，供教师在教学过程中参考，让同学们拓展思维，综合应用已经学过的知识，并学习求解微分方程的新知识。

　　2方程

（1）的几种新的求解方法

　　文献[2]中介绍了Bernoulli方程求解方法。

Riccati方程求解方法可参考文献[3，4]。

利用Mathematica软件，可以在计算机上求解微分方程[5]。

下面利用这三种方法计论主程

（1）的通解。

　　2.1化为Bernoulli方程求解

　　把方程

（1）变形为x′=-kx2+rx-sm，作变换y=x-a，代入方程得到y′=-ky2-（2ka-r）y-ka2+ra-sm

　　令二述方程的常数项为零，有

　　-ka2+ra-sm=0

　　若m

　　y′=-ky2+r2-4ksm

　　解得

　　1y=cke-r2-4ksmt+kr2-4ksm

　　从而方程

（1）的通解

　　x=λ1+r2-4ksmk+cke-r2-4ksmt

　　=λ1+r2-4ksmk11+cer2-4ksmt

　　因为λ2=r+r2-4ksm2k,所以r2-4ksmk=λ2-λ1，故上式就是文献[1]中解

　　x=λ1+λ2-λ11-ce-k（λ2-λ1）t

　　类似地，若m=r24ks，由变换y=x-λ可以把方程

（1）化为y′=-ky2,解得1y=kt+c，从而得到方程

（1）的通解x=λ+1c+kt,与文献[1]结论一致。

　　2.2利用Riccati方程求解法求解

　　形如dxdt=a（t）x2+b（t）x+c（t）的方程，其中a（t）≠0,c（t）≠0,称为黎卡提（Riccati）方程。

它的解法是通过变化x（t）=ω′（t）a（t）ω（t），化为二阶线性方程

　　ω″（t）-a′（x）a（x）+b（x）ω′（t）+a（t）c（t）ω（t）=0

　　把方程

（1）变形为x′=-kx2+rx-sm，具有Riccati方程的形式，再作变换

　　x（t）=ω′（t）kω（t）

（2）

　　把它化为二阶常系数线性齐次方程

　　ω″（t）-rω′（t）+ksmω（t）=0（3）

　　若m

　　μ1=r-r2-4ksm2=λ1k,μ2=r+r2-4ksm2k=λ2k

　　（3）的通解为

　　ω（t）=C1eλ1kt+C2eλ2kt

　　代入变换

（2）作适当变形，得到方程

（1）的通解

　　x（t）=1kC1λ1keλ1kt+C2λ2keλ2ktC1eλ1kt+C2eλ2kt=λ1+（λ2-λ1）1+ce-k（λ2-λ1）t

　　其中c=C1/C2　　m=r24ks，则方程（3）有两个相等的实特征根μ=r2=kλ其通解为

　　ω（t）=（C1+C2t）ekλt

　　代入变换

（2）作适当变形，得到方程（4）的通解

　　x（t）=1kC1kλekλt+C2tkλekλt+C2ekλtC1ekλt+C2tekλt=λ+1c+kt

　　其中c=kC1/C2

　　若m>r24ks，则方程（3）有一对共轭复根

　　μ1，2=r±i-r2+4ksm2=lk±ωki,

　　其通解为

　　ω（t）=elkt（C1cos（ωkx）+C2sin（ωkx））

　　代入变换

（2）作适当变形，得到方程

（1）的通解

　　x（t）=elktk（（lkC1+ωkC2）cos（ωkt）+（lkC2-ωkC1）sin（ωkt））elkt（C1cos（ωkt）+C2sin（ωkt））=l+ωtan（ω（c-kt））

　　其中c=1ωarctanC2C1

　　2.3利用Mathematica软件计算

　　利用Mathematica软件，可以在计算机上直接求解微分方程[5]。

　　当m

　　x′=-k（x-λ1）（x-λ2），运行命令

　　ln[1]:

=Dsolve[x′[t]=-kx[t]^2+k（λ1+λ2）x[t]-kλ1λ2,x[t],t]

　　输出结果

　　Out[1]:

={{x[t]→-ektλ1+c

（1）λ2λ1+ec

（1）λ1+ktλ2λ2ec

（1）λ1+ktλ2-ektλ1+c

（1）λ2}}

　　即方程

（1）有通解

　　x（t）=-λ1ektλ1+c1λ2+λ2ektλ2+C1λ1ektλ2+C1λ1-ektλ1+Cλ2=λ1+λ2+λ11-ce-k（λ2-λ1）t

　　其中c=eC1（λ2-λ1）

　　当m=r24ks时，把方程

（1）写成

　　x′x=（r-kx）-sr24ks，运行命令

　　ln[2]:

=Dsolve[x′[t]/x[t]=r-kx[t]-sr^2/（4ksx[t]）,x[t],t]