大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习docx.docx
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第二章复习
X.l各类导数的求法
复合函数微分法包=空更
dxdudx
‘3兀-2、
<3x+2>
/\x）=arcsinx2,求空
dx
A=（）
=arcsin
3兀-2丫
3x+2丿
12
（3兀+2尸
于是
dy
dx
3
=（arcsin1）・3=—龙x=o2
参数方程微分法f
dx
dy
dy-dt_/（Od~y_x，（0/（0一y\t）x（r）
dx_/（/）dx1dt
[V（0]3
英屮f⑴的三阶导数存在，且f”⑴H0,求乞，
axdx~dx
解dy二血）二厂⑴+（T（/）-广⑴二£dxx\t）f\t）
d（dy
d2yd
■■I
dx~dx
dt\dx）_1
dt
d3y_d（d2y\_dtydx1）_/^（r）
dx
It
隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y是兀的函数，则y的函数是兀的复合函数。
2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈
dx
例3设方程xy2+ey=cos（x+y2）,求y'
解法一：
y2+2xyy+eyy=-sin（%+>,2）（1+2y/）,
y2+sin（x+b）
〉2xy4-ey+2j,sin（x+y2）
解法二：
d（xy2+ey）=d（cos（x+y~））
y2dx+2xydy+eydy=-sin（x+y2）（clx^2ydy）
[（2xy+ey+2ysin（x+y2）]dy=-[y2+sin（x+y2）]dx
_y2+sin（兀+y2）
2xy+R+2ysin（x+），）
幕指函数的微分法设y=w（x）v（x）（w（x）>O,w（x）H1）=>y=ev（x,,nM（J）
y二/讪“（彳/（x）lnw（%）+y（x）也|
_心）」
=u（x）v（x）v\x）Inu（x）+咻）""
_U（x）」
例4设y=xa'+ax+xv,求y‘
解尸/皿+口严+/呎
X
y=e（,x,n\axln^zlnx+—）+”夕,nx（1+Inx）Ina+/,n”（心心in%+齐）
X
=x°xax（IndIn兀+—）+ae（1+Inx）xx•Ina+xx°+
函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法：
采用对数微分法（即先对式子的两边取口然对数，然后在等式的两端再对x求导）
2（兀+3）2（3-2兀2）4
例5设尸（“后E
解先将表达式写成分式指数幕的形式
24£
y=（兀一2尸（兀+3）^（3-2兀$）*1+x2）刁（5一3x3）'5
Iny二2ln（x-2）+|ln（x+3）+彳ln（3-2x2）-|ln（l+x2）-|ln（5一3x3）
上式两边对x求导，得
2L=_2_+_?
+—
yx-23（兀+3）3（3-2x2）3（1+〒）5-3x3
（x+3）2（3-2x2）4
（1+x2）（5-3x3）
2216x2x3x2
+——+
兀一23（x+3）3（3-2x2）3（1+x2）5-3x3_
分段函数微分法：
各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的
是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©）=lim"兀）_/（和及左右XTXoX-X（}
导数来求是否可导。
兀3siny工0
例6设0（力=1I,又函数/（兀）可导，求F（x）=f[（p（x）]的导数.
0x=O
解当兀工0时，F'（jc）=f\（p{x）]3x2sin—-xcos—
LxX
F（0）Mn/（“）"（°）“n/g）]7（°）
XT°X-05
（31）
fx3sin--/（0）
=limIX
A->0
x-0
x3sin—-0
X
3・1）
兀sin-
兀丿
f
lim—t
xtO3.1八
x'sin——0
x
-/（0）
x3sin—
兀
x
（1\
•limx2sin—
x丿
/z（0）・0=0.
当x=Q时
IX丿
VXx）
故F\x）=<
0
x.2高阶导数求法
1.直接法：
求出所给函数的1〜3阶或4阶导数后，分析所得结果的规律性，从而写出几阶导数的方法。
例1设y=excosx,求yin）。
（龙）cosx+—
4丿
-esinx+—
I4丿
/、
=（V2）2^vcosx+2•—
（兀、
cosx+—
I4丿
y（"）=（Q）"『cos（x+m^）。
4
2间接法
利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。
求出给定的函数的n阶导数。
兀+3
x~—3x+2
x3-3x2+2x
3x2-9x4-6
7x-6
7x-6AB
=1
（x—2）（x—1）x—2x—}
_A（x-l）+B（x-2）
（x-2）（x-l）
7x-6=A（x-l）+B（x-2）
3x2一2x
（1）分式有理幣数的高阶导数
y=（x+3）+
7x-6
y⑷=（x+3）⑷+[8（x-2）_,]（w）-[（x-I）-']（w）
=0+（_1）“.8•n!
（x-2尸-"-（-1）”祕（兀一l）-,_w（n>2）
（2）rtlcosH6a,sinw0均为口然数）的和、差、积所构成的函数的高阶导
数可利用积化和差和差与倍角公式把函数的次数逐次降低，最后变为cosAx,sin也Z和、差形式，再用公式sin（/z）kx=knsin（fcx+n-—）,cos（/,）kx=kncos（fcr+77•—）将给出函数的n阶导数写出来。
例3ijy=sin6x+cos6x,求理。
解y=（sin2x）3+（cos2x）3=（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）
=sin4x+cos4x-sin2xcos2x=（sin2x+cos2x）2-3sin2xcos2x
13.[3l-cos4兀53.
=l——snr2x=I=—+-cos4x
44288
3兀、
y{n}=•4"•cos4x+/?
•o
8I2丿
（3）利用递推公式求n解导数
例4设y=,arcsinx,求y""（0）。
Vl-x2
5，X1.1
解y=.arcsinx+?
*i-x27iZ?
1」
（1-%2）y-aj'-1=o
=>（l-x2）y^-3xy?
-y=0
=>（1-x2）^-5x）^-4/=0
a
i
i
=>（1-F）严）一⑵7+\）xy（n）-n2y（n'{）=0
显然，当x=0时，
C=0,〉严=4,
y（T）（O）»2）MT）（0）
y^=22=4V,
严=42.22=42-22-12=42（2!
）2
y⑺=6—43•32>2242=43（3!
）2
故严（0）=0,严D（0）=4"（刃）2。
X.3洛必达法则
使用洛必达法则求极限时，需要注意两点
（1）先检查法则的条件是否具备
（2）配合其他求极限的方法，例如化简、分子（或分母）有理化、先求出非零因式的极限、等价无穷小替换（要注意只能在乘积项上替换）等等，以使运算简捷。
n...Vl+tanx-Vl+sinx
例1求limo
xt（）xsin^x
A7J「Jl+tanx-71+sinx
解lim.
兀toxsin^x
（1+tanx）-（l+sinx）八丁若丫中小
=\m,—/.—分子有理化
（VI+tanx+a/1+sinx）xsin^x
=limtanX~finX•lim/1/.提取极限不为零的因子
9
sec〜x-cosx
“tanx-sinx=lim
xtO
go兀siirxxto+tanx+"I+sinx
兀3
1“1+tan2x-cosx
—lim；
2go3兀2
=丄恤9
23）3X2
11-cosx1tan2x
=—lim+—lim—
2心（）3；r2心（）3x2
等价无穷小代换
sinx•
1sinx
化简
分离因式
1-cosx•lim
=丄lim—
25%3
1sinx..
=—limlim2
牙T0COSX牙TOx
1sin尢1
—•1•1•lim=—
2XTO2x4
X.4中值定理
构造出使用中值定理的函数，对证明式变形，并将§换为X,从而得到所使用函数的导数式，由此构造出所需的函数。
例1已知函数/（兀）在［0,1］±连续，在（0,1）内可导。
证明：
至少存在一点gw（0,1）,使得/*
（1）=3孑/。
分析：
将§换为x得，/⑴=3扌/（兀）+疋/©）,而后面的表达式显然为x3f（x）的导数。
所以可设F（x）=x3/U）o
证明设F（x）=x3f（x）,易知该函数在［0,1］上连续，在（0,1）内可导。
从而由拉各朗口中值定理有
F⑴一F（0）=尸©（1-0）=e（0,1）
即/
（1）=3孑/©+孑/毬）。
习题课二
例1求下列函数的导数
（1）y=sin如（兀）+沁x）,其中0（兀）、肖（兀）可导；
（2）y=ex2f（xe2）,其中/（况）可导；
⑶y=f{f[fM]},其中/⑷可导。
解
（1）#=[sin7（p1（x）+y/~（x）]'=cos7^2W+
=cosj0“x）+02（x）.—,,"•[（p\x）+才（兀）了
2如（兀）+沁兀）
=cosJe’OO+TO）.—7==!
•[2°（x）0（兀）+20（兀）『（兀）]
2J心）+沁兀）
=如怦X）+站（兀）+心）
E+心）7屮屮
ooo2。
o
⑵y=[“/*）]‘=（护）w）+”[/（/）]
=/（兀2）了（才2）+訂八/）•（小
=2xex2f（xe2）+f（xe2）
（3）y=/{/[/（%）]i•{/t/wir
=/V[/wj}-/vu）]-[/u）r
/V[/W]}-/V（x）]/（x）o
例2设f\x）存在，求lim/（兀+心）-/（兀-血）att（）Ax
解lim“X+心）一/（兀一"心）
AytO
limMx+Q心）一/G）+/（兀）一/（兀一〃心）
axtoAx
Hm/（%+込）-/（劝_lim/（兀-皿）-/（劝心t（）Ax心t（）Av
lim•心+心）7C%_怙用-处）-〃）（」）山T（）a\x山T（）—b^X
q厂（X）-（-b）f（x）=（a+b）f（x）.
例3若0（兀）在x=a处连续，/（x）=（x-a）（p（x）,求f\a）o
解由于0（兀）在x=a处连续而不是可导，所以不能直接对f（x）=（x-a）（p（x）运用求导公式，而应按定义来求fS
fXa）=lin/⑴一弘）=lim^^W）-0=恤久尢）=恥）。
XT"X-aXT"X-aXT"
■
曲彳広“、Fsin一CxHO）,,
例4设/（x）=1（x=0）,
这时
iY
sin—+fcos—
解当x^O时，/（x）=x3sin-为一初等函数,
f\x）=3x2siJ*?
X
22•11
=3xsin——xcos—;
xx
当兀=0时，由于
lim/（x）=limx3sin—=OH/（0）,
xtOxtO%
所以/（x）在x=0处不连续，由此可知/（x）在x=0处不可导O
例§设心;:
:
叢问"为何值时’加在“°处可导?
解/（兀）在兀=0处可导的充要条件是在该点处左、右导数存在且相等。
£（0）=恤Kv）7（°）=加+一（1+叽亦兰二［=2
X—>0X-V—>0XX—>0X
r（0）=limf（x）-/（0）=lim血奴一（1+盯
a•—>0+XxtOX
要上述极限存在，必须分子的极限为零，即得1+方=0,于是方=-1,此时
仃sinor
A（°）=hm=a.
xt0+X
由斤（0）=穴（0）,得d=2,所以当a=Zb=-\时，.f（x）在兀=0处可导。
例6求y=sin4无+cos・得料阶导数。
解y=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2-2sin2xcos2x
l
目2丿
=4cos（4x+2*y）
所以y{n）=cos（4x+n-彳）.
I_arclan-z/rd^X
例7设Z—,求齐硬
arctan—x
解讲两边取对数得^ln（^24-y2）=ln5+arctan
2x—+2y
两边求导得丄d、',=—'—
2忒+*1+占
X
dx
x~y~r
7
即冬=qdy兀+y
d2x_ddxdy2dydy
r/r
整理后得（兀+刃竺=兀一歹,
dy
zdx=、/、/xzdx（、
（3—1）（*+y）—（x—y）（〒+1）
（x+y）2
用dx=x-y代入，得dyx+y
d2x=2（x2+/）dy2~（兀+刃$
rr
例8求三叶玫瑰线r=asin3&在对应&二一的点处的切线方程。
4
x=厂（&）cos0-asin3&cos&
y-厂（&）sin&=asin3&sin0
dy_dO_3acos3&sin&+asin3&cos&dxdx3dcos3&cos&一asin3&sin&
d0
j1x=—
d丄切点为2
dx&上2a
45r
切线方程x—2y+纟=0。
2
例9某人以2m/s的速度通过一座桥，桥而高处水而20m,在此人正下方有一条小船以
4
-mis的速度在与桥垂直的方向航行，求5秒后人与小船分离的速度。
3
解设经过/秒后船与人的距离为$加人行走距离为xm,船行距离为yw,则
r（r）=x2（r）+r（r）+202o所建立的方程并不是$与/的直接函数关系，但因为所求的
V=W且已知知2号号所以可借助于相关变化率来求。
当t=5时，x=lQ.y=—
3
两边对/求导，得2s—=2x—+2y^
dtdtdt
例10设ev+v-ysinx=0,求心。
解方程两边取微分，有d（ex+y）-d（ysmx）=Q
整理后得dy=豐―严dx=e〉一sinx
y（cosx-sinx）
（^-l）sinx
dxo
即ex+yd（x+y）-[sinxdy+ydsinx]=0,即ex+y（dx+dy）一[sinxdy+ycosxdx]=0,
例11设/（兀）在[a.b]±连续，在（a,b）内可导，证明在（a,b）内存在一点使
/@）=弋_严）成立。
b_E
分析此题一般用中值定理证，困难在于如何构造辅助函数，将
/'©=/电一严）变形为/©-f（a）=/毬）@-,b_g
即—◎—/©+f（a）=0.由此式，应构造一个函数F（x）,使其满足
尸（兀）=fM（b-x）-f（x）+f（a\F（a）=F（b）
F\x）=bf（x）-[xf\x）+f{x）]+f（a）=財⑴丫-[#«+[f（a）x]f
=[hf（x）一xf（x）+f（a）xX=[（b-x）（/（x）一f（a）+bf（a）X
由此取F（x）=（^-x）[/（x）-/（tz）],显然有F（a）=F（b）«由此再由罗尔定理即得。
例12设/（兀）在[a,切上连续，在（％）内可导（a>0,b>0）。
求证：
方程f（b）-f（a）=x\n—广（兀）在（a,b）内至少有一个根。
分析将方程变形为xln-f\x）一[/（/?
）一/（a）]=0,a
ax
如果能构造函数F（x）,使F（b）=F（a）,且
F\x）=lnbfXx）-[f（b）-f（a）]1
ax
由此可得F（x）=In-[/（x）-f（a）]-1f（b）-/（«）|（ln%-In则按罗尔定理即可
a
例13/（x）在[0,1]±可导，且0V/（兀）<1,在（0,1）内/（x）/1,证明在（0,1）内有
且仅有一点兀（），使/（x0）=x0o
证令F（x）=/（x）-x,F（x）在在[O,1J±连续，且F（0）=/（0）-0=/（0）>0,
F（l）=/（l）-l<0,因此F（0）F（l）<0,
由零点定理，在（0,1）内有一点兀0,使F（xo）=O,即/（%0）=x0
如果存在兀]，兀0（西MX。
），使/U1）=x1,/（x0）=x0,不妨设0<兀0<西<1。
则F（x）
在[兀0,西]上满足罗尔定理得条件，故在（兀。
西）内至少有一点§，使
F©=广©-1=0,从而=1
与所给条件f\x）1矛盾，所以仅有一点勺使/（兀（））=无）.
例14设函数于（劝二阶可导，证明
（Ar）2
广（力=lim/（兀*心）*‘°-心）-2/（兀）J心T0
证原式右端是9形未定式，用洛必达法则得到
0
右端=lim/©+心）+/©-心）（-1）
心to2（心）
=liml/'（X+Ax）-广（兀）（兀一Ay）-（兀）
心to2_AxAx
=扣3+厂（兀）]=厂（兀）
例15设/（Q可导，试证/（Q的两个零点之间一定有/（%）+f（x）的零点。
分析我们需要找到一个F（x）使F（a）=F（b）=0,其中a,b是f（x）的零点,且F\x）
应能表示成形式/（%）4-f\x）o由于f\a）=/（/?
）=0,所以可设F（x）=w（x）•/（x）,则
F（a）=F（b）=0o这时
F\x）=u\x）f（x）+u（x）f\x）
要想使F（x）能表示成形式/（%）+/（%）,如果有u\x）=u（x）就行了。
只有一个函数能使u（x）=u（x）,即几从而我们可设F（x）=exf（x）,则在［a上］上使用罗尔定理即可。
例16在近丽册，…;眉,…中求出最大的一个数.
£丄
解设/（x）=Xx,求/（X）=Xx的最大值.
.丄Inx>丄Inx1—Inr—1—Inr.
f（x）=（ex）=ex7—=%vo—；令/（x）=°,解得x=eo
x
当0vxva时，f\x）>0；当时，f\x）<0,所以/（x）在x=€取得最大值。
又因为/（兀）可导，且只有一个极值点，所以为最大值。
又2之I'可。
而（V2）6=8,（V3）6=9,知血v明，所以明为数列屮的最大值。
例17曲线y=lx6（x>0）上哪一点处的法线在y轴上的截距最小.
解设丿=丄<在（兀,刃处的法线方程为Y-y=k（X-x）f
因为yz=2x5,所以£=一一,法线方程为Y-y=--（X—兀），
2x'2r
整理后为
2x52x4
法线在y轴上的截距为/?
=^t+|x6o
求此函数的极值：
令//=0,解得x}=^x2=-l（舍去）；//=£+10/,//
（1）=20>（）,
故b⑴为极小值。
由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点（1丄］处的法线在y轴上
<3）
截距最小。
例18讨论方程ln%=^（其屮a>0）有几个实根？
解设f\x）=\nx-ax,xe（0,+oo）,则厂（兀）二丄一口，故x=—为f（x）的驻点，且兀a
兀v丄时,f（x）>0,当兀〉丄时,f（x）<0,从而/（丄）为最大值,
aaa
当/（-）>0时，即一\na-\〉0,亦即0vgv丄时，由于ae
limf（x）=一x,limf（x）=一^,
A-»0+XT8
所以此时方程有两个根
当f（丄）=0时，即口=丄时，此时方程有一个根
ae
当/（-）v0时，即a>-时，方程无根.
ae
例19设函数/（兀）在［0,1］上可导，当05兀51时，|/（兀）（兀）|52。
证明：
当
0分析题目中出现了/（兀）,/©）,厂⑴，及点兀=0和x=l,所以可把/（0）,/
（1）在x处展成一阶泰勒公式.
证由泰勒公式，有
/（0）=/（x）+r（x）（0—X）+今』（0—兀）2占在0与X之间
（1）
/
（1）=/（兀）+rw（i-x）+广弊（1-兀）2,§2在1与x之间
（2）
由
（2）-
（1）得/⑴—/（0）=/3+，胃（1一兀）2-丄字无2所以
If（X）|<|/
（1）|+|/（0）I+*I厂©）IX2+||厂（匚）I（1-兀）2<2+x2+（1-x）2<3
例20设函数/（劝在0,切上二阶可导,f（a）=f（b）=0,证明：
存在兵（a,b）,
4
使g'E/w
41
分析题目中出现了一阶导数及二阶导数，由于出现了ab二一-—,所
（b-a）2fb-a）>2
以我们可以考虑泰勒公式在x=a,x=h,x=-处
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