高三高考数学国步分项分类题及析答案九.docx

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高三高考数学国步分项分类题及析答案九

高三高考数学国步分项分类题及析答案九

2-7　一次函数、二次函数及复合函数

基础巩固强化

1.若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于2，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－）　　　　　B．（，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（2，＋∞）

[答案]　D

[解析]　设f（x）＝x2－2mx＋4，则题设条件等价于f

（2）<0，即4－4m＋4<0⇒m>2，故选D.

2．函数f（x）＝ax2＋bx＋c与其导函数f′（x）在同一坐标系内的图象可能是（　　）

[答案]　C

[解析]　若二次函数f（x）的图象开口向上，则导函数f′（x）为增函数，排除A；同理由f（x）图象开口向下，导函数f′（x）为减函数，排除D；又f（x）单调增时，f′（x）在相应区间内恒有f′（x）≥0，排除B，故选C.

3．（文）（2011·济南模拟）已知二次函数f（x）图象的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f（b），f（a）]，则（　　）

A．x0≥bB．x0≤a

C．x0∈（a，b）D．x0∉（a，b）

[答案]　D

[解析]　∵f（x）在区间[a，b]上的值域为[f（b），f（a）]，且f（x）为二次函数，

∴f（x）在[a，b]上单调递减，

又f（x）对称轴为x＝x0，开口方向未知，

∴x0≤a或x0≥b，即x0∉（a，b）．

（理）若方程2ax2－x－1＝0在（0,1）内恰有一解，则a的取值范围为（　　）

A．a<－1B．a>1

C．－1

[答案]　B

[解析]　令f（x）＝2ax2－x－1，当a＝0时，显然不合题意．

∵f（0）＝－1<0，f

（1）＝2a－2，

∴由f

（1）>0得a>1，又当f

（1）＝0，即a＝1时，2x2－x－1＝0两根x1＝1，x2＝－不合题意，故选B.

4．函数f（x）对任意x∈R，满足f（x）＝f（2－x）．如果方程f（x）＝0恰有2013个实根，则所有这些实根之和为（　　）

A．0B．2013

C．4026D．8052

[答案]　B

[解析]　∵x∈R时，f（x）＝f（2－x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，实根之和为1×2013＝2013.

5．已知方程|x|－ax－1＝0仅有一个负根，则a的取值范围是（　　）

A．a<1B．a≤1

C．a>1D．a≥1

[答案]　D

[解析]　数形结合判断．

6．（2011·广东肇庆二模）已知函数f（x）＝则不等式f（x）≥x2的解集是（　　）

A．[－1,1]B．[－2,2]

C．[－2,1]D．[－1,2]

[答案]　A

[解析]　依题意得

或⇒－1≤x≤0或0

⇒－1≤x≤1，故选A.

[点评]　可取特值检验，如x＝－2,2可排除B、C、D.

7．（2012·上海）已知y＝f（x）是奇函数．若g（x）＝f（x）＋2且g

（1）＝1，则g（－1）＝________.

[答案]　3

[解析]　本题考查了奇函数的定义及函数值的求法．

∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f

（1），

∵g

（1）＝f

（1）＋2　①，g（－1）＝f（－1）＋2　②，

∴①＋②得g

（1）＋g（－1）＝4，

∴g（－1）＝4－g

（1）＝3.

[点评]　抓住已知条件f（x）的奇函数是解决本题的关键．

8．（2011·佛山二检）若函数f（x）＝ax＋b（a≠0）的一个零点是1，则函数g（x）＝bx2－ax的零点是________．

[答案]　0或－1

[解析]　由题意知ax＋b＝0（a≠0）的解为x＝1，∴b＝－a，∴g（x）＝－ax2－ax＝－ax（x＋1），令g（x）＝0，则x＝0或x＝－1.

9．函数f（x）＝（a＋1）x＋2a在[－1,1]上的值有正有负，则实数a的取值范围是________．

[答案]　（－，1）

[解析]　由条件知，f（－1）·f

（1）<0，

∴（a－1）（3a＋1）<0，∴－

10．（文）已知函数f（x）＝x2＋2x＋3在[m,0]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．

[答案]　[－2，－1]

[解析]　f（x）＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，对称轴x＝－1，开口向上，f（－1）＝2，∴m≤－1.

又f（0）＝f（－2）＝3，∴m≥－2，故m∈[－2，－1]．

（理）设函数f（x）＝x2＋（2a－1）x＋4，若x1f（x2），则实数a的取值范围是________．

[答案]　（－∞，）

[解析]　由题意得>0，得a<.

能力拓展提升

11.已知命题p：

关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞）上是增函数，命题q：

函数y＝（2a－1）x为减函数，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，]B．（0，）

C．（，]D．（，1）

[答案]　C

[解析]　命题p等价于≤1，即a≤.命题q：

由函数y＝（2a－1）x为减函数得：

0<2a－1<1，即

12．（2012·浙江宁波模拟）函数f（x）的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），且f（x＋1）为奇函数，当x>1时，f（x）＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f（x）图象的所有交点的横坐标之和是（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．5

[答案]　D

[解析]　该函数图象与直线y＝2有三个交点（x1,2），（x2,2），（x3,2），x1＝－1，x2＋x3＝6（其中（x2,2），（x3,2）关于直线x＝3对称），则横坐标之和为5.

13．（2011·福建质检）设二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f（m）≤f（0），则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B．[2，＋∞）

C．（－∞，0]∪[2，＋∞）D．[0,2]

[答案]　D

[解析]　二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′（x）＝2a（x－1）<0，x∈[0,1]，

所以a>0，即函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝1.

所以f（0）＝f

（2），则当f（m）≤f（0）时，有0≤m≤2.

14．（文）已知函数f（x）＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于________．

[答案]　2

[解析]　∵f（x）＝（x－1）2＋1，∴f（x）在[1，b]上是增函数，f（x）max＝f（b），∴f（b）＝b，

∴b2－2b＋2＝b，∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1（舍）．

（理）（2011·江南十校联考）已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．函数f（x）＝x2的形如[n，＋∞）（n∈（0，＋∞））的保值区间是________．

[答案]　[1，＋∞）

[解析]　因为f（x）＝x2在[n，＋∞）（n∈（0，＋∞））上单调递增，所以f（x）在[n，＋∞）上的值域为[f（n），＋∞），若[n，＋∞）是f（x）的保值区间，则f（n）＝n2＝n，解得n＝1.

15．（文）若函数y＝lg（3－4x＋x2）的定义域为M.当x∈M时，求f（x）＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．

[解析]　要使函数y＝lg（3－4x＋x2）有意义，应有3－4x＋x2>0，

解得x<1或x>3，∴M＝{x<1或x>3}．

f（x）＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×（2x）2，

令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或0

∴y＝4t－3t2＝－3（t－）2＋（t>8或0

由二次函数性质可知，

当0

当t>8时，f（x）∈（－∞，－160）；

当2x＝t＝，即x＝log2时，y＝.

综上可知，当x＝log2时，f（x）取到最大值为，无最小值．

（理）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）且满足f（－1）＝0，对任意实数x，恒有f（x）－x≥0，并且当x∈（0,2）时，有f（x）≤2.

（1）求f

（1）的值；

（2）证明a>0，c>0；

（3）当x∈[－1,1]时，函数g（x）＝f（x）－mx（x∈R）是单调函数，求证：

m≤0或m≥1.

[解析]　

（1）对x∈R，f（x）－x≥0恒成立，

当x＝1时，f

（1）≥1，

又∵1∈（0,2），由已知得f

（1）≤2＝1，

∴1≤f

（1）≤1，∴f

（1）＝1.

（2）证明：

∵f

（1）＝1，f（－1）＝0，∴a＋b＋c＝1，

a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.

∵f（x）－x≥0对x∈R恒成立，

∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立，

∴∴∴c>0，故a>0，c>0.

（3）证明：

∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．

∴f（x）＝x2＋x＋.

∴g（x）＝f（x）－mx＝x2＋x＋＝[x2＋（2－4m）x＋1]．

∵g（x）在[－1,1]上是单调函数，

∴2m－1≤－1或2m－1≥1，∴m≤0或m≥1.

*16.（文）（2011·西安检测）设函数f（x）＝x2＋|2x－a|（x∈R，a为实数）．

（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；

（2）设a>2，求函数f（x）的最小值．

[分析]　

（1）f（x）为偶函数⇒f（－x）＝f（x）⇒a＝0.

（2）含绝对值的函数的实质是分段函数，可以通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数．

[解析]　

（1）由f（x）为偶函数知，f（－x）＝f（x），

即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.

（2）f（x）＝

当x≥a时，f（x）＝x2＋2x－a＝（x＋1）2－（a＋1），

由a>2，x≥a，得x>1，故f（x）在x≥a时单调递增，f（x）的最小值为f＝；

当x

故当1≤x<时，f（x）单调递增，当x<1时，f（x）单调递减，

则f（x）的最小值为f

（1）＝a－1.

由－（a－1）＝>0，知f（x）的最小值为a－1.

（理）（2011·山东实验中学三诊）已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）．

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围．

[解析]　

（1）当a＝时，f（x）＝x＋＋2.

∵x≥1时，f′（x）＝1－>0，

∴f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数，

∴f（x）在区间[1，＋∞）上的最小值为f

（1）＝.

（2）解法1：

在区间[1，＋∞）上，

f（x）＝>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立⇔a>－x2－2x恒成立⇔a>（－x2－2x）max，x≥1.

∵－x2－2x＝－（x＋1）2＋1，

∴当x＝1时，（－x2－2x）max＝－3，

∴a>－3.

解法2：

在区间[1，＋∞）上，f（x）＝>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立．

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞），

∴y＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1递增，

∴当x＝1时，ymin＝3＋a，

当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f（x）>0恒成立，

∴a>－3.

1．（2011·平顶山模拟）已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．[0,2]

C．[1,2]D．（－∞，2]

[答案]　C

[解析]　如图所示．

∵f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，

∵f（0）＝3，f

（1）＝2，且f

（2）＝3，可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求．

2．设abc>0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　）

[答案]　D

[解析]　若a<0，则只能是A或B选项，A中－<0，∴b<0，从而c>0，与A图不符；B中－>0，∴b>0，∴c<0，与B图不符．若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，当b>0时，有c>0与C、D图不符，当b<0时，有c<0，此时－>0，f（0）＝c<0，故选D.

3．已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2（a

A．α

C．a<α

[答案]　A

[解析]　设g（x）＝（x－a）（x－b），则f（x）＝g（x）－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α

4．（2011·山东淄博一模）若a<0，则下列不等式成立的是（　　）

A．2a>（）a>（0.2）a

B．（0.2）a>（）a>2a

C．（）a>（0.2）a>2a

D．2a>（0.2）a>（）a

[答案]　B

[解析]　若a<0，则幂函数y＝xa在（0，＋∞）上是减函数，

所以（0.2）a>（）a>0.所以（0.2）a>（）a>2a.

5．（2012·江苏，5）函数f（x）＝的定义域为________．

[答案]　（0，]

[解析]　要使函数有意义，应有被开方数大于或等于零．

由题意知1－2log6x≥0，∴log6x≤，

∴log6x≤log6，∴0

∴函数的定义域为（0，]．

6．已知关于x的函数f（x）＝x2－2x－3，若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1＋x2）等于________．

[答案]　－3

[解析]　∵二次函数f（x）＝x2－2x－3中，a＝1，b＝－2，c＝－3，∴由f（x1）＝f（x2）得，＝－＝1，

所以x1＋x2＝2，则f（x1＋x2）＝f

（2）＝－3.

7．（2011·南京模拟）已知函数f（x）＝x2＋abx＋a＋2b（a>0，b>0），若f（0）＝4，则f

（1）的最大值为________．

[答案]　7

[解析]　∵f（0）＝4，∴a＋2b＝4，

∴f

（1）＝ab＋a＋2b＋1＝ab＋5，

∵a>0，b>0，∴4＝a＋2b≥2，

∴ab≤2，等号在a＝2b＝2，即a＝2，b＝1时成立．

∴f

（1）＝ab＋5≤7.

8．（2011·福建武夷山模拟）已知函数f（x）＝ax2＋（b－8）x－a－ab（a≠0），当x∈（－3,2）时，f（x）>0；当x∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f（x）<0.

（1）求f（x）在[0,1]内的值域；

（2）c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．

[解析]　

（1）由题意得x＝－3和x＝2是函数f（x）的零点且a≠0，则

解得，∴f（x）＝－3x2－3x＋18.

（1）如图，由图象知，函数f（x）在[0,1]内单调递减，

∴当x＝0时，y＝18，当x＝1时，y＝12，

∴f（x）在[0,1]内的值域为[12,18]．

（2）解法1：

令g（x）＝－3x2＋5x＋c.

∵g（x）在上单调递减，要使g（x）≤0在[1,4]上恒成立，则需要g（x）max＝g

（1）≤0，

即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.

∴当c≤－2时，不等于ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．

解法2：

不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，

即c≤3x2－5x，在[1,4]上恒成立．

令g（x）＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，

∴g（x）在[1,4]上单调递增，

∴g（x）min＝g

（1）＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.