将军饮马的六种模型将军饮马的数学模型.docx

1、将军饮马的六种模型将军饮马的数学模型 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题线段和最短 一六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射

2、线OM的距离之和最小 2、常见题目 Part1、三角形 1如图，在等边ABC中，AB = 6，ADBC，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解： 点C关于直线AD的对称点是点B， 连接BE，交AD于点M，则ME+MD 最小， 过点B作BHAC 于点H， 则EH = AH AE = 3 2 = 1， BH =在直角BHE 中，BE =2如图，在锐角ABC 中，AB =，BAC45，BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM+MN 的最小值是_ 解：作点B 关于AD 的对称点B，过点B作BEAB 于点E，交AD 于点F，

3、则线段BE长就是BM的最小值在等腰RtAEB中，根据勾股定理得到，BE = 4 3如图，ABC 中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB 上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，则这个最小值 解：作AB关于AC的对称线段AB，过点B作BNAB，垂足为N，交AC 于点M， 则BN = MB+MN = MB+MN. BN 的长就是MB+MN 的最小值，则BAN = 2BAC= 60，AB = AB = 2， ANB= 90，B = 30。 AN = 1 ，在直角ABN 中，根据勾股定理 BN = Part2、正方形 1如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM2，N 是AC 上的

4、一动点，DNMN 的最小值为_。 即在直线AC 上求一点N，使DN+MN 最小 。解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DNMNBNMNBM 。线段BM的长就是DNMN的最小值。在直角BCM中，CM6，BC8， 则BM10。故DN的最小值是10 2如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PDPE 的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D 解：即在AC 上求一点P，使PE+PD 的值最小。 点D 关于直线AC 的对称点是点B， 连接BE 交AC 于点P，则BE = PB+PE = PD+PE

5、， BE 的长就是PD+PE 的最小值BE=AB =3在边长为2 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为_（结果不取近似值）. 解：在AC 上求一点P，使PB+PQ 的值最小 点B 关于AC 的对称点是D 点， 连接DQ，与AC 的交点P 就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ ，故DQ 的长就是PB+PQ 的最小值 在直角CDQ 中，CQ=1 ，CD=2，根据勾股定理，得，DQ=4如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最

6、小值； 解：连接AE，交BD 于点P，则AE 就是PE+PC 的最小值 在直角ABE 中，求得AE 的长为 Part3、矩形 1如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PD 的最小值； 解：作点C 关于BD 的对称点C，过点C， 作CBBC，交BD 于点P，则CE 就是PE+PC 的最小值 直角BCD 中，CH=直角BCH 中，BH=BCC的面积为：BHCH = 160 CEBC = 2160 则CE = 16 Part4、菱形 1如图，若四边形ABCD 是菱形， AB=10cm，ABC=45，E

7、为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值； 解：点C 关于BD 的对称点是点A， 过点A 作AEBC， 交BD 于点P，则AE 就是PE+PC 的最小值 在等腰EAB 中，求得AE 的长为Part5、直角梯形 1已知直角梯形ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上秱动，则当PA+PD 取最小值时， APD 中边AP 上的高为（ ） A、 B、 C、 D、3 解：作点A 关于BC 的对称点A，连接AD，交BC 于点P 则AD = PA+PD = PA+PD AD 的长就是PA+PD 的最小值 SAPD = 4 在直角ABP 中，

8、AB = 4，BP = 1 ，根据勾股定理，得AP=AP 上的高为：Part6、圆形 1已知O 的直径CD 为4，AOD 的度数为60，点B 是的中点，在直径CD 上找一点P，使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值 解：在直线CD 上作一点P，使PA+PB 的值最小 作点A 关于CD 的对称点A，连接AB， 交CD 于点P，则AB 的长就是PA+PB 的最小值 连接OA，OB，则AOB=90， OA = OB = 4 根据勾股定理，AB= 2如图，MN 是半径为1 的O 的直径，点A 在O 上，AMN30，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PAPB 的最小值为( )

9、A. B. C. 1 D. 2 解：MN 上求一点P，使PA+PB 的值最小 作点A 关于MN 的对称点A，连接AB，交MN 于点P， 则点P 就是所要作的点 AB 的长就是PA+PB 的最小值 连接OA、OB，则OAB 是等腰直角三角形 AB= Part7、一次函数 20一次函数y=kx+b 的图象与x、y 轴分别交于点A（2，0），B（0，4） （1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点，设OA、AB 的中点分别为C、D，P 为OB 上一动点，求PCPD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标 解：(1)由题意得：0=2x+b，4=b 解得 k=-2，b=4， y=-2x+4 (2)作点

10、C 关于y 轴的对称点C，连接CD，交y 轴于点P 则CD=CP+PD = PC+PD CD 就是PC+PD 的最小值 连接CD，则CD=2，CC=2 在直角CCD 中，根据勾股定理 CD=求直线CD 的解析式，由C(-1，0)，D(1，2) 有0=-k+b，2=k+b 解得 k=1，b=1， y=x+1 当x=0 时，y =1，则P(0，1) Part8、二次函数 1如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120。，得到线段OB. （1）求点B 的坐标； （2）求经过A、O、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存

11、在点C，使BOC 周长最小？若存在求出点C 坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)B(1，) (2) y = (3)点O 关于对称轴的对称点是点A，则连接AB， 交对称轴于点C，则BOC 的周长最小 y =，当x=-1 时，y = C(-1， ) 2如图，在直角坐标系中，A，B，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线l，D 为直线l 上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标； (3)以点A 为圆心，以AD 为半径作圆A； 解：（1）证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与圆A 相切； 写出直线B

12、D 与圆A 相切时，点D 的另一个坐标。 （2）连接BC，交直线l 于点D，则DA+DC = DB+DC = BC， BC 的长就是AD+DC 的最小值 BC：y=-x+3 则直线BC 与直线x=1 的交点D(1，2)， 3抛物线y = ax2+bx+c(a0)对称轴为x = -1，与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，其中A(-3，0)、C(0，-2) （1）求这条抛物线的函数表达式 （2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC 的周长最小请求出点P 的坐标 （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O、点C 重合）过点D 作DE/PC 交x 轴于点E，连接PD、PE设CD 的长为m

13、，PDE 的面积为S求S 与m之间的函数关系式 试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由 (1)由题意得 , 解得抛物线的解析式为(2)点B关于对称轴的对称点是点A，连接AC交对称轴于点P，则PBC的周长最小.设直线AC 的解析式为y= kx +b， A(-3，0)，C(0，-2)， 则,解得 k= ，b=-2 直线AC 的解析式为 y =x2 把x=-1 代入得y =，P(-1，) (3)S 存在最大值 DE/PC， OE/OA = OD/OC ，即OE/3 = (2-m)/2 OE=3-m ，AE=OAOE=m 方法一，连接OP S=S 四边形PDOESOED=SPOE+SPODSOED =(3 -m)+(2 -m)1-(3-m)(2-m) =m2 +m =(m-1)2+，当m=1 时，S 最大方法二， S = SOAC SAEP SOED SPCD =m2 +m =(m-1)2+