高等数学二重点题目.docx

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高等数学二重点题目

1求曲面e^x-z+xy=3在点（2,1,0）处的切平面及法线方程。

解：

∵e^x-z+xy=3==>z=e^x+xy-3

==>αz/αx│（2,1,0）=e²+1，αz/αy│（2,1,0）=2∴在点（2,1,0）处切平面的法向量是（e²+1,2,-1）故所求切平面是（e²+1）（x-2）+2（y-1）-（z-0）=0，即（e²+1）x+2y-z=2（e²+2）所求法线方程是（x-2）/（e²+1）=（y-1）/2=z/（-1）

只要求曲面在那一点的法向量就行

f（x,y,z）=e^z-z+xy▽f（x,y,z）=（y,x,e^z-1）▽f（2,1,0）=（1,2,0）则平面方程设为1x+2y=a再把（2,1,0）代入平面

2+2=a=4则平面是x+2y=4

2函数z=ln（1+x^2+y^2）当x=1,y=2时的全微分为

z=ln（1+x^2+y^2）dz/dx=1/（1+x^2+y^2）*2x=1/（1+1^2+2^2）*2*1=1/3dz/dy=1/（1+x^2+y^2）*2y=1/（1+1^2+2^2）*2*2=2/3函数z=ln（1+x^2+y^2）当x=1,y=2时的全微分为dz=（dx+2dy）/3

10求球面x²+y²+z²=9在点（1,2,-2）的切平面及法线方程

球心（0，0，0），因此切平面法向量为（1，2，-2），又切平面过（1，2，-2），因此切平面方程为1*（x-1）+2*（y-2）-2*（z+2）=0，化简得x+2y-2z-9=0。

由于直线方向向量为（1，2，-2），所以法线方程为x-1=（y-2）/2=（z+2）/（-2）。

求球面X^2+Y^2+Z^2=21在点（1,2,4）处的法线方程及切平面方程求解题过程

法线即圆心和该点的连线∴为（x-0）/1=（y-0）/2=（z-0）/4即x=y/2=z/4其法向量为（1,2,4）切平面上的任意两点的连线都应与法向量垂直设切平面是ax+by+cz=C设面上两点分别为（x1,y1）（x2,y2）则ax1+by1+cz1=C

ax2+by2+cz2=C两式相减得：

a（x1-x2）+b（y1-y2）+c（z1-z2）=0左边正好是向量（a,b,c）和向量（x1-x2,y1-y2,z1-z2）的形式∴向量（a,b,c）和向量（x1-x2,y1-y2,z1-z2）是垂直的由于（x1-x2,y1-y2,z1-z2）是任取的，所以向量（a,b,c）只能为法向量∴a=1，b=2，c=4∴其切平面则应为x+2y+4z=C解出C=21∴切平面为x+2y+4z=21

14交换下列积分次序1∫（积分限0到1）dx∫（积分限x的平方到x）f（x,y）dy

解：

原式=∫（0,1）dy∫（√y,y）f（x,y）dx。

交换积分次序,∫（上限2,下限0）dy∫（上限2y,下限y^2）f（x,y）dx

|（上限4，下限2）dx|（上限2，下限x/2）f（）dy

15∫∫（D）sinx/xdxdy,其中D是由直线y=0,y=x及x=1围成计算二重积分

∫D∫xsiny/xdxdy

=∫[0,1]∫[0,x]xsiny/xdxdy

=∫[0,1]∫[0,x]x^2siny/xd（y/x）dx

=∫[0,1]x^2（-cos（y/x））[0,x]dx

=∫[0,1]x^2（1-cos1）dx

=x^3/3（1-cos1）[0,1]

=（1-cos1）/3

I=重积分sinX/Xdxdy其中D是由直线y=x和y=x^2围成的闭区域

显然被积函数关于x不可积，故肯定要先对y积分

I=∫（0,1）∫（x^2,x）sinx/xdydx

=∫（0,1）（sinx/x）（y）（x^2,x）dx

=∫（0,1）xsinx+sinxdx下面就简单了。

（）内为积分上下限

∫∫[D]sinx/xdxdy

=∫（0,1）dx∫（x,x^2）sinx/xdy

=∫（0,1）（x-1）sinxdx

=[sinx-xcosx+cosx]|（0,1）

=sin1-1

求二重积分∫∫sinx/xdxdy,D:

y=x,y=x/2,x=2所围区域

∫∫e^（-y^2）dxdy,其中D是由x=0，y=x，y=2所围成的闭区域。

求解

D的顶点是：

（0，0）、（0，2）、（2，2）

∫∫e^（-y²）dxdy，Y型区域

=∫（0~2）∫（0~y）e^（-y²）dxdy

=∫（0~2）ye^（-y²）dy

=（-1/2）∫（0~2）e^（-y²）d（-y²）

=（-1/2）•[e^（-y²）]|（0~2）

=（-1/2）•[e^（-4）-1]

=（-1/2）•（1/e⁴-1）

=1/2-1/（2e⁴）≈0.49084

计算∫∫e^（-y^2）dxdy其中D是由y=x,y=1及y轴所围成的区域

先对x积分在对y积分

∫∫e^（-y^2）dxdy

=∫（0,1）[∫（0,y）e^（-y^2）dx]dy

=∫（0,1）ye^（-y^2）dy

=-1/2∫（0,1）e^（-y^2）d（-y^2）=-e（-y^2）/2|（0,1）

=（1-1/e）/2

二重积分∫∫√x²+y²dxdyD:

x²＋y²≤a²

x=rcost,y=rsint那么

∫∫√x²+y²dxdyD:

x²＋y²≤a²

=∫∫r√（rcost）²+（rsint）²drdtD:

0≤r≤a，0≤t≤2π

=∫∫r*rdrdt

=∫∫r²drdt

=∫r²dr*∫dtD:

0≤r≤a，0≤t≤2π

=r³/3（从0到a）*t（从0到2π）

=a³/3*2π

=2πa³/3

算三重积分∫∫∫（x^2+y^2）^（-0.5）dv，其中V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=（x^2+y^2）/3所围成的立体。

要用极坐标，答案5*3^（0.5）/pi

应该是柱坐标吧，极坐标是对于二位图形的。

V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=（x^2+y^2）/3所围成的立体，也就是上面是球面，下面是抛物面。

故z的范围为（x^2+y^2）/3≤z≤√（4-x^2-y^2），上半个球面z大于0.化为柱坐标为（ρ^2）/3≤z≤√（4-ρ^2）

x^2+y^2+z^2=4与z=（x^2+y^2）/3的交平面为z=1，x^2+y^2=3故将图形投影至XOY平面，图形是ρ=x^2+y^2=3所以ρ，θ的范围为：

0≤ρ≤√3,0≤θ≤2πdV=ρdρdθdz故积分化为

I=∫∫∫（x^2+y^2）^（-0.5）dv

=∫∫∫（1/ρ）ρdρdθdz2π√3√（4-ρ^2）

=∫dθ∫dρ∫dz

00（ρ^2）/3

√3

=2π*∫[√（4-ρ^2）-（ρ^2）/3]dρ

0

=2π（2π/3+√3/6）

计算∫∫∫（x^2+y^2）dxdydzΩ是由曲面z=x^2+y^2及平面z=4所围成的闭区域

直接上柱面极坐标

x=rcosθ，y=rsinθ原积分=∫∫∫r^2rdrdθdz

=∫（0->2π）dθ∫（0->2）r^3dr∫（r^2->4）dz

=32π/3

计算三重积分∫∫∫（x^2+y^2）dxdydz其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域.

选用柱坐标系：

0≤θ≤2Pi,0≤r≤2,r^2/2≤z≤2原式=∫dθ∫dr∫r^3dz=∫dθ∫r^3（2-r^2/2）dr

=2Pi*（r^4/2-r^6/12）|r=2

=16Pi/3

已知L为x²+y²=1在第二象限部分的曲线弧,则∫（x²+y²）ds

：

∵x²+y²=1==>y=√（1-x²）

==>y'=-x/√（1-x²）∴ds=√（1+y'²）dx=dx/√（1-x²）故原式=∫<-1,0>dx/√（1-x²）

=∫<-π/2,0>dt（令x=sint）

=π/2。

求L=∫（x^2+2xy）dx-（x^2+y^2siny）dy,其中L是抛物线y=x^2从点A（-1,1）到点B（1，1）的一段弧。

补线段L1：

y=1，x：

1→-1，这样L+L1为封闭曲线，所围区域是D∮（L+L1）（x²+2xy）dx-（x²+y²siny）dy格林公式

=∫∫（2x+2x）dxdy积分区域为D

=0由于积分区域关于y轴对称，且被积函数关于x是奇函数，所以积分为0下面算L1上的积分

∫（L1）（x^2+2xy）dx-（x^2+y^2siny）dy

=∫[1→-1]（x²+2x）dx=-2/3因此原积分=0-（-2/3）=2/3

计算∫L（e^xsiny-3y）dx+（e^xcosy+x）dy，其中L是由点（0,0）到点（0,2）x^2+y^2=2y的右半圆周

解：

（e^xsiny-3y）对y求导得：

e^xcosy-3

（e^xcosy+x）对x求到得：

e^xcosy+1考虑L1：

（0,2）到（0.0）的直线段，则L和L1构成封闭曲线，逆时针方向，所围区域为D由格林公式：

∫L+L1=∫∫D（1-（-3））dxdy=4*1/2*π=2π所以：

∫L=2π-∫L1，在L1：

（0,2）到（0.0）的直线段上，x=0，故：

∫L=2π+∫[0,2]cosydy=2π+sin2

∫L（e∧xsiny-2y+1）dx+（e∧xcosy+3y）dy,其中L是由点A（2，0）到点（0，0）的上半圆周x∧2+y∧2＝2x

证明锥面z=2√x^2+y^2被柱面x^+y^=2x所截得的有限部分的面积为√5π

可以用曲面积分来求。

因为曲面是锥面z=2√x^2+y^2的一部分。

满足z'x=2x/√x^2+y^2,z'y=2y/√x^2+y^2设∑表示x^2+y^2=2x所围成的圆域，S∑表示这个圆的面积。

所求曲面的面积S=∫∫ds=∫∫∑√[1+（z'x）^2+（z'y）^2]dxdy

=√5（∫∫∑dxdy）

=√5（S∑）

=√5π

求锥面z=根号（x^2+y^2）被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积（是曲面积分），求详细答案

对于z=f（x,y），曲面面积为

A=∫∫DdA=∫∫D√[1+（əf/əx）²+（əf/əy）²]dxdy锥面z=√（x²+y²）被圆柱面x²+y²=2x所割则积分区域D为：

0≤x≤2，-√（2x-x²）≤y≤√（2x-x²）化为极坐标为：

0≤θ≤2π，0≤r≤2cosθ锥面方程为：

z=r；柱面方程为：

r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ，əf/əy=y/r=sinθ

（əf/əx）²+（əf/əy）²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D√[1+（əf/əx）²+（əf/əy）²]dxdy

=∫∫D√[1+1]rdrdθ

=√2∫<0,2π>[∫<0,2cosθ>rdr]dθ

=√2∫<0,2π>[<0,2cosθ>r^2/2]dθ

=√2∫<0,2π>[2cos²θ]dθ

=√2∫<0,2π>[1+cos2θ]dθ

=√2/2∫<0,2π>[1+cos2θ]d（2θ）

=√2/2[<0,2π>（2θ+sin2θ）]

=√2/2[4π-0]

=2√2π

锥面z^2=x^2+y^2被圆柱面x^2+y^2=2ax所截部分的曲面面积

解：

∵锥面z²=x²+y²被圆柱面x²+y²=2ax所截∴所截部分的曲面面积在xy平面上的投影是D：

x²+y²=2ax∵αz/αx=x/√（x²+y²），αz/αy=y/√（x²+y²）∴dS=√[1+（αz/αx）²+（αz/αy）²]dxdy=√2dxdy故所截部分的曲面面积=2∫∫√2dxdy

=2√2∫∫dxdy

=2√2*πa²。

求幂级数x^（n+1）/n收敛区间和和函数

ρ=lim（n->∞）|[1/（n+1）]/（1/n）|=lim（n->∞）|n/（1+n）|=1收敛半径是R=1/ρ=1当x=1时∑[x^（n+1）]/n=∑1/n级数发散当x=-1时∑[x^（n+1）]/n=∑[（-1）^（n+1）/n]级数收敛所以幂级数∑x^（n+1）/n的收敛区间是[-1,1）令S（x）=∑x^（n+1）/n=x∑（x^n）/n=-xln（1-x）（-1<=x<1）

求幂级数∑（∞n=1）x^n/n的收敛域和函数

显然由比值审敛法易知其收敛域为（-1,1）

∑（n+1）/n（x^n）=∑（1+1/n）*x^n=∑x^n+∑（1/n）*x^n=x/（1-x）+∑（1/n）*x^n令f（x）=∑（1/n）*x^n则f′（x）=∑x^（n-1）=1/（1-x）所以f（x）=∫（上x,下0）1/（1-x）dx=-ln（1-x）所以

∑（n+1）/n（x^n）=x/（1-x）-ln（1-x）

求幂级数∑（∞,n=1）n（n+1）x^n的在其收敛域的和函数

后项比前项的绝对值的极限=|x|收敛域：

|x|<1级数∑（n=1,∞）x^（n+1）=

x^2/（1-x）=-1-x+1/（1-x）两边求导：

∑（n=1,∞）（n+1）x^（n）=x^2/（1-x）=-1+1/（1-x）^2再求导：

∑（n=1,∞）n（n+1）x^（n-1）=x^2/（1-x）=2/（1-x）^3所以：

∑（n=1,∞）n（n+1）x^（n）=2x/（1-x）^3|x|<1

追问

麻烦再问一下，答案第三行级数∑（n=1,∞）x^（n+1）为什么等于x^2/（1-x）？

？

？

？

回答

首项x^2，公比x的等比级数求和

求对面积曲面积分：

∫∫（x+y+z）dS∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2上z≥h（0

法如下：

重积分的基础是定积分， 要善于利用积分区域的对称性，奇偶性简化计算，用普通坐标运算，（x+y）部分其实分别是xy的奇函数，积分结果等于0

计算曲面积分∫∫（x^2+y^2+z^2）ds，其中∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2（a>0）

不用那么麻烦把曲面公式代入被积函数中

∫∫（x^2+y^2+z^2）ds=∫∫a^2ds=（a^2）*4πa^2=4πa^4

追问

但答案是8πa^4

回答

答案是4πa^4，我用不同的方法算了一遍，请看：

被积函数x^2+y^2+z^2关于z是偶函数，而且被积曲面关于xOy平面对称故∫∫[∑]（x²+y²+z²）ds=2∫∫[∑1]（x²+y²+z²）ds∑1是上半球面原式=2∫∫[D]（x²+y²+z²）√[1+（∂z/∂x）²+（∂z/∂y）²]dσD是∑1在xOy平面投影（∂z/∂x用-（∂F/∂x）/（∂F/∂z）求.）原式=2∫∫[D]（x²+y²+（a²-x²-y²））√（1+x²/z²+y²/z²）dσ

=2∫∫[D]a²√（a²/（a²-x²-y²）dσ化为极坐标

=2*2π*∫[0->a]a²√（a²/（a²-r²）rdr

=-2πa³∫[0->a]1/√（a²-r²）d（a²-r²）

=-2πa³[2√（a²-r²）]|[0->a]

=4πa^4应该是答案错了

求曲面积分∮∫x2ydzdx+z2xdydz+y2zdxdy,其中∑为x2+y2=1.z=x2+y2与z=0所围成的封闭曲面的外侧,

Gauss公式。

∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z=1+1+2z-2=2z

∫∫Σxdydz+ydzdx+（z²-2z）dxdy

=∫∫∫Ω2zdxdydz

=2∫（0→1）zdz∫∫Dzdxdy

=2∫（0→1）z*πz²dz

=2π*（1/4）[z⁴]|（0→1）

=2π*（1/4）

=π/2普通方法。

Σ₁：

z=√（x²+y²）下侧、Σ₂：

z=1上侧

∫∫Σxdydz+ydzdx+（z²-2z）dxdy

=∫∫Σ₁xdydz+ydzdx+（z²-2z）dxdy+∫∫Σ₂xdydz+ydzdx+（z²-2z）dxdy

=-∫∫D（-P*∂z/∂x-Q*∂z/∂y+R）dxdy+∫∫D（1-2）dxdy

=-∫∫D[-x*x/√（x²+y²）-y*y/√（x²+y²）+（z²-2z）]dxdy-∫∫Ddxdy

=-∫∫D[-x²/√（x²+y²）-y²/√（x²+y²）+（x²+y²）-2√（x²+y²）]dxdy-π

（1）²

=-∫∫D[x²+y²-3√（x²+y²）]dxdy-π

=-∫（0→2π）dθ∫（0→1）（r²-3r）rdr-π

=-2π*[1/4*r⁴-r³]|（0→1）-π

=-2π*（1/4-1）-π

=π/2

∮∮（下标∑）（xdydz+ydzdx+zdxdy），其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2的外侧．

用Gauss公式:

∮∮（下标∑）（xdydz+ydzdx+zdxdy）

=∫∫∫【x^2+y^2+z^2<=R^2】3dV

=3∫∫∫【x^2+y^2+z^2<=R^2】dV

=4πR³

计算曲面积分∫∫（z^2+x）dydz-zdxdy，其中S是旋转抛物面z=（x^2+y^2）/2介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧。

用第二类曲面积分做。

 2011-2-7【最佳答案】加个盖子S1：

x²+y²≤4的上侧.

S1和S构成封闭曲面的外侧.对S1+S应用GAUSS，有

∫∫（z^2+x）dydz-zdxdy=∫∫∫0dv=0.

S1+SΩ盖子S1的曲面积分中，dz=0,z=2,故

∫∫（z^2+x）dydz-zdxdy=-2∫∫dxdy=-8π.

S1Dxy

∫∫（z^2+x）dydz-zdxdy=0-（-8π）=8π.

计算曲面积分∫∫（z^2+x）dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2（x^2+y^2）介于z=0，和z=2之间部分下侧不要用两类曲面积分间关系转化为第一类曲面积分做，就直接按第二类曲面积分算下，谢谢本题最简单的方法是高斯公式补Σ1：

z=2，x²+y²≤4，上侧则两曲面加起来为封闭曲面，由Gauss公式

∫∫（z^2+x）dydz-zdxdy=∫∫∫（1-1）dxdydz=0因此原积分与Σ1上的积分互为相反数原式=-∫∫（z^2+x）dydz-zdxdy积分曲面为Σ1：

z=2，x²+y²≤4上侧

=-∫∫-2dxdy

=2∫∫1dxdy被积函数为1，积分结果为区域面积：

π*2²

=8π