第二章 MATLAB 的基本数学功能.docx

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第二章MATLAB的基本数学功能

第二章MATLAB的基本数学功能

Chaptertwo:

fundamentalMathfunctionofMATLAB

.

一．算术运算（ArithmeticComputation）

MATLAB提供的两种运算方式：

（1）普通的数组运算方式：

（Arraycomputation）在数组中对应元素之间进行运算；

（2）矩阵运算方式：

（matrixcomputations）将标量当作1×1阶矩阵，一维数组当作一行或一列的矢量（即1×n阶或n×1阶的矩阵），二维数组当作m×n阶矩阵，然后按照矩阵的运算规则进行运算。

*二者输入形式和书写方法相同，差别仅在于使用不同的运算符号，执行不同的计算过程，数组的运算是对应元素之间的运算，而矩阵运算是根据矩阵的运算规则进行。

1．加、减运算（additionandsubtraction）

矩阵与数组的加减运算没有区别，运算符均为“+”、“-”，运算方法相同，但两个运算对象必须是同阶矩阵，否则将给出错误信息。

如下例：

a=[123;456;789];

b=[135];

a+b

运行结果给出错误信息：

?

?

?

Errorusing==>±

Matrixdimensionsmustagree.

但标量，即1×1阶矩阵可以和其他不同维数的矩阵进行加减运算，如：

a+5

ans=

678

91011

121214

2．乘除运算（Multiplicationanddivision）

矩阵在进行乘除运算时与通常的运算符号相同（*,/,\），而数组在进行乘除运算时要在通常的符号前加“.”，如：

“.*”和“./”（或“.\”）

（1）矩阵乘法：

（Matrixmultiplication）

条件：

两矩阵中前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相同，如

x=[12;34];

y=[56;78];

x*y

ans=

1922

4350

也可以实现两个相同维数矢量的内积（点乘,dotproduct），如：

a=[-102]‘%（输入行矢量转置为列矢量，等同于a=[-1;0;2]）

b=[-2-11]‘

a‘*b

b‘*a

a=-1

0

2

b=

-2

-1

1

ans=4

ans=4

MATLAB计算点乘（dotproduct）和叉乘（crossproduct）有专门的命令，用dot（a,b）计算矢量a和b的点乘，用cross（a,b）计算叉乘。

矩阵可以和标量相乘，标量可以是乘数也可以是被乘数，都是将矩阵中的每一个元素与标量相乘。

如：

x=[-102];

pi*x

ans=

-3.141606.2832

（2）数组的乘法（Arraymultiplication）

条件：

a,b两数组必须有相同的维数,则a.*b表示a和b中对应元素之间相乘，即z（i,j）=x（i,j）*y（i,j）.如：

x=[123];

y=[456];

z=x.*y

z=

41018

（3）矩阵除法（Matrixdivision）

条件：

a矩阵是非奇异方阵，则a\b（左除）和b/a（右除）都可以实现。

a\b等效于a矩阵的逆左乘b矩阵，即a\b=inv（a）*b，b/a等效于a矩阵的逆右乘b矩阵，即b/a=b*inv（a）.

通常x=a\b是a*x=b的解，x=b/a是x*a=b的解。

一般a\b≠b/a,

右除与左除的关系为：

（b/a）’=（a’\b’）,如；

a=rand（3）

b=rand（3）

c=a\b

d=b/a

w=（b/a）'

t=a'\b'

a=

0.60380.01530.9318

0.27220.74680.4660

0.19880.44510.4186

b=

0.84620.67210.6813

0.52520.83810.3795

0.20260.01960.8318

c=

4.342010.5808-9.1715

0.31281.1052-0.3169

-1.9105-6.15296.6792

d=

1.48645.5604-7.8702

0.71624.5085-5.7059

-0.0482-3.62736.1317

w=

1.48640.7162-0.0482

5.56044.5085-3.6273

-7.8702-5.70596.1317

t=

1.48640.7162-0.0482

5.56044.5085-3.6273

-7.8702-5.70596.1317

（4）数组的除法（Arraydivision）

条件：

a与b必须具有相同的维数。

符号“.\”或“./”,运算结果相同，a.\b表示b中的元素分别除以a中的对应元素,即z（i,j）=x（i,j）\y（i,j）=y（i,j）/x（i,j）。

如：

x=[123];

y=[456];

z=x.\y

z=

4.00002.50002.0000

3.乘方（Power）

（1）矩阵的乘方（Matrixpower）

条件：

在a^p中a,p不可都是矩阵，必须一个是标量，一个是方阵。

a^p意思是a的p次方。

a,p的类别不同，乘方的算法也有差别，有三种情况：

1、a是一个方阵，p是一个标量，且p是大于1的整数，则a的p次幂即为a自乘p次。

2、如p是不为整数的标量时，a^p=V*D.^p/V其中D为矩阵a的特征值矩阵,V为对应的特征矢量阵，可用eig函数求出D和V，[V,D]=eig（a）.

3、当p是方阵而a是标量时，a^p=V*a.^D/V,其中[V,D]=eig（p）.

（2）数组的乘方（Arraypower）符号“.^”

条件：

在底与指数均为数组的情况下，要求他们的维数必须相同。

*当底和指数为同样大小的数组时，x.^y为对应的元素做乘方运算。

如：

x=[123];

y=[456];

z=x.^y

z=

132729

这时执行的实际运算为：

z=x.^y=[123].^[456]=[1^42^53^6]=[132729]

*若指数是标量，执行的运算是底的每一个元素执相同幂次的运算。

既z（i,j）=x（i,j）^2

如：

x=[123];

z=x.^2

得到结果为：

z=

149

这时执行的运算为：

z=[123].^2=[1^22^23^2]=[149]

*若底是一个标量，指数是一个数组，执行的运算是用指数数组的每个元素对底进行乘方运算，即：

z（i,j）=2^x（i,j）,形成新的数组。

如：

x=[123];

z=2.^x

z=

248

这时执行的运算为：

z=2.^x=2.^[123]=[2^12^22^3]

4．转置：

（Transpose）行列转置，符号“‘”

如；计算矩阵a的转置：

a=[123;456;789];

b=a’

b=

147

258

369

也可直接对矢量或矩阵进行转置运算；

[-102]’

ans=

-1

0

2

如z是复数矩阵，则z’是它的复数共轭.转置（Complexconjugatetranspose），若要进行非共轭转置运算，可使用z.’或conj（z’）求得。

例；

z=[1+2i3+4i];

z’

ans=

1.0000-2.0000i

3.0000-4.0000i

z.’

ans=

1.0000+2.0000i

3.0000+4.0000i

conj（z’）

ans=

1.0000+2.0000i

3.0000+4.0000i

CONJComplexconjugate.

CONJ（X）isthecomplexconjugateofX.

ForacomplexX,CONJ（X）=REAL（X）-i*IMAG（X）.

二．数学函数和矩阵函数（Mathematicfunctionandmatrixfunction）

MATLAB提供的数学函数主要有基本函数和特殊函数两部分。

1．数学函数（Mathfunction）

（a）.基本函数：

（Elementaryfunction）三角函数（TrigonometricFunction）、指数函数（Exponentfunction）、复数函数（ComplexFunction）、取整和求余函数（roundandremainfunction）。

（常用基本函数见表2-1，要求课后阅读、记忆）

例:

a=[123;456]

b=fix（pi*a）%朝零方向取整

c=cos（pi*b）

pi*b

a=

123

456

b=

369

121518

c=

-11-1

1-11

说明：

（1）三角函数按弧度计算

（2）除后取模mod（x,y）与y符号相同，除后取余数rem（x,y）与x符号相同，当x与y符号相同时，mod（x,y）等于rem（x,y）.

例：

x=[112531];

y=[456];

M=mod（x,y）

R=rem（x,y）

M=

301

R=

301

x=[-1125-31];

y=[456];

M=mod（x,y）

R=rem（x,y）

M=

105

R=

-30-1

MODModulusafterdivision.

MOD（x,y）isx-n.*ywheren=floor（x./y）ify~=0.Ifyisnotan

integerandthequotientx./yiswithinroundofferrorofaninteger,thennisthatinteger.Byconvention,MOD（x,0）isx.Theinputxandymustberealarraysofthesamesize,orrealscalars.

Thestatement"xandyarecongruentmodm"meansmod（x,m）==mod（y,m）.

REMRemainderafterdivision.

REM（x,y）isx-n.*ywheren=fix（x./y）ify~=0.Ifyisnotanintegerandthequotientx./yiswithinroundofferrorofaninteger,thennisthatinteger.Byconvention,REM（x,0）isNaN.Theinputxandymustberealarraysofthesamesize,orrealscalars.

REM（x,y）hasthesamesignasxwhileMOD（x,y）hasthesamesignasy.

REM（x,y）andMOD（x,y）areequalifxandyhavethesamesign,but

differbyyifxandyhavedifferentsigns.

（b）特殊函数：

（Specialfunction）特殊数学函数（specialmathematicsfunction）、数理函数（Mathematicanalysisfunction）、坐标变换（Coordinatestransformationfunction）（表2-2）

2.矩阵函数：

（Matrixfunction）矩阵分析（MatrixAnalysis）、线性方程组（linearsystemofequations）、特征值和特征矢量（Eigenvaluesandeigenvectors.）、矩阵函数（Matrixfunction）、因式分解（Factoranalysis）等矩阵函数（表2-3）。

有些矩阵函数与数学函数名称相似，区别在于矩阵函数名称后有m字符。

例：

a=[14;916];

r1=sqrt（a）

r2=sqrtm（a）

r1=

12

34

r2=

0.4662+0.9359i0.8860-0.2189i

1.9935-0.4924i3.7888+0.1152i

SQRTSquareroot.

SQRT（X）isthesquarerootoftheelementsofX.Complex

resultsareproducedifXisnotpositive.

SQRTMMatrixsquareroot.

X=SQRTM（A）istheprincipalsquarerootofthematrixA,i.e.X*X=A.

Xistheuniquesquarerootforwhicheveryeigenvaluehasnonnegativerealpart.IfAhasanyeigenvalueswithnegativerealpartsthenacomplexresultisproduced.IfAissingularthenAmaynothaveasquareroot.Awarningisprintedifexactsingularityisdetected.

三．关系运算与逻辑运算（RelationalcalculusandLogicaloperation）

1．关系运算：

（Relationalcalculus）

条件：

对于两个矩阵的关系运算，两边的矩阵必须具有同样尺寸。

关系运算符：

（Relationaloperator）

﹤小于（lessthan）、﹤=小于等于（lessthanorequalto）、﹥大于（greaterthan）、﹥=大于等于（greaterthanorequalto）、==等于（equalto）、～=不等于（notequalto,NE）。

例：

标量

2+2~=4

ans=0

矩阵：

a=[0-12];

b=[-312];

a

ans=

010

a<=b

ans=

011

a>b

ans=

100

a>=b

ans=

101

a==b

ans=

001

a~=b

ans=

110

在程序的流程控制中，关系运算符通常if,while,for,switch等控制命令使用。

2．逻辑运算（Logicaloperation）

逻辑运算符：

（Logicaloperator）

&与（AND），|或（OR），~非（NOT）

条件：

对于两个矩阵的逻辑运算，两边的矩阵必须具有同样尺寸。

“~”是一元算符，当a为零时，返回信息为1，为非零时，返回信息为0。

#p|（~p）返回值为1,#p&（~p）返回值为0

例：

a=[123;456];

b=[-100;00.50];

a&b

ans=

100

010

a|b

ans=

111

111

~b

ans=

011

101

3．关系函数和逻辑函数（RelationalfunctionandLogicalfunction）（表2—6）

例：

a=magic（6）％建立6阶魔术矩阵，元素由1～n2组成

p=（rem（a,3）==0）％对a求余，有余数置0，无余数置1

format+;p％以format+格式给出p的压缩格式

format％将显示格式转换为缺省的短格式

y=a;

i=find（y>10）;％找出y矩阵中大于10的元素的位置i

y（i）=10*ones

（1）%用10代替y中所有大于10的元素

a=

3516261924

3327212325

3192222720

82833171015

30534121416

43629131811

p=

001001

100100

010010

001001

100100

010010

p=

++

++

++

++

++

++

y=

1016101010

3107101010

1092101010

81010101010

10510101010

41010101010

四．基本字符处理功能（ElementarySymbolictreatmentfunction）

1.字符数组的建立（SettingofSymbolicarray）

（1）字符串（stringofcharacter）就是ASCII值得数值数组（Characterarry），MATLAB中每个字符都有相应的ASCII码数值进行存储，输入时所有字符串都用单引号界定后输入或赋值，yesinput除外。

例如：

s1=’Hello’

s1=

Hello

字符串中空格也是字符，上例为1×5阶矩阵：

size（s1）

ans=

15（一行五列）

（2）利用class函数和ischar函数可以判别变量是否为字符串，如：

class（s1）

ans=

char

ischar（s1）

ans=

1

（3）可以用方括号（squarebracket）将字符串合并成更大的串，例如：

s=[s1,’World’]

得结果：

s=

HelloWorld

（4）可以从一个字符串中提取子串（substring），例如：

ss=s（7:

11）

ss=

World

（5）可以将字符串中的字符倒序排列。

例如：

a=’abcd’

a=

abcd

b=a（end:

-1:

1）

b=

dcba

（6）建立二维数组（twodimensionalarray）一样可以直接输入，只须加方括号，并用分号分行，每行字数必须一致，不足处可用空格补充。

例如：

str=[‘name’;’type’;’size’]

str=

name

type

size

还可用str2mat函数把字符串转化为字符数组，这种方法允许用不同长度的字符串。

例如：

s2=str2mat（‘abc’,’abcde’）

s2=

abc

abcde

>>

2．字符数组的运算（Operationofsymbolicarray）

（1）字符以ASCⅡ码存储，用double命令可以查出字符的ASCⅡ码值。

如运行double（s1）得s1码值为：

ans=

72101108108111

（2）用char命令可以实现ASCⅡ码向字符的转换.如：

执行char（[65666768]得：

ans=

ABCD

（3）ischar函数用来检测变量是否为字符变量，返回1为肯定，返回0为否定。

（4）.strcmp函数具有比较字符串的功能，如执行strcmp（str1,str2），返回1表示str1=str2,返回0表示str1≠str2.

（5）.用eval函数将字符串转换为宏功能。

eval（t）就是运行包含在t中的内容。

例如：

用eval函数产生5阶的Hilbert矩阵。

n=5;

t=’1/（i+j-1）’;%字符串t

a=zeros（n）;

fori=1:

n

forj=1:

n

a（i,j）=eval（t）;％将字符串转变为宏功能，运行包含在t

%中的内容

end

end

a

a=

1.00000.50000.33330.25000.2000

0.50000.33330.25000.20000.1667

0.33330.25000.20000.16670.1429

0.25000.20000.16670.14290.1250

0.20000.16670.14290.12500.1111

常用字符串函数（表2—7）

五．建立特殊数组（矩阵）（settingaspecialarray,matrix）

1．标准数组（或矩阵）函数：

（Standardarrayfunction）

MATLAB提供了一些可以用于辅助编程或运算的一些基本数组或矩阵，主要有：

全0数组：

zeros,全1数组：

ones,单位矩阵：

eye,均匀分布的随机数组：

rand,正态分布的随机数组：

randn,对角矩阵：

diag,魔术矩阵magic,pascal矩阵：

pascal.

2.由小数组建立大数组：

（generatingabigarraybyusingsmallarray）

大数组可由方括号中的小数组建立，如有矩阵

a=[123;456;789]%可利用它建立一个大矩阵：

c=[aeye（size（a））;ones（size（a））a^2]

a=

123

456

789

c=

123100

456010

789001

111303642

111668196

111102126150

也可以写成：

d=[azeros（3,2）;ones（2,3）eye（2,2）]

d=

12300

45600

78900

11110

11101

注意：

在同一行的各个小数组要有相同的行数，在同一列上的小数组要有相同的列数。

3.冒号“：

”的使用（Theusingofcolon）

（1）产生一维数组（Initializeaonedimensionalarray），