1、考研数学二真题及答案2021考研数学二真题及答案一、填空题(此题共 6 小题,请将答案写在题中横线上)(1)三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y= (2)曲线的渐近线方程为 (3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 (4)当 0 时,对数螺线 r=e的弧长为 (5)一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加,宽w 以 3cm/s 的速率增加,那么当 l=12cm,w=5cm 时,它的对角线增加的速率为 (6)设 A,B 为 3 阶矩阵,且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2,那么|A+B-1|= 二、选择题(此题共 8 小题,每题给出的四个选项中,只有一项符合题
2、目要求,请将所选项前的字母填在题后括号内)(7)函数的无穷连续点数为(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(8)设 y1,y2 是一阶线性非齐次微分方程的两个特解假设常数 , 使该方程的解是对应的齐次方程的解,那么(9)曲线 y=x2 与曲线 y=aln x(aO)相切,那么 a= (A) 4e (B) 3e (C) 2e (D) e(10)设 m,n 是正整数,那么反常积分的收敛性(A) 仅与 m 值有关 (B) 仅与 n 值有关(C) 与 m,n 值都有关 (D) 与 m,n 值都无关(11)设函数 z=z(x,y)由方程确定,其中 F 为可微函数,且(A) x (B) z (C)
3、 -x (D)-z (12) 三、解答题(此题共 9 小题,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)求函数的单调区间与极值(16)() 比拟的大小,说明理由;() 记,求极限(17)设函数 y=f(x)由参数方程所确定,其中(t)具有二阶导数,且(1)=(18)一个高为 j 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆,现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为时(如图 2),计算油的质量(长度单位为m,质量单位为 kg,油的密度为常数 kg/m3)(19)设函数 u=(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式,确定 a,b 的值,使等式在变换(20)计算二重积分(21)设函数 f
4、(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且 。证明:存在f()+f()=2+2(22)设线性方程组 Ax=b 存在 2 个小同的解 () 求 ,a; () 求方程组 Ax=b 的通解.(23)设 正交矩阵使得为对角矩阵,假设Q 的第 1例为一、填空题参考解答(1) (2) y=2x (3) -2n(n-1)!(4) (5) 3cm/s (6) 3二、选择题(7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) A (14) D三、解答题(15)分析:求变限积分 f(x)的一阶导数,利用其符号判断极值并求单调区间解令因为当 x1 时当-1x0 时 时
5、所以 f(x)的单调递减区间为(-,-1),(0,1);f(x)的单调递增区间为(-1, 0),(1,+);极小值为 f(1)=f(-1)=0,极大值为评注:也可用二阶导数的符号判断极值点,此题属基此题型(16)分析:对()比拟被积函数的大小,对()用分部积分法计算积分 ,再用夹逼定理求极限。解:()当 0t1 时,0ln(1+t)t,故|lnt|ln(1+t)n|ln|由积分性质得()于是有 由夹逼定理得评注:假设一题有多问,一定要充分利用前问提供的信息(17)分析:先求 可得关于(t)的微分方程,进而求出 (t)解:由参数方程确定函数的求导公式 可得评注:此题是参数方程确定函数的导数与微分
6、方程相结合的一道综合题,有一定难度(18)分析:先求油的体积,实际只需求椭圆的局部面积解:建立如图 3 所示的直角坐标系,那么油罐底面椭圆方程为油的质量M=V。其中油的体积 V=S 底l故评注:此题假设不能记住公式 那么运算量稍显大(19)分析:利用复合函数的链导法那么变形原等式即可 解:由复合函数的链导法那么得解得评注:此题主要考察复合函数链导法那么的熟练运用,是对运算能力的考核.(20)分析:化极坐标积分区域为直角坐标区域,相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式,然后计算二重积分解:如图 4,直角坐标系下,D=(x,y)|0x1,0yx,(21)分析:这是一个双介值的证明题,构造辅助函
7、数,用两次拉格朗日中值定理。证明:两式相加得f()+f()=2+2评注:一般来说,对双介值问题,假设两个介值有关联同时用两次中值定理,假设两个介值无关联时用一次中值定理后,再用一次中值定理(22)分析:此题考察方程组解的判定与通解的求法由非齐次线性方程组存在2 个不同解知对应齐次线性方程组有非零解,而且非齐次线性方程组有无穷多解解:()解法一由线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同解,得=-1,a=-2解法二 由线性方程组 Ax=b 有 2 个不同的解,因此方程组的系数行列式得 =1 或-1;而当 =1 时, 此时,Ax=b 无解, 所以 =-1由()当 =-1,a=-2 时,故方程组 Ax=
8、b 的通解为: 为任意常数(23)分析:此题考察实对称矩阵的正交对角化问题由Q 的列向量都是特征向量可得 a 的值以及对应的特征值,然后由A 可求出其另外两个线性无关的特征向量,从而最终求出Q解:记得 a=-1,=2,因此 由得 A 的特征值为 1=2,2=-4,3=5,且对应于 1=2 的特征向量为当 2=-4 时,(-4E-A)2 2由(-4E-A)x=0 得对应于 =-4 的特征向量为 =(-1,0,1)T当 3=5 时,(5E-A)3 3由(5E-A)x=0 得对应于 =5 的特征向量为 =(1,-1,1)T因 A 为实对称矩阵,1,2,3 为对应于不同特征值的特征向量,所以1, 2,3 为单位正交向量组令
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