一个肿瘤化疗模型的几种求解方法.docx

1、一个肿瘤化疗模型的几种求解方法一个肿瘤化疗模型的几种求解方法【摘要】 分别利用 Bernoulli 方程， Riccati 方程求解方法和 Mathematica 软件，讨论一个肿瘤化疗模型的通解。 【关键词】 肿瘤化疗模型; 分离变量法; Bernoulli 方程; Riccati 方程; Mathematica 软件在文献1第5章第6节中，作者以自然生长模型为基础，建立了一个简单的肿瘤化疗模型：xx=(r-kx)-smx(1)研究药物剂量对肿瘤生长的影响，其中 x 是时间 t 的的函数，表示肿瘤的大小，m ,r,k,s 均为正常数， m 是药物剂量， r 是肿瘤细胞的活力常数， k 与肿瘤

2、细胞的生长环境即患者的免疫力有关， s 则与药物的功效有关。文献1用分离变量法求解方程 (1), 得到方程( 1 )的通解 : 当药物剂量mr24ks时，x(t)=l+tan(c-kt)。其中1=r-r2-4ksm2k,2=r+r2-4ksm2k,=r2k,l=r2k,=smk-(r2k)2如无特殊声明，本研究1、2、3、l、 都特指上面的数值。 c、C1、C2 表示积分常数。由方程的通解，文献1 推断出：若用小剂量mr24ks化疗中消除病灶。因此这个模型在药理学、病理学的研究及模拟治疗实验中都是极其有价值的。本研究分别利用 Bernoulli 方程， Riccati 方程求解方法和 Math

3、ematica 软件，讨论这个肿瘤化疗模型的通解，给出方程( 1 )除了分离变量法以外的的几种新的求解方法，供教师在教学过程中参考，让同学们拓展思维，综合应用已经学过的知识，并学习求解微分方程的新知识。2 方程( 1 )的几种新的求解方法文献2 中介绍了 Bernoulli 方程求解方法。 Riccati 方程求解方法可参考文献3，4 。利用Mathematica软件，可以在计算机上求解微分方程5。下面利用这三种方法计论主程(1)的通解。2.1 化为Bernoulli方程求解把方程(1)变形为x=-kx2+rx-sm，作变换y=x-a，代入方程得到y=-ky2-(2ka-r)y-ka2+ra-

4、sm令二述方程的常数项为零，有-ka2+ra-sm=0若my=-ky2+r2-4ksm解得1y=cke-r2-4ksmt+kr2-4ksm从而方程(1)的通解x=1+r2-4ksmk+cke-r2-4ksmt=1+r2-4ksmk 11+cer2-4ksmt因为2=r+r2-4ksm2k,所以r2-4ksmk=2-1，故上式就是文献1中解x=1+2-11-ce-k(2-1)t类似地，若m=r24ks，由变换y=x-可以把方程(1)化为y=-ky2,解得1y=kt+c，从而得到方程(1)的通解x=+1c+kt,与文献1结论一致。2.2 利用Riccati方程求解法求解形如dxdt=a(t)x2+

5、b(t)x+c(t)的方程，其中a(t)0,c(t)0,称为黎卡提(Riccati)方程。它的解法是通过变化x(t)=(t)a(t)(t)，化为二阶线性方程(t)-a(x)a(x)+b(x)(t)+a(t)c(t)(t)=0把方程(1)变形为x=-kx2+rx-sm，具有Riccati方程的形式，再作变换x(t)=(t)k(t)(2)把它化为二阶常系数线性齐次方程(t)-r(t)+ksm(t)=0(3)若m1=r-r2-4ksm2=1k, 2=r+r2-4ksm2k=2k(3)的通解为(t)=C1e1kt+C2e2kt代入变换(2)作适当变形，得到方程(1)的通解x(t)=1k C11ke1k

6、t+C22ke2ktC1e1kt+C2e2kt=1+(2-1)1+ce-k(2-1)t其中c=C1 / C2m=r24ks，则方程(3)有两个相等的实特征根=r2=k其通解为(t)=(C1+C2t)ekt代入变换(2)作适当变形，得到方程(4)的通解x(t)=1k C1kekt+C2tkekt+C2ektC1ekt+C2tekt=+1c+kt其中c=k C1 / C2若m>r24ks，则方程(3)有一对共轭复根1，2=ri -r2+4ksm2=lkki ,其通解为(t)=elkt(C1cos(kx)+C2sin(kx)代入变换(2)作适当变形，得到方程(1)的通解x(t)=elktk (

7、lkC1+kC2)cos(kt)+(lkC2-kC1)sin(kt)elkt(C1cos(kt)+C2sin(kt)=l+tan(c-kt)其中c=1arctanC2C12.3 利用Mathematica软件计算利用Mathematica软件，可以在计算机上直接求解微分方程5。当mx=-k(x-1)(x-2)，运行命令ln1: =Dsolvext=-kxt 2+k(1+2)xt-k12,xt,t输出结果Out1: =xt-ekt1+c(1)21+ec(1)1+kt22ec(1)1+kt2-ekt1+c(1)2即方程(1)有通解x(t)=-1ekt1+c12+2ekt2+C11ekt2+C11-ekt1+C2=1+2+11-ce-k(2-1)t其中c=eC1(2-1)当m=r24ks时，把方程(1)写成xx=(r-kx)-sr24ks，运行命令ln2: =Dsolvext/ xt=r-kxt-sr 2/ (4ksxt),xt,t