导函数与原函数的性质讨论.docx
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导函数与原函数的性质讨论
导函数与原函数的性质讨论
摘要
本文首先描述了导函数和原函数的定义。
在明确了何为导函数后，重点介绍了导函数的两个特殊的性质：
导函数的介值性和导函数的间断点不可为第一类间断点，并给出了相应的证明和相关的应用举例，也根据这两大性质得到了一些相关的推论（表述了函数的相关特征与其原函数是否存在之间的关系），并通过例题展示了这些推论在解题中的重要作用。
同样，与导函数相对应的，原函数（即可导函数）由其定义的确定性使得这类函数也具有一些性质，将在文中予以论证。
接着，继续讨论了一些函数性质（包括：
函数的周期性，奇偶性，单调性，可积性，可微性等）在导函数和其原函数二者之间是否具有交互传递的性质，并对各结论给出相应的例子或证明。
最后，根据第一部分介绍的导函数的特性并借助积分，讨论了函数的黎曼积分存在和函数的原函数存在二者之间的关系，并给予必要的证明和举例。
关键词：
导函数；介值性；间断点；原函数；
DISCUSSIONOFTHENATUREOFTHEDERIVATIVEFUNCTIONANDTHEORIGINALFUNCTION
ABSTRACT
Thispaperfirstdescribesthedefinitionsofthederivativefunctionandtheoriginalfunction．Whenthedefinitionofthederivativeisclear，wefocusonthetwospecialpropertiesofthederivativefunction：
theintermediatevalueofthederivativefunctionandthefirstclassdiscontinuitypointsdon’tappearonthederivativefunction．Andthecorrespondingevidencesandrelevantapplicationexamplesareshown．Wealsogotsomeinferencesrelatedaccordingtothesetwoproperties（whichshowtherelationshipsbetweenthepropertiesofafunctionandtheexistenceoftheoriginalfunction），andthroughtheexamplesweseehowimportanttheseinferencesareinsolvingproblems．Similarly，theoriginalfunction（namelythedifferentiablefunction）alsohassomepropertieswhicharedemonstratedinthispaperforitsspecialdefinition．Then，wecontinuetodiscusssomenaturesoffunctions（including:
periodic，parity，monotonicity，integrability，differentiabilityandsoon）tofindoutweatherthereareinteractionsbetweenthederivativefunctionsandtheoriginalfunctions，andgiveouttheexamplesorevidenceswhichareneed．Atlast，accordingtothepropertiesdescribedinthefistpartandwiththehelpofintegrationwediscusstherelationshipsbetweenthefunctionswhichcanbeintegrabledandthefunctionswhichhavetheoriginalfunctioninthelastpartofthepaper，andalsoexamplesorevidencesthatarenecessaryareshown．
Keywords:
derivativefunction；intermediatevalue；discontinuitypoints；originalfunction；
1绪论
函数，是为我们所掌握的一种常用的数学工具。
我们可以用它来对现实世界进行抽象。
通过分析、抽象，可以利用数学符号将复杂的现实问题通过系统的函数符号来表示，从而实现对问题的量化的分析、简化，使得我们可以将生活中形形色色看似不同的问题用数学领域的通用方法予以分析、计算，从而极大的有益于我们对实际问题的解决。
亦即，我们只需要纯理论的用数学方法来研究“函数”这一抽象的数学工具，通过对函数的性质的研究与探讨，便可以帮助我们解决复杂、多元的现实问题，其重要性显而易见。
通过导数运算我们得到了新的一类函数，即导函数。
作为有特殊定义的一类函数，使得我们能够通过对导函数自身的性质特点的分析来研究原函数（相对应导函数而得到的定义）的性质，最常见的是通过导函数的符号来反映原函数的单调性，借此帮助我们画出函数的变化趋势图（反映函数图像的增减趋势），从而可以帮助我们解决函数的极值（最值），单调性，函数零点（方程根）等一系列问题。
另外，作为有特殊定义的一类函数，导函数具有自己的一些明确的性质，比如间断点可以确定不能是第一类间断点，在定义区间上存在介值性。
在导函数定义下通过对函数各性质进行分析讨论，得到的一些结论可以在我们解决函数相关问题时起到重要作用。
例如，可以利用导函数的介值性来论证函数的零点存在问题，判断原函数是否存在等。
当前，关于导函数的有关性质，以及导函数与原函数二者之间的在函数性质上所反应的交互关系，函数是否可积与函数原函数是否存在二者之间的关系，这些方面都有不少的研究成果和结论，这些结论对于我们在数学分析和相关的数学领域都是有重要意义的。
本文作者通过对资料的查阅整理，对现有成果进行学习和分析，较为系统的整理了有关导函数和原函数的性质的相关问题，并对相应结论进行严格的证明，且相应的给出各结论的应用例题或用以支持结论的反例，从而实现对导函数相关内容在解题应用方面的论证，加深对导函数与原函数性质的理解。
2导函数的性质
2.1定义
导函数的定义：
若函数
在区间
上处处可导，对
，令
（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称
为
在区间
上的导函数。
原函数的定义：
若函数
与
在区间
上都有定义，若
，
，则称
为
在区间
上的一个原函数。
由以上定义容易看出，在导数的定义下，一个导函数的原函数并不是唯一的，
且同一导函数的任意两个原函数之差为一个常数值。
2.2性质
2.2.1导函数的介值性
引理1：
设函数
在点
处有有限导数，如果该导数
，那么当
取左方充分接近于
的数值时就有：
，而当
取右方充分接近于
的数值时就有：
。
亦即是说：
函数
在
处增大（减小）。
如果所考虑的是单侧导数，例如左导数，那么只有对
点左方的数值该命题才有效。
证明：
由导数的定义：
，
若
则存在
的邻域
，使得在其中
成立：
，
首先设
，那么
，则由上面的不等式能够得：
，即
；
又当
时，有：
，
则显然有：
，即：
。
证毕。
定理1（达布定理）：
若函数
在区间
内有有限导数，记
，
，则函数
在区间
内必至少一次取得介于
与
之间的每一个值。
注：
导函数的达布定理成立不要求
在区间
上连续。
一般情况下，在
上不连续的任意函数不一定能得出该结论，即是说定理1所表述的性质是导函数所特有的。
比如：
在
上不连续，则：
对
，都不存在
，使得
。
证明：
首先，设
与
异号，不妨设
，
，下面先证在区间
上存在一点c，在这点处
为零：
由有限导数
的存在知，显然
为连续函数，则
在区间上某一点
处取最大值，且
点不与
，
重合,因为根据引理1，在
点的近处（右端）
，而在
点的近处（左端）有
，因此
，再依Fermat定理，得
，下面讨论一般情形：
取介于
与
之间的任意数
不妨设
，做辅助函数
，它在区间
内是连续的，并且有导数
。
因为：
，而：
，故依已证明的结论，有一点
存在，在这点处：
，即
。
证毕。
利用定理1，我们在解决判断零点的问题时将会很方便，例如：
例1.设函数
在
上二次可微，且有界，试证明：
存在点
，
使得
.
证明：
若
变号，则由定理1可知，存在
，使得
，
若
定号，不妨设
，则有反证法如下：
，则
为严格单调递增函数，
假设存在
，使得
，则：
若
，则当
，且令x
时，有：
若
，则当
，且令x
时，有：
，
结论与
有界矛盾，故由此得出：
必有
，
由
的任意性知，
在
上恒为零，显然与
为严格单调递增函数矛盾。
由此知，我们的假设前提不成立，即
定号不成立，故必为第一种情况：
在
上异号。
证毕。
其实我们可以根据定理1直接得到推论1，在很多解题中推论1应用起来更方便。
推论1：
设函数
在区间
内可导，
且
，则必存在
，使得：
。
或者有的题目并不直接要求判断零点，但同样的类似于例1可以直接利用定理1解题。
例2.设函数
在区间
上连续，
，
，试证：
至少存在一点
，使得：
。
证明：
为
上连续函数，则
可看做某函数的导函数。
依题，不妨设
，
则由，
，
，
故由保号性可知，存在x1
，有：
存在x2
（且
），有：
则由
在
连续可知，在
，
之间至少存在一点c，使得：
。
证毕。
例3.设
在区间[-1,1]上三次可微，证明存在实数
，使得:
。
证明：
依泰勒公式：
，
，则：
则由定理1可知，存在
，使得：
，则有结论：
。
证毕。
例4.设
在
上存在连续的二阶导数，且
，证明：
至少存在一点
，使得：
。
证明：
设
，则由泰勒公式可得：
，
，
，
则由定理1知，存在实数
，使得：
，于是有：
。
证毕。
例5.设
在区间
上连续，在
内有二阶连续导数，试证：
区间
上至少存在一点
，使得：
。
证明：
将
，
分别在
点泰勒展开，有:
，
，
上面两式相加得，
则：
，
若
，则取
，若
，则由定理1：
与
之间必存在一点
，满足:
故：
。
证毕。
2.2.2导函数无第一类间断点
定理2：
若
在
上处处可导，且记
，则对于
，有：
在
点若不连续，则
必为
的第二类间断点。
注：
对于函数的间断点，将左、右极限皆存在的间断点称为第一类间断点，至少有一侧极限不存在的间断点称为函数的第二类间断点。
下面给出导
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