考研数学二真题及答案.docx

考研数学二真题及答案.docx

《考研数学二真题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学二真题及答案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

考研数学二真题及答案

2021考研数学二真题及答案

一、填空题（此题共6小题，请将答案写在题中横线上．）

（1）三阶常系数线性齐次微分方程

的通解为y=．

（2）曲线

的渐近线方程为．

（3）函数y=ln（1-2x）在x=0处的n阶导数

．

（4）当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为．

（5）一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，

那么当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加的速率为．

（6）设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，那么|A+B-1|=．

二、选择题（此题共8小题，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．）

（7）函数

的无穷连续点数为

（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．

（8）

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程

的两个特解．假设常数λ，μ使

该方程的解

是对应的齐次方程的解，那么

（9）曲线y=x2与曲线y=alnx（a≠O）相切，那么a=（A）4e．（B）3e．（C）2e．（D）e．

（10）设m，n是正整数，那么反常积分

的收敛性

（A）仅与m值有关．（B）仅与n值有关．

（C）与m，n值都有关．（D）与m，n值都无关．

（11）

设函数z=z（x，y）由方程

确定，其中F为可微函数，且

（A）x（B）z．（C）-x．（D）-z．（12）

三、解答题（此题共9小题，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）求函数

的单调区间与极值．

（16）（Ⅰ）比拟

的大

小，说明理由；

（Ⅱ）记

，求极限

（17）设函数y=f（x）由参数方程

所确定，其中φ（t）具有二阶导数，且φ

（1）=

（18）一个高为j的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为

时（如图2），计算油的质量．

（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg/m3）

（19）设函数u=（x，y）具有二阶连续偏导数，且满足等式

，确定a，b的值，使等式在变换

（20）计算二重积分

（21）设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且

。

证明：

存在

f'（ξ）+f'（η）=ξ2+η2

（22）设

线性方程组Ax=b存在2个小同的解．（Ⅰ）求λ，a；

（Ⅱ）求方程组Ax=b的通解.

（23）设正交矩阵使得

为对角矩阵，假设Q的第1

例为

一、填空题

参考解答

（1）

（2）y=2x（3）-2n·（n-1）!

（4）

（5）3cm/s（6）3

二、选择题

（7）B（8）A（9）C（10）D（11）B（12）D（13）A（14）D

三、解答题

（15）分析：

求变限积分f（x）的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．

解

令

因为当x＞1时

当-1＜x

＜0时时

所以f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（0，1）；f（x）的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）；极小值为f

（1）=f（-1）=0，极大值为

评注：

也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基此题型．

（16）分析：

对（Ⅰ）比拟被积函数的大小，对（Ⅱ）用分部积分法计算积分

，再用夹逼定理求极限。

解：

（Ⅰ）当0≤t≤1时，0≤ln（1+t）≤t，故|lnt|[ln（1+t）]n≤|ln|．由积分性质得

（Ⅱ）

于是

有由夹逼定理得

评注：

假设一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．

（17）分析：

先求可得关于ψ（t）的微分方程，进而求出ψ（t）

解：

由参数方程确定函数的求导公式可得

评注：

此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度．

（18）分析：

先求油的体积，实际只需求椭圆的局部面积．

解：

建立如图3所示的直角坐标系，那么油罐底面椭圆方程为

油的质量M=ρV。

其中油的体积V=S底·l．

故

评注：

此题假设不能记住公式那么运

算量稍显大．

（19）分析：

利用复合函数的链导法那么变形原等式即可．解：

由复合函数的链导法那么得

解得

评注：

此题主要考察复合函数链导法那么的熟练运用，是对运算能力的考核.

（20）分析：

化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分．

解：

如图4，直角坐标系下，D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x}，

（21）分析：

这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理。

证明：

两式相加得f'（ξ）+f'（η）=ξ2+η2

评注：

一般来说，对双介值问题，假设两个介值有关联同时用两次中值定理，假设两个介值无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理．

（22）

分析：

此题考察方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解．

解：

（Ⅰ）解法一

由线性方程组Ax=b存在2个不同解，得λ=-1，a=-2．

解法二由线性方程组Ax=b有2个不同的解，

因此方程组的系数行列式

得λ=1或-1；而当λ=1时，此时，Ax=b无解，所以λ=-1．由

（Ⅱ）当λ=-1，a=-2时，

故方程组Ax=b的通解为：

为任意常数．

（23）分析：

此题考察实对称矩阵的正交对角化问题．由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q．

解：

记

得a=-1，λ=2，因此由

得A的特征值为λ1=2，λ2=-4，λ3=5，且对应于λ1=2的特征向量为

当λ2=-4时，（-4E-

A）

22

由（-4E-A）x=0得对应于λ=-4的特征向量为α=（-1，0，1）T．

当λ3=5时，（5E-A）

33

由（5E-A）x=0得对应于λ=5的特征向量为α=（1，-1，1）T．

因A为实对称矩阵，α1，α2，α3为对应于不同特征值的特征向量，所以η1，η2，η3为单位正交向量组．令