第二章 MATLAB 的基本数学功能.docx

1、第二章 MATLAB 的基本数学功能第二章 MATLAB 的基本数学功能Chapter two: fundamental Math function of MATLAB.一 算术运算(Arithmetic Computation)MATLAB 提供的两种运算方式：（1） 普通的数组运算方式：(Array computation) 在数组中对应元素之间进行运算；（2） 矩阵运算方式：(matrix computations) 将标量当作11阶矩阵，一维数组当作一行或一列的矢量（即1n阶或 n1阶的矩阵），二维数组当作mn阶矩阵，然后按照矩阵的运算规则进行运算。 *二者输入形式和书写方法相同，差别

2、仅在于使用不同的运算符号，执行不同的计算过程，数组的运算是对应元素之间的运算，而矩阵运算是根据矩阵的运算规则进行。 1 加、减运算(addition and subtraction)矩阵与数组的加减运算没有区别，运算符均为“+”、“-”，运算方法相同，但两个运算对象必须是同阶矩阵，否则将给出错误信息。如下例：a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=1 3 5;a+b运行结果给出错误信息：? Error using =Matrix dimensions must agree.但标量，即11阶矩阵可以和其他不同维数的矩阵进行加减运算，如：a+5ans = 6 7 89 10 1112 12 1

3、42 乘除运算(Multiplication and division)矩阵在进行乘除运算时与通常的运算符号相同(*, /, )，而数组在进行乘除运算时要在通常的符号前加“.”，如：“.* ” 和“./ ” (或 “. ”)(1) 矩阵乘法：(Matrix multiplication)条件：两矩阵中前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相同， 如x=1 2 ; 3 4;y=5 6 ; 7 8;x*yans =19 2243 50也可以实现两个相同维数矢量的内积（点乘,dot product），如：a=-1 0 2 % (输入行矢量转置为列矢量，等同于a=-1;0;2)b=-2 -1 1a*bb*a

4、a = -1 0 2b = -2 -1 1ans = 4ans = 4MATLAB计算点乘(dot product)和叉乘(cross product)有专门的命令，用dot(a,b)计算矢量a和b的点乘，用cross(a,b) 计算叉乘。矩阵可以和标量相乘，标量可以是乘数也可以是被乘数，都是将矩阵中的每一个元素与标量相乘。如：x=-1 0 2;pi*xans = -3.1416 0 6.2832(2) 数组的乘法 (Array multiplication)条件：a,b两数组必须有相同的维数,则a.*b 表示a和b中对应元素之间相乘，即z(i,j)=x(i,j)*y(i,j).如：x=1 2

5、 3;y=4 5 6;z=x.*yz =4 10 18(3) 矩阵除法 (Matrix division)条件：a矩阵是非奇异方阵，则ab(左除)和b/a（右除）都可以实现。ab等效于a矩阵的逆左乘b矩阵，即ab=inv(a)*b， b/a等效于a矩阵的逆右乘b矩阵，即b/a=b*inv(a).通常x=ab 是a*x=b 的解，x=b/a 是x*a=b的解。一般a bb/a,右除与左除的关系为：(b/a)=(ab),如；a=rand(3)b=rand(3)c=abd=b/aw=(b/a)t=aba = 0.6038 0.0153 0.9318 0.2722 0.7468 0.4660 0.19

6、88 0.4451 0.4186b = 0.8462 0.6721 0.6813 0.5252 0.8381 0.3795 0.2026 0.0196 0.8318c = 4.3420 10.5808 -9.1715 0.3128 1.1052 -0.3169 -1.9105 -6.1529 6.6792d = 1.4864 5.5604 -7.8702 0.7162 4.5085 -5.7059 -0.0482 -3.6273 6.1317w = 1.4864 0.7162 -0.0482 5.5604 4.5085 -3.6273 -7.8702 -5.7059 6.1317t = 1.4

7、864 0.7162 -0.0482 5.5604 4.5085 -3.6273 -7.8702 -5.7059 6.1317(4) 数组的除法(Array division)条件：a与b必须具有相同的维数。符号“. ”或 “. / ”,运算结果相同，a.b 表示b中的元素分别除以a中的对应元素,即z(i,j)=x(i,j)y(i,j)=y(i,j)/x(i,j)。 如：x=1 2 3;y=4 5 6;z=x.yz = 4.0000 2.5000 2.00003. 乘方(Power)(1) 矩阵的乘方(Matrix power)条件：在ap 中a, p不可都是矩阵，必须一个是标量，一个是方阵。

8、ap 意思是a的p次方。a, p的类别不同，乘方的算法也有差别，有三种情况：1、a是一个方阵，p是一个标量，且p 是大于1 的整数，则a的p次幂即为a自乘p次。 2、如p是不为整数的标量时， ap=V*D.p/V 其中D为矩阵a的特征值矩阵,V为对应的特征矢量阵，可用eig函数求出D和V， V,D=eig(a). 3、当p 是方阵而a是标量时，ap=V*a.D/V, 其中V,D=eig(p).(2) 数组的乘方(Array power) 符号 “. ”条件：在底与指数均为数组的情况下，要求他们的维数必须相同。*当底和指数为同样大小的数组时，x.y 为对应的元素做乘方运算。如：x=1 2 3;y

9、=4 5 6;z=x.yz =1 32 729这时执行的实际运算为：z=x.y=1 2 3.4 5 6=14 25 36=1 32 729*若指数是标量，执行的运算是底的每一个元素执相同幂次的运算。既z(i,j)=x(i,j)2如：x=1 2 3;z=x.2得到结果为： z= 1 4 9这时执行的运算为：z=1 2 3.2=12 22 32=1 4 9*若底是一个标量，指数是一个数组，执行的运算是用指数数组的每个元素对底进行乘方运算，即： z(i,j)=2x(i,j),形成新的数组。 如：x=1 2 3;z=2.xz =2 4 8 这时执行的运算为：z=2.x=2.1 2 3=21 22 23

10、 4 转置：(Transpose) 行列转置，符号 “ ”如；计算矩阵a的转置：a=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ; b=ab = 1 4 7 2 5 8 3 6 9也可直接对矢量或矩阵进行转置运算；-1 0 2ans = -1 0 2如z是复数矩阵，则z 是它的复数共轭.转置(Complex conjugate transpose )，若要进行非共轭转置运算，可使用z. 或conj(z) 求得。 例；z=1+2i 3+4i;zans = 1.0000 - 2.0000i 3.0000 - 4.0000iz.ans = 1.0000 + 2.0000i 3.0000 + 4.0000

11、iconj(z)ans = 1.0000 + 2.0000i 3.0000 + 4.0000iCONJ Complex conjugate. CONJ(X) is the complex conjugate of X. For a complex X, CONJ(X) = REAL(X) - i*IMAG(X).二 数学函数和矩阵函数( Mathematic function and matrix function) MATLAB提供的数学函数主要有基本函数和特殊函数两部分。1 数学函数(Math function)(a). 基本函数：(Elementary function)三角函数(Tri

12、gonometric Function)、指数函数(Exponent function)、复数函数(Complex Function)、取整和求余函数(round and remain function)。（常用基本函数见表2-1，要求课后阅读、记忆）例: a=1 2 3; 4 5 6b=fix(pi*a) %朝零方向取整c=cos(pi*b)pi*ba = 1 2 3 4 5 6b = 3 6 9 12 15 18c = -1 1 -1 1 -1 1说明：（1） 三角函数按弧度计算 （2）除后取模mod(x,y)与y符号相同，除后取余数rem(x,y) 与x符号相同，当x与y符号相同时 ，m

13、od(x,y)等于rem(x,y).例：x=11 25 31;y=4 5 6;M=mod(x,y)R=rem(x,y)M = 3 0 1R = 3 0 1x=-11 25 -31;y=4 5 6;M=mod(x,y)R=rem(x,y)M = 1 0 5R =-3 0 -1MOD Modulus after division.MOD(x,y) is x - n.*y where n = floor(x./y) if y = 0. If y is not aninteger and the quotient x./y is within round off error of an integer

14、, then n is that integer. By convention, MOD(x,0) is x. The input x and y must be real arrays of the same size, or real scalars.The statement x and y are congruent mod m means mod(x,m) = mod(y,m).REM Remainder after division.REM(x,y) is x - n.*y where n = fix(x./y) if y = 0. If y is not an integer a

15、nd the quotient x./y is within roundoff error of an integer,then n is that integer. By convention, REM(x,0) is NaN. The input x and y must be real arrays of the same size, or real scalars. REM(x,y) has the same sign as x while MOD(x,y) has the same sign as y.REM(x,y) and MOD(x,y) are equal if x and

16、y have the same sign, but differ by y if x and y have different signs.(b) 特殊函数：(Special function)特殊数学函数(special mathematics function)、数理函数(Mathematic analysis function)、坐标变换(Coordinates transformation function)（表2-2） 2. 矩阵函数：(Matrix function) 矩阵分析(Matrix Analysis)、线性方程组(linear system of equations)、特

17、征值和特征矢量(Eigenvalues and eigenvectors.)、矩阵函数(Matrix function)、因式分解(Factor analysis) 等矩阵函数（表2-3）。有些矩阵函数与数学函数名称相似，区别在于矩阵函数名称后有m字符。例：a=1 4; 9 16;r1=sqrt(a)r2=sqrtm(a)r1 = 1 2 3 4r2 = 0.4662 + 0.9359i 0.8860 - 0.2189i 1.9935 - 0.4924i 3.7888 + 0.1152iSQRT Square root. SQRT(X) is the square root of the el

18、ements of X. Complex results are produced if X is not positive.SQRTM Matrix square root. X = SQRTM(A) is the principal square root of the matrix A, i.e. X*X = A. X is the unique square root for which every eigenvalue has nonnegative real part. If A has any eigenvalues with negative real parts then a

19、 complex result is produced. If A is singular then A may not have a square root. A warning is printed if exact singularity is detected.三 关系运算与逻辑运算(Relational calculus and Logical operation)1关系运算：(Relational calculus)条件：对于两个矩阵的关系运算，两边的矩阵必须具有同样尺寸。关系运算符：(Relational operator) 小于(less than)、=小于等于(less th

20、an or equal to)、大于（greater than）、=大于等于(greater than or equal to)、= 等于(equal to)、=不等于(not equal to ,NE)。 例：标量2+2=4ans = 0矩阵：a=0 -1 2;b=-3 1 2;ab ans = 0 1 0ab ans = 1 0 0a=b ans = 1 0 1a=b ans = 0 0 1 a=b ans = 1 1 0 在程序的流程控制中，关系运算符通常if, while, for, switch 等控制命令使用。2 逻辑运算(Logical operation)逻辑运算符：(Logi

21、cal operator) & 与（AND）， | 或（OR）， 非（NOT）条件：对于两个矩阵的逻辑运算，两边的矩阵必须具有同样尺寸。“” 是一元算符，当a为零时，返回信息为1，为非零时，返回信息为 0。# p|(p) 返回值为 1, # p&(p) 返回值为0例：a=1 2 3; 4 5 6;b=-1 0 0; 0 0.5 0;a&bans = 1 0 0 0 1 0a|b ans = 1 1 1 1 1 1 b ans = 0 1 1 1 0 13关系函数和逻辑函数 (Relational function and Logical function) （表26）例： a=magic(6)

22、 建立6阶魔术矩阵，元素由1n2组成p=(rem(a,3)=0) 对a求余，有余数置0，无余数置1format +; p 以format +格式给出p的压缩格式format 将显示格式转换为缺省的短格式y=a;i=find(y10); 找出y矩阵中大于10的元素的位置iy(i)=10*ones(1) % 用10代替y中所有大于10 的元素a = 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11p = 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

23、0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0p = + + + + + + + + + + y = 10 1 6 10 10 10 3 10 7 10 10 10 10 9 2 10 10 10 8 10 10 10 10 10 10 5 10 10 10 10 4 10 10 10 10 10四 基本字符处理功能(Elementary Symbolic treatment function) 1. 字符数组的建立(Setting of Symbolic array) （1）字符串(string of character)就是ASCII值得数值

24、数组(Character arry)，MATLAB 中每个字符都有相应的ASCII码数值进行存储，输入时所有字符串都用单引号界定后输入或赋值，yesinput除外。例如：s1=He llo s1 =Hello字符串中空格也是字符，上例为15阶矩阵： size(s1)ans = 1 5 (一行五列)（2）利用class 函数和 ischar函数可以判别变量是否为字符串，如： class(s1) ans =charischar(s1) ans = 1(3) 可以用方括号(square bracket)将字符串合并成更大的串，例如： s=s1,World得结果：s = Hello World(4)

25、可以从一个字符串中提取子串(sub string)，例如：ss=s(7:11)ss = World(5) 可以将字符串中的字符倒序排列。例如： a=a b c d a =a b c db=a(end:-1:1)b= d c b a(6) 建立二维数组(two dimensional array)一样可以直接输入，只须加方括号，并用分号分行，每行字数必须一致，不足处可用空格补充。 例如：str=name;type;size str =nametypesize还可用str2mat函数把字符串转化为字符数组，这种方法允许用不同长度的字符串。例如：s2=str2mat(abc,abcde)s2 =ab

26、c abcde2 字符数组的运算(Operation of symbolic array) （1）字符以ASC码存储，用double 命令可以查出字符的ASC码值。如运行double(s1) 得s1码值为： ans =72 101 108 108 111 (2) 用char命令可以实现ASC码向字符的转换.如：执行char(65 66 67 68 得： ans =ABCD(3) ischar函数用来检测变量是否为字符变量，返回1 为肯定，返回0 为否定。(4). strcmp 函数具有比较字符串的功能，如执行strcmp(str1,str2)， 返回1 表示str1=str2, 返回0 表示s

27、tr1str2.(5). 用eval 函数将字符串转换为宏功能。eval(t)就是运行包含在t中的内容。 例如： 用eval函数产生5阶的Hilbert矩阵。n=5;t=1/(i+j-1); %字符串ta=zeros(n);for i= 1:n for j=1:n a (i , j) = eval(t); 将字符串转变为宏功能，运行包含在t%中的内容 endendaa = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500

28、0.2000 0.1667 0.1429 0.12500.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111常用字符串函数（表27）五 建立特殊数组（矩阵）(setting a special array, matrix)1 标准数组（或矩阵）函数：(Standard array function) MATLAB提供了一些可以用于辅助编程或运算的一些基本数组或矩阵，主要有：全0数组：zeros,全1数组：ones,单位矩阵：eye, 均匀分布的随机数组：rand, 正态分布的随机数组：randn,对角矩阵：diag, 魔术矩阵magic, pascal矩阵：pascal.2. 由

29、小数组建立大数组：(generating a big array by using small array) 大数组可由方括号中的小数组建立，如有矩阵a=1 2 3; 4 5 6 ; 7 8 9 %可利用它建立一个大矩阵：c=a eye(size(a); ones(size(a) a2a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9c = 1 2 3 1 0 0 4 5 6 0 1 0 7 8 9 0 0 1 1 1 1 30 36 42 1 1 1 66 81 961 1 1 102 126 150也可以写成： d=a zeros(3,2); ones(2,3) eye(2,2)d = 1 2 3 0 0 4 5 6 0 0 7 8 9 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1注意：在同一行的各个小数组要有相同的行数，在同一列上的小数组要有相同的列数。3. 冒号“：” 的使用(The using of colon)（1） 产生一维数组(Initialize a one dimensional array)，