九年级数学上册244解直角三角形教案华东师大版整理.docx
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九年级数学上册244解直角三角形教案华东师大版整理
2018届九年级数学上册24.4解直角三角形教案(新版)华东师大版
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24.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及其应用
【知识与技能】
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
【教学重点】
直角三角形的解法.
【教学难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
一、创设情境,导入新知
1.勾股定理的内容是什么?
2.直角三角形中两锐角的关系是什么?
3.直角三角形中边角有什么关系?
4.△ABC中,∠C=90°,
(1)若∠A=30°,c=10cm,则a=_______,b=_______,∠B=________.
(2)若∠A=40°,c=10cm,则由sinA=
可得a=______=______,由cosA=
得,b=______=______.
二、合作探究,理解新知
1.引导学生对三角函数进行变形,如由sinA=
,得a=c·sinA,c=
等.
我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.
2.“为什么两个已知元素中至少有一条边?
”让全体学生思考,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?
在直角三角形中,由已知的边角关系求出未知的边与角,叫做解直角三角形.
3.对应练习
(1)如图①和②,根据图中的数据解直角三角形;
① ②
(2)在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=20,∠B=35°,解这个三角形(精确到0。
1).
(3)在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且c=20,∠B=35°,解这个三角形(精确到0.1).
【教学说明】
(1)引导学生用多种方法解并组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演.
(2)完成之后引导学生小结“已知一边一角,如何解直角三角形?
”
答:
先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边.计算时,利用所求的量如不比原始数据简便的话,最好用题中原始数据计算,这样误差小些,也比较可靠,防止第一步错导致一错到底.
(3)做完以上练习后归纳解直角三角形的类型:
①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.
(4)在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,本书除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′.
知识运用
例:
如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下,树顶落在离树根12米处.大树在折断之前高多少?
教师展示教材中例1(图24.4。
1).我们在遇到实际问题时,总是首先把新问题与我们熟悉的问题联系起来,再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究.那么,怎样把这个实际问题变成我们熟悉的图形呢?
学生动手尝试,分组交流后,举手回答.师生共同画图转化为直角三角形.
明确:
对于现实问题通常化为数学模型来处理,这里体现数学建模的思想。
解:
利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
=13。
13+5=18(米).
所以,大树在折断之前高为18米.
三、尝试练习,掌握新知
基础练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c是△ABC的三边,a=5,b=5
求c,∠A、∠B的值.
2.教材第113页练习第1题.
拓展练习
3.在锐角△ABC中,AB=6,AC=7,∠B=60°,求BC的长.
4.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分.
四、课堂小结,梳理新知
通过本节课的学习,你有什么收获?
本节的重要内容是解直角三角形的有关知识,解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系,一般有两种类型:
已知两边,已知一边和一锐角,解题时要选择适当的关系式,尽可能使用原题数据和避免做除法运算.
五、深入练习,巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分.
1.教材习题24。
4第1、2题.
2.如图所示,是某单位的停车棚上方的角钢固定架,若BC=15米,∠B=28°,点D、E、F将BC四等分.问制成这样的钢架共需角钢多少米?
(不考虑焊接损失,结果保留到1米)
3.如图,在△ABC中,∠A=30°,tanB=
AC=2
,求AB.
第2课时 方向角与解直角三角形
第3课时 仰角、俯角与解直角三角形
【知识与技能】
1.了解仰角、俯角、方向角的概念.
2.能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角有关的实际问题.
【过程与方法】
能够借助辅助线解决实际问题,掌握数形结合、抽象归纳的思想方法.
【情感态度】
感知本节与实际生活的密切联系,认识知识应用于实践的意义.
【教学重点】
解直角三角形在实际中的应用.
【教学难点】
将某实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
一、创设情境,导入新知
1.什么叫解直角三角形?
2.如图,△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于D,AD=2,求BC的长.
二、合作探究,理解新知
1.方向角
(1)引导学生复习与方向角有关的知识.
(2)例题.
例1:
如图,A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面生成,并以每小时40海里的速度向正北方向移动,上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向,若台风中心120海里的范围内将受台风影响,问A城是否会受9号台风影响?
分析:
A城是否会受台风影响,就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里.
解:
过A作AE⊥BC于E,设AE=EC=x,则BE=
x,
∵BC=2×40=80,∴BC=BE-CE=(
-1)x=80.
∴x=40(
+1)≈109。
3〈120.
∴A城会受台风影响.
【教学说明】通过例题,学会解决与方向角有关的问题.
2.俯角、仰角
(1)几个概念:
①铅垂线;②水平线;③视线;④仰角:
视线在水平线的上方,视线与水平线的夹角;⑤俯角:
视线在水平线的下方,视线与水平线的夹角.
说明:
学生阅读教材“读一读”.教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角.
(2)例题
例2:
如图,为了测量电线杆的高度AB,在离电线杆22。
7米的C处,用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α=22°,求电线杆AB的高.(精确到0。
1米)
解:
在Rt△BDE中,
BE=DE×tanα=AC×tanα=22.7×tan22°≈9。
17,
∴AB=BE+AE=BE+DC=9。
17+1.20≈10.4(米).
答:
电线杆的高度约为10.4米.
(3)练习
教材第114页练习第1题.
三、尝试练习,掌握新知
1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A.250m B.250
m
C。
m D.250
m
2.教材第114页练习第2题.
3。
如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度,已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m,看旗杆顶部M的仰角为45°;小红的眼睛与地面的距离CD是1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).
请求出旗杆MN的高度.(参考数据:
≈1。
4,
≈1。
7,结果保留整数)
【教学说明】完成上述问题后,让学生总结解决与仰角、俯角、方向角有关的问题时,常用以下两个基本图形.
其中第一个图中满足:
DE=
+
,第二个图中满足DE=
-
。
可让学生推导出这两个式子.
4.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分.
四、课堂小结,梳理新知
通过本节课的学习,你有什么收获?
请学生总结:
通过学习两个例题及练习,初步学会把一些实际问题转化为数学问题,通过解直角三角形来解决,具体来说,本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题,利用正切解直角三角形,从而把问题解决.
本课涉及一种重要数学思想:
转化思想.
五、深入练习,巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分.
1.教材习题24。
4第3、4题.
2.在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC,小丽同学在点A处,测得条幅顶端D的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后,又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°,已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D点距离地面的高度.(计算结果精确到0.1米,参考数据:
≈1.414,
≈1.732)
3.如图,在小山的西侧A处有一热气球,以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空,40分钟后到达C处,这时热气球上的人发现,在A处的正东方向有一处着火点B,十分钟后,在D处测得着火点B的俯角为15°,求热气球升空点A与着火点B的距离.(结果保留根号,参考数据:
sin15°=
cos15°=
tan15°=2-
)
第4课时 利用坡角或坡比解直角三角形
【知识与技能】
会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题.
【过程与方法】
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;渗透数形结合的数学思想和方法.
【情感态度】
进一步感知本节与实际生活的密切联系,认识知识应用于实践的意义.
【教学重点】
解决有关坡度的实际问题.
【教学难点】
理解坡度的有关术语.
一、创设情境,导入新知
前面我们研究了与仰角、俯角、方向角有关的问题,今天研究与坡度、坡角有关的问题.
二、合作探究,理解新知
1.坡度、坡角的概念
展示教材中“读一读”,你看懂图24.4.5了吗?
几个概念:
(1)铅垂高度h;
(2)水平长度l;
(3)坡度(坡比)i:
坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i=
;
(4)坡角α:
坡面与水平面的夹角α;i=
=tanα。
显然,坡度i越大,坡角α就越大,坡面就越陡.
2.例题
例1:
如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少(精确到0.1m).
分析:
(1)例题中出现许多术语--株距、倾斜角,这些概念学生未接触过,比较生疏,而株距概念又是学生易记错之处,因此教师最好准备教具:
用木板钉成一斜坡,再在斜坡上钉几个铁钉,利用这种直观教具更容易说明术语,符合学生的思维特点.
(2)引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图中的第二个图).已知:
Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5。
5m,∠A=24°,求AB。
(3)学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1。
教师可请一名同学上黑板做,其余同学在练习本上做,教师巡视.
解:
在Rt△ABC中,cosA=
,
∴AB=
=
≈6。
0(米).
答:
斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
教师引导学生评价黑板上的解题过程,做到全体学生都掌握.
3.练习:
(1)沿山坡前进10米,相应升高5米,则山坡坡度________,坡角________.
(2)若一斜坡的坡面的余弦为
,则坡度为______.
(3)堤坝横断面是等腰梯形.(如图所示)
①若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=______,AD=______;
②若AB=10,CD=4,i=
,则h=______.
知识运用
例2:
如图,一段路基的横断面是梯形,高为4。
2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0。
1米)
先让学生思考:
在遇到梯形时怎么把它分割成能够解决的图形呢?
解:
作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F.
由题意可知DE=CF=4。
2(米),CD=EF=12。
51(米).
在Rt△ADE中,
∵i=
=tan32°,∴AE=
≈6.72(米).
在Rt△BFC中,同理可得BF=
≈7。
90(米).
∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12。
51+7.90≈27。
1(米).
答:
路基下底的宽约为27.1米.
例3:
沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1∶2改为1∶2.5,已知坝高6m,坝长50m,求:
(1)加宽部分横断面的面积;
(2)完成这一工程需要的土方是多少?
分析:
加宽部分的横断面AFEB为梯形,故通过作梯形的高构造直角三角形,利用坡度的变化求解.
解:
(1)设梯形ABCD为原大坝的横截面图,梯形AFEB为加宽部分,
过A、F分别作AG⊥BC于G,FH⊥BC于H.
在Rt△ABG中,由iAB=1∶2,AG=6,得BG=12,
在Rt△EFH中,由iEF=1∶2。
5,FH=6,得EH=15,
∴EB=EH-BH=EH-(BG-HG)=15-(12-2)=5,
∴S四边形AFEB=
(2+5)×6=21m2。
(2)V=50×S四边形AFEB=21×50=1050m3。
【教学说明】例3可根据学生情况、时间选择讲解.
三、尝试练习,掌握新知
1.在坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m,则两树间的坡面距离AB为( )
A.4m B。
m
C.
mD.4
m
2.某商场门前的台阶截面如图所示.已知每级台阶的宽度(如CD)均为30cm,每级台阶高度(如BE)均为20cm.为了方便残疾人行走,商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡,并且设计斜坡的倾斜角为9°,请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离.(参考数据:
sin9°≈0。
16。
cos9°≈0。
99,tan9°≈0。
16)
3.如图,水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC∥AB。
迎水坡AD长为2
米,上底DC长为2米,背水坡BC长也为2米,又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB的长.
答案:
解:
过D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.
在Rt△ADE中,∠A=30°,AD=2
。
∴DE=ADsin30°=
,AE=ADcos30°=3。
在Rt△CBF中,BF=BCcos60°=1,
∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6(米).
答:
下底的长为6米.
4.请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分.
四、课堂小结,梳理新知
通过本节课的学习,你有什么收获?
教师请学生总结:
1.在这类实际应用题中,都是直接或间接地把问题放在直角三角形中,虽然有一些专业术语,但要明确各术语指的什么元素,要善于发现直角三角形,用三角函数等知识解决问题.
2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数去解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
五、深入练习,巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分.
1.教材第116页练习.
2.如图,梯形ABCD是拦水坝的横断面图(图中i=1∶
是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果保留三位有效数字.参考数据:
≈1.732,
≈1。
414)