f(x)=<
⑴|o,其它。
\6a)xa-'eexa,x>0(a已知);
/■(x)=<
(2)、。
,其匕。
壬次/*),%>0;
=.8
⑶0,其它。
解:
(1)首先列出似然函数:
必=伊(缶广,则:
i=l
〃
ln£(0)=nln^+(^-l)ln^lnx.
Z=1
dlnL(0)"、八
则似然万程:
=;+£ln茶)=0
de。
台'
人fl
解出0=
Elnx;
i=i
(2)略
(3)略
5.设总体X的数学期望E(X)存在,X]和X2是容量为2的样本,试证统计量
13
4(X],X2)=—Xj+—X2
'(X],X2)=jXj+~X2
勺(X],X2)=?
X]+?
X2
都是总体期望的无偏估计量,并说明哪一个有效。
解:
首先证明£I《(Xi,X2)]=E(X),再比较Q[《(X|,X2)]。
1n
6.设总体X服从分布N("),X],X2,・“,X„是其样本。
求八使d=—Z|X,一为
ki=\
b的无偏估计量。
解:
k=n^~
7.设X|,X2,・・・,X,为指数分布
1三
/•3)=杼30)
、0(其他)
的一个样本,试验证样本平均值歹是。
的极小方差无偏估计量。
解:
略
8.设某种清漆的9个样品,其干燥时间(单位:
h)分别为
6.05.75.86.57.06.35.66.15.0
设干燥时间总体服从正态分布。
求#的置信度为0.95的置信区间。
(1)若由以
往经验知cr=0.6(h),
(2)若cr为未知。
解:
(1)置信度为0.95的置信区间(5.608,6.392)
(2)置信度为0.95的置信区间(5.5619,6.4381)
9.为了测定甲、乙两厂生产的某种材料的拉力强度是否相同,要求对两厂的产品拉力强度相差多少作出估计。
于是从甲厂抽25个样品,乙厂抽取16个样品,测试结果甲厂平均拉力22公斤,乙厂平均拉力20公斤,根据过去的经验两个工厂的方差均为10公斤。
设拉力强
度服从正态分布。
试对两个总体均值之差构造95%置信区间。
解:
两个正太总体均值差区间估计,且总体方差已知,置信区间为[(X-Y)+za,p^+^],得95%置信区间为(0.016,3.984)
,,2V7“
10.甲、乙两厂生产同种型号电池。
从甲厂抽取36个检查,平均使用寿命150小时,标准差为8小时。
从乙厂抽取30个检查,平均使用寿命为140小时,标准差为6小时。
设电池寿命服从下正态分布,试在置信度为0.95时求:
(1)两厂家电池产品的平均使用寿命之差的置信区间。
(设两厂电池使用寿命方差相同。
)
(2)甲厂生产的电池使用寿命方差的置信区间。
(3)两厂家电池使用寿命方差之比的置信区间。
解:
(1)两个正太总体均值差区间估计,方差未知但相同,置信区间为
13.4707)□
S2/S2S2/S2
(3)置信区间为[!
—Z,!
—Z],得置信度为0.95的置信区间
(0—1,花2—1)&(“IT,n2T)
为(0.8630,3.5641)„
11.
(1)求8题中#的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。
(2)求10题中乙厂电池使用寿命方差成的置信度为0.95具有置信上限的置信区间。
(3)求10题中两厂家电池使用寿命方差比。
畚的置信度为0.95的置信上限。
解:
(1)①方差已知。
对1-=有「{~>z}_a}=1-a,具有置信上限的置信区间为a/y/n
②方差未知,对1-a有p{也二—D}=1一。
,具有置信上限的置信区间为
SIyjn
[0,X-
s
[—Sa(72—1)],即(0,6.3533)o
(2)对1—a有〉伺,(〃—1)}=1一。
具有置信上限的置信区间为
(J
S0?
-1),即(0,589564)。
7/T)
(3)对1-a有p{S\/(T\>-l,n2-l)}=l-«,具有置信上限的置信区间为
S2/(t2
[0,S'/S],即(0,3.5557)。
12.设一枚硬币掷了400次,结果出现了175次正面,求出现正面概率的置信度为0.90的置信区间,再求置信度为0.99的置信区间。
这枚硬币可以看作是均匀的吗?
解:
(1)因万~N(p,以D),即,万—-~N(0,l),以样本比率p代替p计算估计
n
(2)类似的,得置信度为0.99的置信区间(0.3735,0.5015)。
13.某医药公司对其所做的报纸广告在甲、乙两个城市的效果进行了比较,他们从甲城市中随机调查了500名成年人,其中看过该广告的有110人,从乙城市中调查了600名成年人,其中看过该广告的有90人,试求两城市成年人中看过广告的比例之差的置信度为0.95的置信区间。
解:
已知n=50Q〃2=600,属于大样本。
有一万2~N(P\-p°,_+_),以样本比率p代替p计算估计量的标
■一"1«2
准差,则置信度为0.95的置信区间(0.024,0.116)。
14.某医院欲估计一名医生花在每个病人身上的平均时间。
假如要求置信度为0.95,允许误差范围在±2分钟。
且依以前的经验看病时间的标准差为6分钟。
试问需要多大的样本?
解:
由&=z%予,得样本容量约为35。
15.高度表的误差服从正态分布,其标准差为15m。
问飞机上至少应安装几个高度表,才能
以99%的概率相信高度表的平均高度数值元,其误差不超过30m?
解:
至少安装2个。
16.某公司新推出一种营养型豆奶,为做好促销工作,随机地选取顾客作为样本,并问他们是否喜欢此豆奶。
如果要使置信度为0.95,估计误差不超过0.05,则在下列情况下,你建议的样本容量为多大?
(1)假如初步估计,约有60%的顾客喜欢此豆奶。
(2)假如没有任何资料可用来估计大约有多少比率的顾客会喜欢此种豆奶。
解:
(1)由尹,得样本容量为369。
(2)取p=0.5,得样本容量为385。
第六章
1.某种元件的寿命服从正态分布,它的标准差b=90h,今抽取一个容量为36的样本,测得其平均寿命为2260h,问在显著性水平a=0.05下,能否认为这批元件的寿命的期望值为2300h»
解:
提出假设%/=2300Hi:
%。
2300
当a=0.05时,za/=1-96o
计算2=七巴=—2.67
由于|Z|=2.67>z%=1.96,所以拒绝Ho,接受孤即认为这批元件的寿命的期望值不为
2300ho
2.某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg,其标准差为30kg。
现用一种化肥进行试验,从25个小区取样结果,其平均产量为270kg,问这种化肥是否使小麦明显增产?
(a=0.05)
解:
Ho;/j<250q:
巧>250
所以拒绝Ho,接受H],即这种化肥使小麦明显增产。
3.某化肥厂用自动包装机包装化肥,每袋标准重量为50kg,已知装袋重量服从正态分布,某日测得9包重量如下(单位:
kg):
49.6549.3550.2550.6049.1549.8549.7551.0550.25
问:
这天装袋机工作是否正常(a=0.05)
解:
H。
:
//=50:
50
由于|r|=0.04594.一种元件,要求其平均使用寿命不得低于lOOOh,现从这批元件中随机抽取25只,测得其平均使用寿命为950h。
已知这种元件的寿命服从标准差b=100小时的正态分布。
试在显著性水平a=0.05下,确定这批元件是否合格。
解:
Ho:
250Hx\pi{<250
由于Z=—2.5v—z°=—1.645,所以:
拒绝H°,接受H】,这批元件不合格。
5.某批矿砂的5个样品中的镣含量经测定为(%)
3.253.273.243.263.24
设测定值总体服从正态分布,问在二=0.01下能否接受假设:
这批矿砂的镣含量均值为3.25。
解:
H°:
与=3.25H[;%女3.25
由于|r|=o.344,这批矿砂的镣含量均值为3.25。
6.某种电工用保险丝,要求其熔化时间的标准差不得超过15秒。
今在一批保险丝中取样9根,测得S=17秒,设总体为正态分布,问:
在显著水平a=0.05下,能否认为这批保险丝的熔化时间的方差偏大吗?
解:
:
cr2<152H.-.cy->152
由于10.28<15.507,故接受Ho,不能认为这批保险丝的熔化时间的方差偏大。
7.设有两个来自不同正态总体的样本:
A:
15.114.814.915.316.115.8
B:
14.715.215.715.414.415.615.5
试在显著水平a=0.05T,检验两总体方差是否相同。
解:
7/0:
cr=erf:
球W
由于舄.025(5,6)<尸<%975(5,6),故接受H。
,认为两总体方差相等。
8.题中若知道两个样本的总体方差相同,在显著水平«=0.05下,能否认为两个样本来自同一总体?
解:
M
由于|r|=0.3583。
9.测定某种溶液中的水分,它的10个测定值给出S=0.037%,设测定值总体为正态分布,er2为总体方差。
试在显著水平a=0.05下检验假设
H0:
cy>0.04%Hi:
a<0.04%
解:
/(9)>疚95(9),故接受Ho。
10.某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类型产品。
各在一周的产品中取样进行分析比较。
取使用原料A生产的样品220件,测得平均重量为2.64kg,样本标准差为0.57kg。
取使用原料B生产的样品205件,测得平均重量为2.55kg,样本标准差为0.48kg„设这两个总体都服从正态分布且两组样本独立。
问在显著水平a=0.05下能否认为使用原料B的产品平均重量较使用原料A的为大?
解:
H/."[2以2H]:
#1<
当a=0.05时,
t==1.7542>—ta(77|+772—2)~—zoo5=—1-645,所以接受H。
。
注:
本
题未检验方差齐性。
可由大样本做
y_yz=1=1.7648〉-1.645,所以接受%。
"+X
V«1
11.有一批产品,取50个检验,其中4个次品。
在这种情况下,检验Ho:
次品率p<0.05是否成立。
(a=0.05)
解:
题型归类:
单个总体比率的右侧检验。
Ho:
p<5%H[:
p〉5%
当a=0.05,由于Z12.某产品规定的次品率为0.17,现改进了工艺,从用新工艺生产的产品中取400件进行检验,发现有56件次品。
问: