二元一次不等式组与简单的线性规划问题.docx

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二元一次不等式组与简单的线性规划问题

第3节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

最新考纲　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

知识梳理

1.二元一次不等式（组）表示的平面区域

（1）一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域（半平面）包括边界直线.

（2）对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点（x，y），使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.

（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2.线性规划的有关概念

名称

意义

线性约束条件

由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x，y的约束条件

目标函数

关于x，y的解析式

线性目标函数

关于x，y的一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解（x，y）

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

[常用结论与微点提醒]

1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

（1）直线定界：

不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

（2）特殊点定域：

若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取（0，1）或（1，0）来验证.

2.在通过求直线的截距

的最值间接求出z的最值时，要注意：

当b>0时，截距

取最大值时，z也取最大值；截距

取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距

取最大值时，z取最小值；截距

取最小值时，z取最大值.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.（　　）

（2）线性目标函数的最优解可能是不唯一的.（　　）

（3）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.（　　）

（4）在目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.（　　）

解析　

（1）不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.

（4）直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是

.

答案　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是（　　）

A.（0，0）B.（－1，1）C.（－1，3）D.（2，－3）

解析　把各点的坐标代入可得（－1，3）不适合，故选C.

答案　C

3.（教材习题原题）不等式组

表示的平面区域是（　　）

解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.

答案　B

4.（2017·全国Ⅰ卷）设x，y满足约束条件

则z＝3x－2y的最小值为________.

解析　不等式组

表示的平面区域如图所示.

由z＝3x－2y得y＝

x－

，当直线y＝

x－

过图中点A时，纵截距最大，此时z取最小值.由

解得点A坐标为（－1，1），此时z＝3×（－1）－2×1＝－5.

答案　－5

5.（2018·石家庄质检）若x，y满足约束条件

则z＝

的最大值为________.

解析　作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z＝

＝

，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA，由

得A

，

kOA＝

＝3，∴zmax＝3.

答案　3

考点一　二元一次不等式（组）表示的平面区域

【例1】

（1）不等式（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（　　）

（2）若不等式组

表示的平面区域为三角形，且其面积等于

，则m的值为（　　）

A.－3B.1C.

D.3

解析　

（1）（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0⇒

或

画出平面区域后，只有C符合题意.

（2）如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，

由

解得

即A（1－m，1＋m）.

由

解得

即B

，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝

（2＋2m）（1＋m）－

（2＋2m）·

（1＋m）＝

（1＋m）2＝

，

解得m＝－3（舍去）或m＝1.故选B.

答案　

（1）C　

（2）B

规律方法　1.二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：

直线定界，测试点定域.

2.求平面区域的面积：

（1）首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

（2）对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.

【训练1】（2018·郑州预测）若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组

表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________.

解析　作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面积为

×3×（6＋2）＝12，区域M在区域N内的面积为

π（

）2＝

，故所求概率P＝

＝

.

答案　

考点二　求目标函数的最值问题（多维探究）

命题角度1　求线性目标函数的最值

【例2－1】（2017·全国Ⅰ卷）设x，y满足约束条件

则z＝x＋y的最大值为（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分（含边界），则当目标函数z＝x＋y经过A（3，0）时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3，故选D.

答案　D

命题角度2　求非线性目标函数的最值

【例2－2】

（1）若变量x，y满足

则x2＋y2的最大值是（　　）

A.4B.9C.10D.12

（2）（2018·湘中高三联考）已知实数x，y满足

则

的最小值是________.

解析　

（1）作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示（包括边界），x2＋y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A（3，

－1）与原点的距离最大，所以x2＋y2的最大值是10，故选C.

（2）作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又

表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA的斜率最大，此时

取得最小值，所以

＝

＝

.

答案　

（1）C　

（2）

命题角度3　求参数的值或范围

【例2－3】（2018·惠州三调）已知实数x，y满足：

若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝（　　）

A.1B.2C.4D.8

解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C

时，z取得最小值－4，所以－a＋2·

＝－4，解得a＝2，选B.

答案　B

规律方法　1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：

（1）

表示点（x，y）与原点（0，0）的距离，

表示点（x，y）与点（a，b）的距离；

（2）

表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，

表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率.

3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.

【训练2】

（1）（2017·山东卷）已知x，y满足约束条件

则z＝x＋2y的最大值是（　　）

A.0B.2C.5D.6

（2）（2018·新乡模拟）若实数x，y满足

且z＝mx－y（m<2）的最小值为－

，则m等于（　　）

A.

B.－

C.1D.

解析　

（1）由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z＝x＋2y经过点C（－3，4）时取最大值zmax＝－3＋2×4＝5.

（2）作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，

z＝mx－y（m<2）的最小值为－

，可知目标函数的最优解过点A，由

解得A

，

∴－

＝

－3，解得m＝1.

答案　

（1）C　

（2）C

考点三　实际生活中的线性规划问题

【例3】（2016·全国Ⅰ卷）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.

解析　设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为

目标函数z＝2100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分（包括边界）内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60，100），（0，200），（0，0），（90，0），在（60，100）处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）.

答案　216000

规律方法　解线性规划应用问题的一般步骤：

（1）分析题意，设出未知量；

（2）列出线性约束条件和目标函数；

（3）作出可行域并利用数形结合求解；

（4）作答.

【训练3】（2018·黄冈联考）一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.

解析　设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，

则得

即

目标函数z＝200x＋100y.作出可行域（如图阴影部分所示），当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值，解方程组

得点B的坐标（2，2），故zmax＝200×2＋100×2＝600.

答案　600

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.不等式组

所表示的平面区域的面积为（　　）

A.1B.

C.

D.

解析　作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由

得yD＝

，所以S△BCD＝

×（xC－xB）×

＝

.

答案　D

2.（2017·北京卷）若x，y满足

则x＋2y的最大值为（　　）

A.1B.3C.5D.9

解析　画出可行域，设z＝x＋2y，则y＝－

x＋

，当直线y＝－

x＋

过B（3，3）时，z取得最大值9，故选D.

答案　D

3.（2017·全国Ⅱ卷）设x，y满足约束条件

则z＝2x＋y的最小值是（　　）

A.－15B.－9C.1D.9

解析　作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B（－6，－3）处取得最小值zm