中考数学一轮复习专题20勾股定理.docx

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中考数学一轮复习专题20勾股定理

专题20勾股定理

考点总结

思维导图】

知识要点】知识点一直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：

1、直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。

3、直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。

勾股定理概念：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：

如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2

变式：

1）a2=c2-b22）b2=c2-a2

适用范围：

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

方法

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2

2

大正方形面积为S（ab）2a22abb2

所以a2b2c2

1112222

方法三：

S梯形2（ab）（ab），S梯形2SADESABE22ab2c2，化简得证a2b2c2

【考查题型汇总】

考查题型一利用直角三角形的性质解题

BC于点F，

1．（2018·湖南中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=12°0，EF为AB的垂直平分线，交交AB于点E．求证：

FC=2BF．

详解】

证明：

连接AF，

∴AF=BF，

又AB=AC，∠BAC=12°0，

∴∠B=∠C=∠BAF=30°，

∴∠FAC=90°，

∴AF=FC，

∴FC=2BF．

BD＝2AD，

2.（2013·江苏中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D为BC边上一点，

∠ADC＝60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．

答案】2753；21

7

解析】

在Rt△ADC中，∠

C＝90°，

AC

3，∠ADC＝60°，

因为sinADC

AC

，即

3

3，

所以AD＝2．

AD

AD

2

由勾股定理得：

DCAD2AC21．

所以BD＝2AD＝4，BC＝BD＋DC＝5．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC3，BC＝5，

由勾股定理得：

ABBC2AC227，

所以Rt△ABC的周长为ABBCAC2753．

3．（2019·江苏中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=12°0，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：

EA的值．

答案】3

详解】如图，连接AD，

∵AB=AC，∠BAC=12°0，D为BC的中点，

∴∠BAD=60°，AD⊥BC，

∴∠B=90°﹣60°=30°，

∵DE⊥AB，

∴∠ADE=90°﹣60°=30°，

设EA=x，

在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，

在Rt△ABD中，AB=2AD=4x，

∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，∴EB：

EA=3x：

x=3．

考查题型二含30°角的直角三角形解题方法

1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，在△

ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为（）

【答案】C

【详解】

∵AB=AC，∠C=30°，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠BAC=12°0，

∵AB⊥AD，AD=4，

∴∠BAD=90°，BD=2AD=8，

∴∠DAC=12°0-90°=30°，

∴∠DAC=∠C=30°，

∴AD=CD=，4

∴CB=DB+CD=1．2故选C.

2．（2019·丹东市第十七中学中考模拟）

如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC

交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（

【答案】B

【解析】

∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，

∴∠AMN=∠NMC∠=B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，

∴∠ACB=2∠B，NM=N，C

∴∠B=30°，

∵AN=1，

∴MN=2，

∴AC=AN+NC=，3

∴BC=6，

故选B．

3．（2018·湖北中考模拟）如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是（）

【答案】D

【解析】试题分析：

在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD=30°，

∴∠CAD=∠BAD=∠B，

∴AD=BD，AD=2CD，∴BD=2CD，

根据已知不能推出CD=DE，

只有D错误，选项A、B、C的答案都正确．故选D．

4．（2018·安徽中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平

答案】A

解析】

由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，

∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵∠C=90°，∴3∠CAD=9°0，

∴∠CAD=3°0，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，∴CD=DE=BD，∵BC=3，∴CD=DE=1

考查题型三利用勾股定理求几何体表面最短距离

为（）

答案】D

解析】详解：

如图，则AB=AP2PB2=a24a2=5a．故选D．

2．（2016·山东中考模拟）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，

在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A

处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是

答案】A

解析】

3cm的点B处有一饭粒，

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12-3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B=（cm）．

故选A．

3．（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）如图,在底面周长为12,高为8的圆柱体上有A,B两点,若沿圆柱的侧面积运动，则AB之间的最短距离是（）

A．10B．3C．5D．4

【答案】A

【解析】

展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：

矩形的长是圆柱底面周长的一半是6，

矩形的宽是圆柱的高是8．

根据勾股定理求得矩形的对角线是10．

即A、B两点间的最短距离是10．

故选C．

考查题型四利用勾股定理解决实际问题

1．（2019·重庆市全善学校中考模拟）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的

长度至少要（）

【答案】D

【详解】

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，

∴AC＝AB2BC2＝4米，∴可得地毯长度＝AC+BC＝7米，

故选D．

2．（2019·福建中考模拟）《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：

今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。

问折高几何？

意思是：

如图，一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远。

问折断处离地面的高度是多少？

设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为

）

10-x）2．

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=

故选：

D．

3．（2019·湖北中考模拟）从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离

电线杆底部有（）m

解：

由题意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，

所以BC＝102-82＝6．

故选：

C．

4．（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的求救讯息，已

知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜

救，试通过计算判断哪艘船先到达．

【答案】

（1）收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；

（2）救助船B先到达．【详解】

（1）如图，作PCAB于C，

则PCAPCB90o，

由题意得：

PA=120海里，A=30o，BPC=45o，

1

∴PCPA60海里，BCP是等腰直角三角形，

2

∴BCPC60海里，PBPC2BC2602海里，答：

收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；

（2）∵PA120海里，PB602海里，救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，

120

∴救助船A所用的时间为=3（小时），

40

救助船B所用的时间为60222（小时），

30

∵322，

∴救助船B先到达．

考查题型五构造直角三角形利用勾股定理解题

1．（2019·山东中考模拟）在△ABC中，AB=10，AC=210，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）

A．10B．8C．6或10D．8或10

【答案】C

【详解】

分两种情况：

在图①中，由勾股定理，得

BDAB2AD2102628;

CDAC2AD2（210）2622;

∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.

在图②中，由勾股定理，得

BDAB2AD2102628;

CDAC2AD2（210）2622;

∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.

故选C.

答案】C

解析】

试题分析：

∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，∴AD=，

BD=，如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=1，4

此时，△ABC的周长=14+13+15=42，

如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32，综上所述，△ABC的周长为32或42．

故选C．

3．（2018·甘肃中考模拟）如图所示，在Rt△ABC中，AB=CB，ED⊥CB，垂足为D点，且∠CED=6°0，∠EAB=30°，

AE=2，求CB的长．

解析】

过E点作EF⊥AB，垂足为F．

∵∠EAB=30°，AE=2，∴EF=BD=1．

又∵∠CED=60°，∴∠ECD=30°．

∵AB=CB，∴∠EAC=∠ECA=15°，∴AE=CE=2．

在Rt△CDE中，∠ECD=30°，∴ED=1，CD=2212=3，

∴CB=CD+BD=1+3．

考查题型六利用勾股定理解决翻折问题

答案】A

解析】

∵OA＝3，AB＝1，

∴在Rt△OAB中，OB＝（3）212＝2，AB＝1，

1

∴AB＝OB，

2

∵△AOB是直角三角形，

∴∠AOB＝30°，

OB为折痕，

∴∠A1OB＝∠AOB＝30°，OA1＝OA＝3，

Rt△OA1D中，∠OA1D＝30°，

∴OD＝1×3＝3，

22

A1D＝3×3=3

22

∴点A1的坐标（3，3）．

22

故选A．

2．（2019·云南中考模拟）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点

落在对角线

D′

处．若

AB=3，

AD=4，则ED的长为

3

C．1

4

A．

B．3

D．

2

3

【答案】A

【详解】

∵AB=3，AD=4，∴DC=3

∴根据勾股定理得AC=5根据折叠可得：

△DEC≌△D′EC，

∴D′C=DC=，3DE=D′E

设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，

在Rt△AED′中：

（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，

3

解得：

x=

2故选A.

3．（2019·四川中考模拟）如图，长方形ABCD中AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点D与

B点重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）

A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2

【答案】A

【详解】将此长方形折叠，使点B与点D重合，

∴BE=ED．

∵AD=9cm=AE+DE=AE+．BE

∴BE=9-AE，根据勾股定理可知：

AB2+AE2=BE2．

即32+AE2=（9-AE）2解得AE=4．

∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选A．

考查题型七利用勾股定理解决几何图形面积问题

1.（2017·山东中考模拟）如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，则重叠部分△AFC

的面积为（）

【答案】B

【解析】

试题解析：

易证△AFD′≌△CFB，

∴D′F=BF，

设D′F=x，则AF=8-x，

在Rt△AFD′中，（8-x）2=x2+42，

解之得：

x=3，

∴AF=AB-FB=8-3=5，

1

∴S△AFC=?

AF?

BC=1．0

2

故选B．

2．（2018·江苏省泰兴市济川中学中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，如果将该矩形沿对

角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积（）cm2.

A．8B．10C．15D．20

【答案】B

【解析】

根据折叠可得：

∠CBD=∠EBD，

∵AD∥BC，

∴∠EDB=∠CBD，

∴∠EDB=∠EBD，

∴BE=DE，

设BE=DE=x，则AE=8－x，根据Rt△ABE的勾股定理可得：

x=5，

即DE=5，则S阴影=5×4÷2=10，故选B．

3．（2018·福建中考模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的边

长为（）

答案】C

详解】解：

由勾股定理得，正方形A的面积=289-225=64，

∴字母A所代表的正方形的边长为64=8，

故选：

C．

4．（2019·广西中考模拟）如图

已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面

∴AB=AE2BE2628210

=100-24=76.

故选C.

知识点二勾股定理的逆定理

勾股数概念：

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整

数时，称a，b，c为一组勾股数

常见的勾股数：

如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

扩展：

用含字母的代数式表示n组勾股数：

1）n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

2）2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）

3）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）

注意：

每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

勾股定理的逆定理内容：

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

注意：

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相

等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝

角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满

足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：

当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系：

联系：

1、两者都与直角三角形三边有关，且都与直角三角形有关。

2、两者是互逆定理。

区别：

1、两者的条件与结论相反。

2、勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理逆定理是直角三角形的判定方法。

【考查题型汇总】

考查题型八运用勾股定理逆定理判断三角形形状

1．（2018·山东中考模拟）已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）=0的两根相等，则△ABC为（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．任意三角形

故选C.

3．（2019·内蒙古中考真题）如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．

1）若a＝6,b＝8,c＝12，请直接写出A与DB的和与C的大小关系；

2）求证：

△ABC的内角和等于180；

B

（2）证明见解析；（3）证明见解析

详解】

1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，AB

2）如图，过点A作MN//BC，

MAB＝B，NAC＝C（两直线平行，同位角相等）

MABBACNAC＝180（平角的定义），

BBACC＝180（等量代换），即：

三角形三个内角的和等于180；

3）∵aabc

ac＝（abc）a﹣bc＝（a222

2ac＝a22acc2﹣b2，

a2c2＝b2，

ABC是直角三角形．

考查题型九勾股定理逆定理的实际应用

1．（2019·四川中考模拟）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：

“问有

沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？

”这道题讲的是：

有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？

题中“里”是我国市制长度单

位，1里=500米，

则该沙田的面积为（

）

A．7.5平方千米

B．15平方千米

C．75平方千米

D．750平方千米

【答案】A

【解析】

∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

1

∴这块沙田面积为：

×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．

2

故选：

A．

2．（2016·河北中考模拟）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O

沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、

N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

【答案】C

【解析】

∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，

∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=9°0，

∵∠EOM=2°0，

∴∠NOF=18°0﹣20°﹣90°=70°．故选C．3．（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的求救讯息，已

知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜

救，试通过计算判断哪艘船先到达．

答案】

（1）收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；

（2）救助船B先到达．

【详解】

（1）如图，作PCAB于C，则PCAPCB90o，

由题意得：

PA=120海里，A=30o，BPC=45o，

1

∴PCPA60海里，BCP是等腰直角三角形，

2

∴BCPC60海里，PBPC2BC2602海里，答：

收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；

（2）∵PA120海里，PB602海里，救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，

120

∴救助船A所用的时间为=3（小时），

40

救助船B所用的时间为60222（小时），

30

∴救助船B先到达．

4．（2012·山东中考模拟）如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏

东60°方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．

（1）说明点B是否在暗礁区域内；

（2）若继续向东航行有无触礁的危险？

请说明理由．

【答案】

（1）B点不在暗礁区域内；

（2）继续向东航行船有触礁的危险，理由见解析.

【解析】

（1）B是否在暗