中考数学压轴题及答案40例.docx
《中考数学压轴题及答案40例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学压轴题及答案40例.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考数学压轴题及答案40例
2012中考数学压轴题及答案40例
（1）
1.如图：
抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在
（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：
抛物线
的对称轴为
）
解：
设抛物线的解析式为
，
依题意得：
c=4且
解得
所以所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD= 7–5=2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。
∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB
即
所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–
=
，
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：
因为抛物线的对称轴为
所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线
对称连接AQ交直线
于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO
即
所以QE=
，DE=
，所以OE=OD+DE=2+
=
，所以Q（
，
）
设直线AQ的解析式为
则
由此得
所以直线AQ的解析式为
联立
由此得
所以M
则：
在对称轴上存在点M
，使MQ+MC的值最小。
2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC，tan∠ACO＝
．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
（1）由已知得：
C（0，－3），A（－1，0）…1分
将A、B、C三点的坐标代入得
……………………2分
解得：
……………………3分
所以这个二次函数的表达式为：
……………………3分
（2）存在，F点的坐标为（2，－3）……………………4分
理由：
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：
AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3）……………………5分
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为
．……………8分
设P（x，
），则Q（x，－x－1），PQ
．
……………………9分
当
时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为
，
．……………………10分
3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为
………1分
根据题意，得
，解得
∴抛物线的解析式为
………………………………………2分
⑵存在。
…………………………………………………………………………3分
由
得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。
…………4分
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x,y），根据勾股定理，
得
，即y＝4－x。
…………………………5分
又P点（x,y）在抛物线上，∴
，即
…………6分
解得
，
，应舍去。
∴
。
……………………7分
∴
，即点P坐标为
。
……………………8分
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。
∴符合条件的点P坐标为
或（2，3）。
……………………9分
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,
得CB＝
CD＝
BD＝
………………………………………………10分
∴
∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1,
∴∠CDF＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形,………………12分
由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。
……………13分
4.已知：
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC的面积；
（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
解：
（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－
x2－
x＋8
（3）∵AB＝8，OC＝8
∴S△ABC＝
×8×8=32
（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴
＝
即
＝
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴
＝
∴FG＝
·
＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝
（8－m）×8－
（8－m）（8－m）
＝
（8－m）（8－8＋m）＝
（8－m）m＝－
m2＋4m
自变量m的取值范围是0＜m＜8
（5）存在．理由：
∵S＝－
m2＋4m＝－
（m－4）2＋8 且－
＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
5.已知抛物线
与
轴的一个交点为A（-1,0），与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与
轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点
，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
⑴对称轴是直线：
，点B的坐标是（3,0）．……2分
说明：
每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．
⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（-1,0）、B（3,0），
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴
∴b＝
………………………………3分
当
时，
∴
………………………………4分
∴
…………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：
如图，连接AC、BC．设点M的坐标为
．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，
．
∴x＝±4．∴点M的坐标为
．…9分
说明：
少求一个点的坐标扣1分．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝
．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴点M的坐标为
．……………………………12分
说明：
求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，
然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．
综上所述，坐标平面内存在点
，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为
．
升级会员 