完整word版数二真题及标准答案及解析.docx
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完整word版数二真题及标准答案及解析
2004年考硕数学
（二）真题
.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）
（1）
设f（X）lim（n21）x,贝Uf（x）
n■
nx21
的间断点为x
设函数y（x）由参数方程
t3
t3
3t
3t
1
确定，则曲线
1
yy（x）向上凸的x取值范围为
dx
1x/xn
（6）
设函数zz（x,y）由方程
微分方程（yx3
）dx2xdy
e2x
3z
2y确定,则3二
x
0满足y
x1-的特解为
x15
2
设矩阵A1
矩阵B满足ABA2BAE,其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩
阵，则B
二.选择题（本题共8小题，每小题
4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
把所选项前的字母填在题后的括号内
（7）把x0时的无穷小量
x2
0costdt，
x2
tan\ftdt,
寸XO
sint3dt排列起来，使排在
0
后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
（B）
（A）
（8）设f（x）
x（1x）
则
（A）
x
0是f（x）
的极值点，
但（0,0）不是曲线y
f（x）的拐点.
（B）
x
0不是f（x）的极值点
，但（0,0）是曲线y
f（x）的拐点.
（C）
x
0是f（x）
的极值点，
且（0,0）是曲线y
f（x）的拐点.
（D）
x
0不是f（x）的极值点
（0,0）也不是曲线
yf（x）的拐点
（1
n）2等于
n
（9）limInf/d丄）％?
）2LnVnn
22
（A）In2xdx.
1
2
（C）2Jn（1x）dx.
2
（B）2Inxdx.
1
22
（D）[In（1x）dx
（10）设函数f（X）连续，且f（0）
0,贝y存在0,使得
f（X）在（0,
）内单调增加.
（C）对任意的x（0,
）有f（x）
f（0）.
（D）对任意的x（,
0）有f（x）
f（0）.
（11）微分方程yyX
1sinx的特解形式可设为
2
（A）yaxbxc
x（Asinx
Bcosx）.
2
（B）yx（axbx
cAsinx
Bcosx）.
2
（C）yaxbxc
Asinx.
2
（D）yaxbxc
Acosx
（12）设函数f（u）连续，区域D（x,
、22c
y）xy2y,
1T^x2
0）内单调减小.
f（x）在（
（B）
（B）
则f（xy）dxdy等于
D
1dx
2
20dy
口f（xy）dy.
0d
0f（xy）dx.
2sin2
0f（rsincos）dr.
（D）
0d
2sin2
0f（rsincos）rdr
（13）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足
AQC的可逆矩阵Q为
（A）
（15）（本题满分
10分）
1
求极限lim—T
X0x3
x
2COSX
3
（16）（本题满分
10分）
（B）1
0
（C）
100.
011
（D）100.
001
（14）设
A,B为满足AB0的任意两个非零矩阵，则必有
（A）
A的列向量组线性相关
B的行向量组线性相关.
（B）
A的列向量组线性相关
B的列向量组线性相关.
（C）
A的行向量组线性相关
B的行向量组线性相关.
（D）
A的行向量组线性相关
B的列向量组线性相关.
三.解答题（本题共9小题，满分
94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
设函数f（x）在
2
上有定义，在区间［0,2］上,f（x）x（x4）,若对任意的x都满足
f（x）kf（x2）,其中k为常数.
（I）写出f（x）在［2,0］上的表达式；
（n）问k为何值时，f（x）在x0处可导.
（17）（本题满分11分）
设f（x）
sintdt,（I）证明f（x）是以为周期的周期函数;（n）求f（x）的值域.
（18）（本题满分12分）
exeX
曲线y—-—与直线x0,xt（t0）及y0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得
一旋转体，其体积为V（t）,侧面积为S（t）,在xt处的底面积为F（t）.
（I）求的值;V（t）
（n）计算极限lim少
tF（t）
（19）
（本题满分12分）
abe2，证明In2bIn2a号（ba）.e
（20）
（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机
迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，
飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k
6.0106）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离
是多少？
注kg表示千克，km/h表示千米/小时.
（21）
（本题满分10分）
f（x2y2,exy）,其中f具有连续二阶偏导数
2
求二二亠
xyxy
（22）
（本题满分9分）
设有齐次线性方程组
（1
a）X1
X2
x3x4
0,
2x1
（2
a）x2
2x3
2x4
0,
3x1
3x2
（3
a）x3
3x4
0,
4X1
4x2
4x3
（4
a）X4
0,
试问a取何值时，该方程组有非零解
，并求出其通解.
（23）（本题满分
9分）
12
设矩阵14
3
3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.
2004年考硕数学
（二）真题评注
.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）
.对不同的X,先用求极限的方法得出f（x）
（1）设f（x）lim（n21）x,则f（x）的间断点为x_0nnx1
【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点
的表达式,再讨论f（x）的间断点.
所以
因为
【详解】
f（x）
显然当
f（x）
0,
1
limf（x）lim1
X0、，x0x
0时，f（x）0；
（n1）x
2nx
f（0）
（1-）xn_1
x2
x
~2
x
x0为f（x）的间断点.
（2）设函数y（x）由参数方程
t3
t3
3t
确定，
3t
则曲线yy（x）向上凸的x取值范围为
1（或（-,1]）
【分析】
判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,
先用由
x（t）
y（t）
定义的
y（t）x（t）x（t）y（t）
（x（t））3
求出二阶导数，再由
d2y
dx2
0确定x的取值范围.
【详解】
dy
dx
dy
dt
dx
dt
3t23
3t2
t2
d2y
dx2
d
dt
dy
dx
dt
dx
2
t21
1
2
3（t1）
4t
3（t21）
t0.
.2令山令』2dx
又xt33t1单调增，在t0时，X（,1）.（Qt0时，x1x
（,1］时，曲线凸.）
【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数
如1989、1991、1994、
2003数二考题，也考过函数的凹凸性
dx
【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值
【详解1】1
Lxsect^secuanldt
X10secttant
02dt2
【详解2】1
dx10t
—卞-x—
xKJ1
=（*）dt
1
1Lt
t2
arcsint
【评注】本题为混合广义积分的基本计算题
主要考查广义积分
（或定积分）的换元积分法.
2y确定,则3—
x
（4）设函数zz（x,y）由方程ze2x3z
【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解
【详解1】在z
e2x3z
2y的两边分别对
x,y求偏导，z为x,y的函数.
e2x
3z（23二）,
x
2x
e
3z（吒）2,
从而
2e2x3z
13e2x3z,
2
13e2x3z
所以
1e2x3z2
13e2x3z
【详解2】令F（x,y,z）
2x3zc
e2yz
F2x3z_
—e2,x
F2x3z._\
-e（3）
z
从而3—
x
z
y
1
y
3e2x3z
2e2x3z
13e2x3z
2
13严,
13e2x3z
【详解3】利用全微分公式
dz
e（2dx
3dz）
2dy
-2x3z.
2edx
2dy
-2x3z
3e
（1
3e2x3z）dz
-2x:
2e
3z,
dx:
2e2x3z
2
dz
—2x3z
dx
亠2x
13e
1
3e
z
2e2x3z
z
得
dz
1
x
y
2dy
3e2x3z
37dy
2
13e2x3z
从而3二
x
【评注】此题属于典型的隐函数求偏导
（5）微分方程（yx3）dx2xdy0满足y
x1-的特解为
x15
【分析】此题为一阶线性方程的初值问题
.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解
再利用初值
条件确定通解中的任意常数而得特解
【详解1】原方程变形为
dy
dx
12
2x，
先求齐次方程
dy
dx
2x
y0的通解：
积分得
dy
1
—dx
2x
Iny
1
-lnxInc
2
设yc（x）JX为非齐次方程的通解，代入方程得
1c（皿c（x）^
—c（x）7X
2x
13
从而c（x）-X2
积分得
2
c（x）
于是非齐次方程的通解为
C）
1,
故所求通解为y
1-X.
5
【详解2】原方程变形为
dy
dx
1
2Xy
12
2X,
由一阶线性方程通解公式得
1-InX
e2
6
y
（1）5
从而所求的解为yJX
1-X
2
^x^dx
2
13-X.
5
—dx
2xdxC
1一1nX
2
dx
1,
【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题
（6）设矩阵A
0,矩阵B满足ABA
2BAE,其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩
阵，则B
【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值
【详解1】ABA2BAE
ABA2BAE,
（A2E）BA
E,
2EBA
1,
A2EA
1
（1）
（1）3
【详解2】由A
Aa1,得
ABA2BAE
ABAA1
2BAA1
AA1
AAB2ABa
A（A2E）BA
A^A2E||B
1
A2A2E
【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型
考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘
积的行列式.
二.选择题（本题共8小题，每小题
4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
把所选项前的字母填在题后的括号内
（7）把x0时的无穷小量
x2
0costdt,
2
:
tan皿,
\Zx3
0Sintdt排列起来，使排在
后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
（B）
（A）
（C）
【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.
3
Sintdt
【详解】Qlim—lim-0x
X0x0x丄2,
costdt
0
o（）.
lim—lim
0（）.
i31sinx2—尸lim——
x0
2cosx
3
x2
lim
X02/x
tanJtdt0
#3
sintdt0
从而按要求排列的顺序为
tanx2x
lim3
x0.^31
sinx2—=
2丘
li2x2
lim-—
x01
-x
2
0，
故选（B）.
【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题
（8）设f（x）
（B）
（C）
【分析】
【详解】
从而1x
又f（0）0,
x（1x），则
0是f（x）的极值点，但（0,0）不是曲线
0不是f（x）的极值点，但（0,0）是曲线
0是f（x）的极值点，且（0,0）是曲线y
0不是f（x）的极值点，
求分段函数的极值点与拐点,
f（x）
f（x）
f（x）
（0,0）也不是曲线
f（x）的拐点.
f（x）的拐点.
f（x）的拐点.
yf（x）的拐点.C
按要求只需讨论x0两方f（x），f（x）的符号.
x（1x）,
x（1x）,
12x,
12x,
2,
2,
0时，f（x）凹，1
x0、时，f（x）
f（x）凸，于是（0,0）为拐点.
0,从而x0为极小值点.
所以，x0是极值点，（0,0）是曲线yf（X）的拐点，故选（C）.
【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目
（1
n2
一）2等于n
（9）limlnf/d丄）％?
）2LnVnn
（A）2|n2xdx.
1
2
（B）2lnxdx.
1
2
（C）2Jn（1x）dx.
22
（D）[In2（1x）dx
【分析】
将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后，从四个选项中选出正确的
【详解】
limln寸（1
-）2（1-）2l（1
n
-）2
n
lim
n
In
（1
-）（1
n
-）L
n
（1
lim
n
ln（1
-）
n
ln（1
-）
n
2ln（1丄）1
i1nn
1
20ln（1x）dx
2
L^21lntdt
2
2lnxdx
1
故选（B）.
【评注】
此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型,
值得注意的是化为定积分后还必须作一变换
能化为四选项之一.
0,使得
（10）设函数f（X）连续，且f（0）0,则存在
（A）
f（x）在（0,
）内单调增加.
（B）
f（x）在（
，0）内单调减小.
（C）
对任意的x
（0，）有f（x）
f（0）.
（D）
对任意的x
（，0）有f（x）
f（0）.
C
【分析】
可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数
f（x）在x0附近的局部性质.
【详解】
由导数的定义知
f（0）f畀0,
由极限的性质
0,使x
f（x）f（o）0
x
即x0时，f（x）f（0），
x0时,f（x）f（0）,
故选（C）.
【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质
（11）微分方程
y
yx2
1sinx的特解形式可设为
（A）
y
2ax
bxc
x（Asinx
Bcosx）.
（B）
y
x（ax
2bx
cAsinx
Bcosx）.
（C）
y
2ax
bxc
Asinx.
（D）
y
2ax
bxc
Acosx
【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式
【详解】对应齐次方程yy0的特征方程为
10,
特征根为
x2
02
e（x1）而言，因0不是特征根，从而其特解形式可设为
yi
ax2bxc
sinx
Im（eix），因i为特征根，从而其特解形式可设为
从而
y2
x（AsinxBcosx）
1sinx的特解形式可设为
2
yaxbxcx（AsinxBcosx）
此题的考点是二阶常系数线性方程解
【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题,
的结构及非齐次方程特解的形式
（12）设函数f（u）连续，区域D（x,y）x
2y22y
，贝Uf（xy）dxdy等于
D
（B）
（D）
1
1dx
2
20dy
0d
0d
J1X2严f（xy）dy.
0
2sin
7
f（xy）dx.
f（r2sincos）dr.
2sin
2
f（rsincos）rdr
【分析】将二重积分化为累次积分的方法是：
先画出积分区域的示意图，再选择直角坐标系和极坐标系
并在两种坐标系下化为累次积分
【详解】积分区域见图.
在直角坐标系下，
f（xy）dxdy
D
2J1（y1）2
0dyEf（xy）dx
11』x2
1dx1#-^2f（xy）dy
故应排除（A）、（B）.
xrcos
在极坐标系下，
yrsin
f（xy）dxdy
D
2sin2
0d0f（rsincos）rdr,
故应选（D）.
【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限
（13）设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足
AQC的可逆矩阵Q为
（A）1
（B）1
0
（C）1
（D）
【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系,
对题中给出的行（列）变换通过左
（右）乘一相
应的初等矩阵来实现.
【详解】
由题意
0AQ,
0
从而Q1
故选（D）
【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系
抽象矩阵的行列初等变换可通过左、
右乘相应的初
等矩阵来实现.
（14）设A,B为满足AB0的任意两个非零矩阵
，则必有
（A）
A的列向量组线性相关
B的行向量组线性相关.
（B）
A的列向量组线性相关
B的列向量组线性相关.
（C）
A的行向量组线性相关
B的行向量组线性相关.
（D）
A的行向量组线性相关
B的列向量组线性相关.
【分析】将A写成行矩阵，
可讨论
A列向量组的线性相关性.将B写成列矩阵，可讨论
B行向量组的线
性相关性.
【详解】设A（aij）im,
B（bj）mn,记
AAA2
LAm
AB0
AA2L
L
bin
b21
b22
L
b2n
L
bm1
bm2
L
bmn
Am
binA
LbmnAm
由于B0,所以至少有一bij
m,1
n）,
从而由
（1）知，bijA,b2jA2
bm1Am0,
于是Ai,A2丄,Am线性相关.
B1
又记BB2
M
Bm
则AB0
a11
a12
L
a1m
B1
a11B1
312Bz
L
a1mBm
a21
a22
L
a2m
B2
a21B1
a22B2
L
a2mBm
L
M
L
a1
ai2
L
aim
Bm
ai2B2
L
aimBm
m）,使
aij
由于A0,则至少存在一
0（1
il,1
aiiBi
ai2B2aijBjLaimBm0,
从而Bi,B2,L,Bm线性相关,
故应选（A）.
此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解
【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性,
三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分10分）
x
缶料R曰「12cosx”
求极限lim飞1.
x0x33
【分析】此极限属于—型未定式.可利用罗必塔法则，并结合无穷小代换求解.
0
xln
e31
【详解1】原式lim3——1
x0x3
2cosxln
lim
limln（2cosx）ln3
x0
x0x2
2
x
——1——（sinx）lim2cosx
x02x
1’.1sinx
-lim
2x02cosxx
2cosxxln
e3
【详解2】原式lim
x0
2cosx
ln
3
lim2
x0x2
ln（lCOS^J）
limT"3
X0x2
cosx11
lim2—-
x03x26
【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时，要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合，以简化
运算.
（16）（本题满分10分）
设函数f（x）在（
）上有定义,在区间［0,2］上，f（x）x（x24）,若对任意的x都满足
f（x）kf（x2）,其中k为常数.
（I）写出f（x）在［2,0］上的表达式；
（n）问k为何值时，f（x）在x0处可导.
【分析】
分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论
【详解】
（I）当2x0,即0x22时,
f（x）kf（x2）k（x2）[（x2）24]kx（x2）（x4）.
（n）由题设知
f（0）0.
f（0）
lim
x0
f（x）f（0）
r~0
limG）4
x0x
f（0）
令f（0）f（0）,得k
lim
x0
1
~2
f（x）f（0）
x0
肌9!
^8k.
1
即当k—时，f（x）在
2
【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性
x0处可导.
（17）（本题满分11分）
设f（x）
Sintdt,
（I）证明f（x）是以为周期的周期函数；
（n）求f（x）的值域.
【分析】
利用变量代换讨论变限积分定义的函
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