中考数学一轮复习专题20勾股定理.docx

1、中考数学一轮复习专题20勾股定理专题 20 勾股定理考点总结思维导图】知识要点】 知识点一 直角三角形与勾股定理 直角三角形三边的性质：1、 直角三角形的两个锐角互余。2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。3、 直角三角形中 30角所对的边是斜边的一半。勾股定理概念 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果 直角三角形 的两直角边分别为 a， b，斜边为 c ，那么 a2 b2 c2变式：1)a2=c2- b 2 2)b2=c2- a 2适用范围： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应 用勾股定理时，必须明了所考察的对象是

2、直角三角形。勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积1 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 ab c2 2ab c22大正方形面积为 S (a b) 2 a2 2ab b2所以 a2 b2 c21 1 1 2 2 2 2方法三： S梯形 2(a b) (a b) ， S梯形 2SADE S ABE 2 2ab 2 c2 ，化简得证 a2 b2 c2【

3、考查题型汇总】考查题型一 利用直角三角形的性质解题BC于点 F，1（2018湖南中考模拟）如图， 在 ABC中， AB=AC， BAC=120 ， EF为 AB的垂直平分线，交 交 AB 于点 E求证： FC=2BF详解】证明：连接 AF，AF=BF，又 AB=AC， BAC=120 ， B= C=BAF=30， FAC=90， AF= FC，FC=2BFBD2AD，2. （2013江苏中考模拟）如图，在 RtABC中，C90，AC 3，点 D为 BC边上一点，ADC60，求 ABC的周长 （ 结果保留根号 ）答案】 2 7 5 3 ； 217解析】在 Rt ADC中，C90，AC3 ， AD

4、C 60，因为 sin ADCAC，即33，所以 AD 2ADAD2由勾股定理得： DC AD 2 AC2 1所以 BD2AD4，BCBD DC 5在 Rt ABC中， C90， AC 3 ，BC5，由勾股定理得： AB BC2 AC2 2 7 ，所以 RtABC的周长为 AB BC AC 2 7 5 3 3（2019江苏中考模拟）如图，在 ABC中， AB=AC， BAC=120 ， D为 BC的中点， DEAB于 E，求 EB： EA的值答案】 3详解】如图，连接 AD， AB=AC，BAC=120 ， D 为 BC的中点， BAD=60， ADBC，B=9060=30，DEAB，ADE=

5、9060=30，设 EA=x，在 Rt ADE中， AD=2EA=2x，在 Rt ABD中， AB=2AD=4x， EB=AB EA=4x x=3x ， EB： EA=3x： x=3 考查题型二 含 30角的直角三角形解题方法1（2018黑龙江中考模拟）如图，在ABC中， AB=AC， C=30， AB AD， AD=4，则 BC的长为（ ）【答案】 C【详解】AB=AC，C=30， B= C=30， BAC=120 ，ABAD，AD=4， BAD=90， BD=2AD=8， DAC=120 - 90=30， DAC = C=30， AD=CD=，4CB=DB+CD=12 故选 C.2（201

6、9丹东市第十七中学中考模拟）如图，在 RtABC中，CM平分 ACB交 AB于点 M，过点 M作 MNBC交 AC于点 N，且 MN平分 AMC，若 AN=1 ，则 BC的长为（【答案】 B【解析】在 Rt ABC中， CM平分 ACB交 AB于点 M，过点 M作 MNBC交 AC于点 N，且 MN平分 AMC， AMN=NMC= B， NCM= BCM=NMC， ACB=2 B，NM=N，C B=30，AN=1，MN=2，AC=AN+NC=，3BC=6，故选 B3(2018湖北中考模拟) 如图,在 ABC中, C=90, B=30,AD平分 CAB交BC于点 D, E为AB上一点, 连接 D

7、E, 则下列说法错误的是 ( )【答案】 D【解析】 试题分析：在 ABC中， C=90， B=30， CAB=60， AD平分 CAB， CAD=BAD=30， CAD=BAD= B，AD=BD，AD=2CD， BD=2CD，根据已知不能推出 CD=DE，只有 D错误，选项 A、 B、C的答案都正确 故选 D4（2018安徽中考模拟）如图，在 RtABC中， C=90， CAB的平分线交 BC于 D，DE是 AB的垂直平答案】 A解析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得 B= CAD=DAB=30， DE垂直平分 AB，DA=DB， B=DAB， AD平分 CAB， CAD= DAB，

8、C=90， 3CAD=90 ， CAD=30 ， AD平分 CAB，DEAB， CDAC， CD=DE= BD， BC=3， CD=DE=1考查题型三 利用勾股定理求几何体表面最短距离为（ ）答案】 D解析】 详解：如图，则 AB= AP2 PB2 = a2 4a2 = 5a 故选 D2（2016山东中考模拟）如图，透明的圆柱形容器 （ 容器厚度忽略不计 ） 的高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm的点 A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是答案】 A解析】3cm的点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好

9、在容器外壁，离容器上沿 3cm与饭粒相对的点 A 处， A D=5cm， BD=12-3+AE=12cm， 将容器侧面展开，作 A 关于 EF的对称点 A， 连接 AB，则 AB即为最短距离，AB= （ cm）故选 A3（2018南宫市奋飞中学中考模拟） 如图 ,在底面周长为 12,高为 8 的圆柱体上有 A,B 两点, 若沿圆柱的侧 面积运动，则 AB之间的最短距离是 （ ）A 10 B3 C5 D4【答案】 A【解析】展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半是 6，矩形的宽是圆柱的高是 8根据勾股定理求得矩形的对角线是 10即 A、 B 两点间的最短距离是 10故选

10、C考查题型四 利用勾股定理解决实际问题1（2019重庆市全善学校中考模拟）如图，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）【答案】 D【详解】在 Rt ABC 中， C=90， AB=5，BC=3，AC AB2 BC2 4 米， 可得地毯长度 AC+BC7 米，故选 D2（2019福建中考模拟） 九章算术中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。 问折高几何？意思是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈 =10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地， 抵地处离竹子底部 6 尺远。问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 x 尺，则可列方程

11、为）10-x )2在 Rt ABC中， AC2+BC2=AB2，即 x2+62=故选： D3（2019湖北中考模拟）从电线杆离地面 8 米处拉一根长为 10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 （ ）m解：由题意得，在 Rt ABC中， AC8， AB 10，所以 BC 102 -82 6故选： C4（2019湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A,B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船 B 在 A的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A的北偏西 30方向上，在救助船 B 的西南方向上， 且事故渔船 P与救助船 A相距 120 海里（ 1）求收到求救讯息时事故渔

12、船 P 与救助船 B 之间的距离；（2）若救助船 A， B分别以 40海里 /小时、 30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船 P与救助船 B之间的距离为 60 2 海里；（2）救助船 B先到达 【详解】（1） 如图，作 PC AB于C ，则 PCA PCB 90o ，由题意得： PA=120海里， A=30o， BPC =45o ，1 PC PA 60 海里， BCP 是等腰直角三角形，2 BC PC 60海里， PB PC2 BC2 60 2 海里， 答：收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离

13、为 60 2 海里；（2） PA 120海里， PB 60 2海里，救助船 A, B分别以 40海里/小时、 30 海里/小时的速度同时出发，120救助船 A所用的时间为 =3（ 小时），40救助船 B 所用的时间为 60 2 2 2 （ 小时） ，30 3 2 2，救助船 B 先到达考查题型五 构造直角三角形利用勾股定理解题1（2019山东中考模拟）在 ABC中， AB=10，AC=2 10 ，BC边上的高 AD=6，则另一边 BC等于（ ）A10 B8 C6或 10 D8或 10【答案】 C【详解】分两种情况：在图中，由勾股定理，得BD AB2 AD 2 102 62 8;CD AC2 A

14、D2 （2 10）2 62 2 ;BCBDCD8210.在图中，由勾股定理，得BD AB2 AD 2 102 62 8;CD AC2 AD2 （2 10）2 62 2 ; BCBDCD82 6.故选 C.答案】 C解析】试题分析： AC=15，BC=13，AB 边上的高 CD=12， AD= ，BD= ， 如图 1，CD在 ABC内部时， AB=AD+BD=9+5=1，4此时， ABC的周长 =14+13+15=42，如图 2，CD在 ABC外部时， AB=AD-BD=9-5=4， 此时， ABC的周长 =4+13+15=32， 综上所述， ABC的周长为 32 或 42故选 C3（ 2018

15、甘肃中考模拟） 如图所示，在 RtABC中，AB=CB，ED CB，垂足为 D点，且 CED=60 ，EAB=30，AE=2，求 CB 的长解析】过 E点作 EF AB，垂足为 F EAB=30， AE=2， EF=BD=1又 CED=60， ECD=30 AB=CB， EAC= ECA=15， AE=CE=2在 RtCDE中， ECD=30， ED=1，CD= 22 12 = 3 ， CB=CD+BD=1+ 3 考查题型六 利用勾股定理解决翻折问题答案】 A解析】OA 3 ，AB1，在 RtOAB中， OB （ 3）2 12 2， AB 1，1 AB OB，2 AOB是直角三角形， AOB3

16、0，OB为折痕， A1OB AOB30， OA1 OA 3，Rt OA1D中， OA1D30，OD 1 3 3 ，22A1D 3 3 =322点 A1的坐标（ 3， 3）22故选 A2（2019云南中考模拟）如图，将长方形纸片 ABCD折叠，使边 DC落在对角线 AC上，折痕为 CE，且 D点落在对角线D处若AB=3，AD=4，则 ED 的长为3C14AB3D23【答案】 A【详解】AB=3， AD=4， DC=3根据勾股定理得 AC=5 根据折叠可得： DEC DEC，DC=DC=，3 DE=DE设 ED=x，则 DE=x，AD=ACCD=2， AE=4 x，在 Rt AED中：（AD） 2

17、+（ED） 2=AE2，即 22+x2=（ 4 x）2，3解得： x=2 故选 A.3（2019四川中考模拟）如图，长方形 ABCD中 AB 3cm， AD 9cm ，将此长方形折叠，使点 D与B 点重合，折痕为 EF ，则 ABE 的面积为（ ）A 6cm 2 B 8cm2 C 10cm2 D 12cm2【答案】 A【详解】 将此长方形折叠，使点 B 与点 D重合，BE=ED AD=9cm=AE+DE=AE+BEBE=9-AE， 根据勾股定理可知： AB2+AE2=BE2即 32+AE2=（9-AE） 2 解得 AE=4 ABE的面积为 342=6 故选 A考查题型七 利用勾股定理解决几何图

18、形面积问题1. （2017山东中考模拟）如图，在长方形 ABCD中， AB=8，BC=4，将长方形沿 AC折叠，则重叠部分 AFC的面积为（ ）【答案】 B【解析】试题解析：易证 AFD CFB，DF=BF，设 DF=x，则 AF=8-x ，在 Rt AFD中，（8-x ） 2=x2+42，解之得： x=3，AF=AB-FB=8-3=5，1 S AFC= ?AF?BC=102故选 B2（2018江苏省泰兴市济川中学中考模拟）如图，矩形 ABCD中， AB 4cm，BC 8cm，如果将该矩形沿对角线 BD折叠，那么图中阴影部分的面积（ ） cm2.A 8 B10 C15 D20【答案】 B【解析

19、】根据折叠可得： CBD= EBD，ADBC， EDB=CBD， EDB=EBD，BE=DE，设 BE=DE=x，则 AE=8 x，根据 Rt ABE的勾股定理可得： x=5，即 DE=5，则 S 阴影 =5 4 2=10，故选 B3（2018福建中考模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为 225， 289，则字母 A所代表的正方形的边长为（ ）答案】 C详解】 解：由勾股定理得，正方形 A 的面积 =289-225=64 ，字母 A 所代表的正方形的边长为 64=8，故选： C4（2019广西中考模拟）如图, 已知点 E在正方形 ABCD内, 满足 AEB=90,AE=6, BE=8,则阴影

20、部分的面AB= AE 2 BE2 62 82 10=100-24 =76.故选 C.知识点二 勾股定理的逆定理勾股数概念： 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2中， a，b， c为正整数时，称 a， b， c 为一组勾股数常见的勾股数：如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等扩展： 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：1） n2 1,2n, n2 1（ n 2, n 为正整数）；2） 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1（ n为正整数）3）m2 n2 ,2mn, m2 n2（m n, m ， n为正整数）注意： 每组勾股

21、数的相同整数倍，也是勾股数。勾股定理的逆定理内容： 如果三角形三边长 a，b，c满足 a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其 中 c 为斜边注意： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定 三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 b2 与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，以 a，b， c为三边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c 2 ，时，以 a，b， c为三边的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2，时，以 a， b， c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a，b， c及 a2 b2 c2只是一

22、种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a，b，c满足 a2 c2 b2，那么以 a，b， c为三边的三角形是直角三角形，但是 b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形 是直角三角形勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系：联系：1 、 两者都与直角三角形三边有关，且都与直角三角形有关。2 、 两者是互逆定理。区别：1、 两者的条件与结论相反。2、 勾股定理是 直角三角形的性质 ，勾股定理逆定理是 直角三角形的判定方法 。 【考查题型汇总】考查题型八 运用勾股定理逆定理判断三角形形状1（2018山东中考模拟）已知 a、b、c 是 A

23、BC的三边长，且方程 a（ 1+x2） +2bx c（ 1 x2） =0的两根 相等，则 ABC为（ ）A等腰三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 任意三角形故选 C.3（2019内蒙古中考真题）如图，在 ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 1）若 a6, b8, c12 ，请直接写出 A与DB的和与 C 的大小关系；2）求证： ABC 的内角和等于 180 ；B C ；（ 2）证明见解析； （3）证明见解析详解】1） 在ABC 中， a6，b8，c12， A B C ；2）如图，过点 A 作 MN / /BC ，MAB B ， NAC C （两直线平行，同位角相等

24、）MAB BAC NAC 180 （平角的定义） ，B BAC C180 （等量代换） ， 即：三角形三个内角的和等于 180 ；3) a abcac ( a b c)ab c ( a2 222ac a2 2ac c2b2 ，a2 c2b2 ，ABC 是直角三角形考查题型九 勾股定理逆定理的实际应用1（2019四川中考模拟）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块 三角形沙田，三条边长分别为 5里，12里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位， 1 里=5

25、00 米，则该沙田的面积为（）A 7.5 平方千米B15 平方千米C75 平方千米D 750 平方千米【答案】 A【解析】52+122=132，三条边长分别为 5里， 12里， 13里，构成了直角三角形，1这块沙田面积为： 550012500=7500000（平方米） =7.5 （平方千米） 2故选： A2（2016河北中考模拟）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口 O 出发，如图所示，轮船从港口 O沿北偏西 20的方向行 60 海里到达点 M处，同一时刻渔船已航行到与港口 O相距 80 海里的点 N 处，若 M、N两点相距 100 海里，则 NOF的度数为（ ）A50 B 60 C 70

26、 D 80【答案】 C【解析】 OM=60海里， ON=80海里， MN=100海里，OM2+ON2=MN2， MON=90 ， EOM=20 ， NOF=180 2090=70故选 C 3（2019湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A,B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船 B 在 A的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A的北偏西 30方向上，在救助船 B 的西南方向上， 且事故渔船 P与救助船 A相距 120 海里（ 1）求收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离；（2）若救助船 A， B分别以 40海里/小时、 30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前

27、往事故渔船 P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达答案】（1）收到求救讯息时事故渔船 P与救助船 B之间的距离为 60 2 海里；（2）救助船 B先到达【详解】（1） 如图，作 PC AB于C ， 则 PCA PCB 90o ，由题意得： PA=120海里， A=30o， BPC =45o ，1 PC PA 60 海里， BCP是等腰直角三角形，2 BC PC 60海里， PB PC2 BC2 60 2 海里， 答：收到求救讯息时事故渔船 P与救助船 B之间的距离为 60 2 海里；（2） PA 120海里， PB 60 2海里，救助船 A, B分别以 40海里/小时、 30 海里/小时的速度同时出发，120救助船 A所用的时间为 =3（ 小时），40救助船 B 所用的时间为 60 2 2 2 （ 小时） ，30救助船 B 先到达4（2012山东中考模拟）如图，某船以每小时 36 海里的速度向正东方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60方向上，航行半小时后到达点 B 测得该岛在北偏东 30方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁（1）说明点 B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由【答案】（1）B 点不在暗礁区域内； （2）继续向东航行船有触礁的危险，理由见解析 .【解析】（1）B 是否在暗