将军饮马的六种模型将军饮马的数学模型.docx
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将军饮马的六种模型将军饮马的数学模型
将军饮马的六种常见模型
将军饮马问题——线段和最短
一．六大模型
1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小
4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
2、常见题目
Part1、三角形
1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC的最小值
解：
∵点C关于直线AD的对称点是点B，
∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，
过点B作BH⊥AC于点H，
则EH=AH–AE=3–2=1，
BH===
在直角△BHE中，BE=
==
2．如图，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
解：
作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E=4
3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值
解：
作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN=MB+MN.B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN=2∠BAC=60°，AB'=AB=2，∠ANB'=90°，∠B'=30°。
∴AN=1，在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N=
Part2、正方形
1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。
即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。
解：
故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。
则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。
线段BM的长就是DN＋MN的最小值。
在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。
故DN＋ＭＮ的最小值是10
2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）
A．B．C．3D．
解：
即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小。
点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE=PB+PE=PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=
3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
解：
在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小
∵点B关于AC的对称点是D点，
∴连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点
DQ=PD+PQ=PB+PQ，故DQ的长就是PB+PQ的最小值
在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2，根据勾股定理，得，DQ=
4．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；
解：
连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中，求得AE的长为
Part3、矩形
1．如图，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；
解：
作点C关于BD的对称点C'，过点C'，
作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值
直角△BCD中，CH=
直角△BCH中，BH=
△BCC'的面积为：
BH×CH=160
∴C'E×BC=2×160则CE'=16
Part4、菱形
1．如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；
解：
点C关于BD的对称点是点A，
过点A作AE⊥BC，交BD于点P，
则AE就是PE+PC的最小值
在等腰△EAB中，求得AE的长为
Part5、直角梯形
1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上秱动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）
A、B、C、D、3
解：
作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P
则A'D=PA'+PD=PA+PDA'D的长就是PA+PD的最小值
S△APD=4
在直角△ABP中，AB=4，BP=1，根据勾股定理，得AP=
∴AP上的高为：
Part6、圆形
1．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
解：
在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，OA'=OB=4根据勾股定理，A'B=
2．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（）
A.B.C.1D.2
解：
MN上求一点P，使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，则点P就是所要作的点A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形∴A'B=
Part7、一次函数20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
解：
（1）由题意得：
0=2x+b，4=b
解得k=-2，b=4，
∴y=-2x+4
（2）作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P
则C＇D=C'P+PD=PC+PD
C'D就是PC+PD的最小值
连接CD，则CD=2，CC′=2
在直角△C'CD中，根据勾股定理C＇D=
求直线C'D的解析式，由C'（-1，0），D（1，2）
∴有0=-k+b，2=k+b
解得k=1，b=1，
∴y=x+1
当x=0时，y=1，则P（0，1）
Part8、二次函数
1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。
，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在
（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC周长最小？
若存在求出点C坐标；若不存在，请说明理由.
解：
（1）B（1，）
（2）y=
（3）∵点O关于对称轴的对称点是点A，则连接AB，
交对称轴于点C，则△BOC的周长最小
y=，当x=-1时，y=
∴C（-1，）
2．如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；
（3）以点A为圆心，以AD为半径作圆A；
解：
（1）①证明：
当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；
②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。
（2）连接BC，交直线l于点D，则DA+DC=DB+DC=BC，
BC的长就是AD+DC的最小值
BC：
y=-x+3
则直线BC与直线x=1的交点D（1，2），
3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE//PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
（1）由题意得,解得
∴抛物线的解析式为
（2）点B关于对称轴的对称点是点A，连接AC交对称轴于点P，则△PBC的周长最小.
设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（-3，0），C（0，-2），
则,解得k=，b=-2
∴直线AC的解析式为y=x–2
把x=-1代入得y=，∴P（-1，）
（3）S存在最大值
∵DE//PC，∴OE/OA=OD/OC，即OE/3=（2-m）/2
OE=3-m，AE=OA–OE=m
方法一，连接OP
S=S四边形PDOE–S△OED=S△POE+S△POD–S△OED
=×（3-m）×+×（2-m）×1-×（3-m）×（2-m）
=m2+m
=（m-1）2+
∴，当m=1时，S最大
方法二，
S=S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD
=m2+m=（m-1）2+
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