高中语文《指数函数》教案1 苏教版必修1.docx
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高中语文《指数函数》教案1苏教版必修1
2019-2020年高中语文《指数函数》教案1苏教版必修1
教学目标
1.掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.
2.能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.
3.能根据单调性解决基本的比较大小的问题.
教学重点
指数函数的定义、图象、性质
教学难点
指数函数的描绘及性质
教学过程
一.问题情景
问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂次以后,得到的细胞个数与有怎样的关系.
问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的关系.
二.学生活动
1.思考问题1,2给出与的函数关系?
2.观察得到的函数,与函数的区别.
3.观察函数,与的相同特点.
三.建构数学(用投影仪,把两个例子展示到黑板上)
[师]:
通过问题1,2的分析同学们得出与之间有怎样的关系?
[生1]:
分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到()个细胞,分裂三次得到(),所以分裂次以后得到的细胞为个,即与之间为.
[生2]:
第一次剩下绳子的,第二次剩下绳子的(),第三次剩下绳子的
(),那么剪了次以后剩下的绳长为米,所以绳长与之间的关系为.
(学生说完后在屏幕上展示这两个式子)
[师]:
这两个关系式能否都构成函数呢?
[生]:
每一个都有唯一的与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.
[师]:
(接着把打出来)既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数,在形式上与函数有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).
[生]:
前两个函数的自变量都在指数的位置上,而的自变量在底上.
[师]:
那么再观察一下,与函数有什么相同点?
[生]:
他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.
[师]:
由此我们可以抽象出一个数学模型就是我们今天要讲的指数函数.(在屏幕上给出定义)
定义:
一般地,函数
()
叫做指数函数,它的定义域是.
概念解析1:
[师]:
同学们思考一下为什么中规定?
(引导学生从定义域为的角度考虑).(先把,,显示出来,学生每分析一个就显示出一个结果)
[生]:
⑴若,则当时,没有意义.
⑵若,则当取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:
.
⑶若,则,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了.
所以,我们规定指数函数的底.
[师]:
很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:
问题1.已知函数为指数函数,求的取值范围.(屏幕上给出问题)
[生]:
由于作为指数函数的底因此必须满足:
即
概念解析2:
[师]:
我们知道形如()的函数称为指数函数.通过观察我们发现:
⑴前没有系数,或者说系数为1.既;
⑵指数上只有唯一的自变量;
⑶底是一个常数且必须满足:
.
那么,根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数?
(在屏幕上给出问题2)
问题2.⑴,⑵,⑶,⑷
⑸,⑹,⑺,⑻
[生1]:
(答)⑴⑶⑷为指数函数.⑵⑸⑹⑺⑻不是.
[生2]:
我不同意,⑺应该是指数函数,因为.
[师]:
很好,我们发现有些函数表面上不是指数函数,其实经过化简以后就变成了指数函数.所以不要仅从表面上观察,要抓住事物的本质.
[师]:
上面我们分析了指数函数的定义,那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质.
根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤?
[生]:
(共同回答)列表,描点,连线.
[师]:
好,下面我请两个同学到黑板上分别作出,和,的函数图象.(等学生作好图并点评完以后,再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来)
[师]:
那么我们下面就作出函数:
,,,的图象
-3
0
1
2
3
1
2
4
8
8
4
2
1
1
3
9
9
3
1
[师]:
通过这四个指数函数的图象,你能观察出指数函数具有哪些性质?
(先把表格在屏幕上打出来,中间要填的地方先空起来,根据学生的分析一步步展示出来)
[生1]:
函数的定义域都是一切实数,而且函数的图象都位于轴上方.
[师]:
函数的图象都位于轴上方与有没有交点?
随着自变量的取值函数值的图象与轴是什么关系?
[生1]:
没有.随着自变量的取值函数的图象与轴无限靠近.
[师]:
即函数的值域是:
.那么还有没有别的性质?
[生2]:
函数、是减函数,函数、是减函数.
[师]:
同学们觉的他这种说法有没有问题啊?
(有)函数的单调性是在某个区间上的,因此有说明是在哪个范围内.又,那么上述的结论可以归纳为:
[生2]:
当时,函数在上是减函数,当时,函数在上是增函数.
[师]:
很好,请做!
(提问[生3])你观察我们在作图时的取值,能发现什么性质?
[生3]:
当自变量取值为0时,所对的函数值为1.一般地指数函数当自变量取0时,函数值恒等于1.
[师]:
也就是说指数函数恒过点,和底的取值没有关系.那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量之间有什么关系?
[生3]:
由图象可以发现:
当时,若,则;若,则.
当时,若,则;若,则.
[师]:
刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?
[生4]:
函数与的图象关于轴对称,函数与的图象关于轴对称,所以是偶函数.(?
?
?
?
)
[师]:
前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?
[生]:
(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.
[师]:
由此我们得到一般的结论,函数与的图象关于轴对称.
[师]:
很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.
图
象
性
质
定义域
值域
定点
单调性
在上是减函数
在上是增函数
取值
情况
若,则
若,则
若,则
若,则
对称性
函数与的图象关于轴对称
巩固与练习
1根据指数函数的性质,利用不等号填空.(在屏幕上给出练习,让学生口答)
⑴ ,⑵ ,⑶ ,⑷ ,
⑸ ,⑹ ,⑺ ,⑻ .
四.数学运用
例1.比较大小
⑴⑵⑶
解:
⑴考虑指数函数.因为
所以在上是增函数.因为
所以
⑵考虑指数函数.因为
所以在上是减函数.因为
所以
⑶由指数函数的性质知,而
所以
例2.⑴已知,求实数的取值范围;
⑵已知,求实数的取值范围.
解:
⑴因为,
所以指数函数在上是增函数.
由,可得,即的取值范围为
⑵因为
所以指数函数在上是减函数,因为
所以
由此可得,即的取值范围为.
五.回顾小结
(),).要能根据概念判断一个函数是否为指数函数.
2.指数函数的性质(定义域、值域、定点、单调性).
3.利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法,因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象.
六.课外作业
课本 1,2,4
2019-2020年高中语文《指数函数》教案2苏教版必修1
一、教学目标
1、知识与技能:
了解指数函数模型的实际背景,掌握指数函数的概念和意义,掌握指数函数的图象和性质。
2、过程与方法:
通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察、分析、归纳猜想的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3、情感、态度和价值观:
通过对指数函数的研究,让学生体验从特殊到一般的学习规律,认识数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣,培养学生的创新意识。
二、教学重点、难点
重点:
指数函数的图像和性质。
难点:
指数函数的图象性质与底数a的关系。
突破难点的关键:
寻找新知识生长点,建立新旧知识的联系,在理解概念的基础上充分结合图象,利用数形结合来扫清障碍。
三、教学方法与手段
本节课采用自主探究、合作交流的教学方法,借助多媒体,引导学生观察、分析、归纳、概括,调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。
四、教学过程
(一)创设情境
问题一、某种细胞分裂时,每次每个细胞分裂为2个,则1个这样的细胞第一次分裂后变为细胞2个,第2次分裂后就得到4个细胞,第3次分裂后就得到8个细胞,……分裂次数x与细胞个数y有什么关系
通过学生观察细胞分裂的过程,探究分裂次数与细胞个数的关系,归纳猜想得到y=2x(x∈N)
问题二、一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约为原来的84%。
求出这种物质的剩留量随时间(单位:
年)变化的函数关系。
分析:
最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示,
经过1年,y=0.841经过2年,y=0.842
经过3年,y=0.843……经过x年,y=0.84x(x∈N*)
(二)引入概念
引导学生从结构式、底数、指数三个方面观察y=2xy=0.84x得到这类函数的特点是底数为常数,指数为自变量
指数函数的定义:
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1,x∈R)叫做指数函数。
如:
函数y=2xy=(1/2)xy=10x都是指数函数,它们的定义域都是实数集R,提醒学生指数函数的定义是形式定义,如y=3×2x
y=10x+5不是指数函数
讨论:
y=ax在x∈R的前提下,为什么规定a>0,a≠1
(1)若a<0,ax不一定有意义.如a=-2,当x=1/2,
(1)若a=0,则当x>0时,ax=0;x≤0时,ax无意义.
(3)若a=1,则对于任意x∈R,ax=1为常量。
练习若函数y=(a2-3a+3).ax是指数函数,则a=2
(三)、图像与性质
1、作出函数y=2x,y=(1/2)x的图象
列出x、y的对应值表
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
2x
…
1
2
4
8
…
(1/2)x
…
8
4
2
1
…
指导学生做出y=2xy=(1/2)x的图象
观察两个函数图像的特点,借助几何画板直观展示底数不同的指数函数的图像,让学生观察底数的变化对于图像的影响。
2、图像与性质
0a>1
图
象
o
图
像
特
征
图像分布在一、二象限,在x轴的上方,过点(0,1)
当x逐渐增大时,曲线从x轴的上方逐渐逼近轴
当x逐渐减小时,曲线从x轴的上方逐渐逼近轴
性
质
定义域
R
值域:
(0,+∞)
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值的变化规律
当x=0时,y=1
x<0时,y>1,
x>0时,0x<0时,0x>0时,y>1;
3、指数函数性质的口诀:
指数函数象束花,(0,1)这点把它扎,撇增捺减无例外,
底互倒数纵轴夹,X=1为判底线,交点Y标看小大
重视数形结合法,横轴上面图象察。
4、练习
(1)指数函数y=axy=bxy=cxy=dx的图象如下图所示,则底数a、b、c、d与正整数1共五个数,从大到小的顺序是b2、函数F(x)=ax-xx+xx(a>0,a≠1)的图像恒过定点(xx,xx)
3、已知函数F(x)=ax(0(1)若x>0,则0(2)若x<1,则f(x)>0
(3)若f(x1)>f(x2),则x1(四)典型例题
例1、1.7a与1.7a+1
解:
函数y=1.7a,在实数集上是增函数。
因为a所以1.7a<1.7a+1
练习比较下列两数的大小
0.6181.9与0.6181.8
例2、已知0.8a>0.8b比较a、b的大小
解:
函数y=(0.8)x在实数集上是减函数。
因为0.8a>0.8b
所以a
练习
(1)已知1.1m<1.1n,比较m、n的大小
(2)已知:
am0,a≠1)比较m、n的大小
答案:
(1)m(2)当0n;当a>1时,m强调解题过程必须写清
(1)构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性.
(2)自变量的大小比较.
(3)函数值的大小比较.
例3比较大小
与
引导学生观察底数不同,可运用指数的运算转化为同底数的,再利用指数函数的单调性比较大小
解:
=
因为
所以<
练习、比较下列各数的大小:
与
例4求满足下列条件的x取值集合
(1)23x+1>
解:
原不等式可转化为23x+1>2-2
因为y=2x在实数集上为增函数
所以3x+1>-2解得x>-1
所以,满足条件的取值集合是
练习求满足下列条件的x值
(1)4x>23-2x
(2)
(五)总结巩固:
1、指数函数的概念
2、指数函数的图像与性质
3、数学思想和方法
(六)思考:
1、比较a2x+1与ax+2(a>0且a≠1)的大小
2、A先生从今天开始每天给你10万元,而你第一天给A先生1元,第二天给A先生2元,第三天给4元,第四天给8元……依此类推。
(1)A先生要与你签订15天的合同,你同意吗?
(2)A先生要与你签订30天的合同,你同意吗?
五板书设计
指数函数
一、指数函数的定义二、图像与性质三、例题