学年八年级数学人教版下册第19章《一次函数》培优综合专练四.docx
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学年八年级数学人教版下册第19章《一次函数》培优综合专练四
2020-2021学年八年级下册第19章《一次函数》
培优综合专练(四)
1.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标是(1,0),P为直线AB上的动点,连接PO,PC.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)当△PBO与△PAC面积相等时,求点P的坐标;
(3)直接写出△PCO周长的最小值.
2.已知,直线y=3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)如图①,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)如图②,点C是直线AB上不同于点B的点,且CA=AB.
①点C的坐标为 ;
②过动点P(m,0)且垂直于x轴的直线与直线AB交于点E,若点E在线段BC上,则m的取值范围是 ;
(3)若∠ABN=45°,求直线BN的解析式.
3.已知一次函数y1=2x﹣3和y2=﹣x+3.
(1)请你在同一个平面直角坐标系内画出它们的图象;
(2)求出它们的交点坐标;
(3)求出这两条直线与x轴共同围成的三角形的面积.
4.如图,甲,乙两人从点O出发去C地,甲的速度是乙速度的1.2倍,且甲在途中休息了半小时后仍按原速度行进.
(1)求甲,乙两人的行进速度.
(2)求线段BC的解析式,并写出定义域.
5.某种汽车油箱的容量为250升,开始出发后在平路上匀速行驶了4小时,汽车油箱的剩余油量是150升;之后该车又在上坡路上匀速行驶了2小时,此时汽车油箱的剩余油量是90升.这种汽车油箱的剩余油量y(升)与行驶时间x(小时)之间的部分函数图象如图所示.
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式),并直接写出自变量x的取值范围;
(2)如果6.5小时后该车还一直在上坡路上匀速行驶,问最多还能够行驶多少小时?
6.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+m交y轴的正半轴于点A,交x轴的正半轴于点B,过点A的直线AF交x轴的负半轴于点F,∠AFO=45°.
(1)求∠FAB的度数;
(2)点P是线段OB上一点,过点P作PQ⊥OB交直线FA于点Q,连接BQ,取BQ的中点C,连接AP、AC、CP,过点C作CR⊥AP于点R,设BQ的长为d,CR的长为h,求d与h的函数关系式(不要求写出自变量h的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,过点C作CE⊥OB于点E,CE交AB于点D,连接AE,∠AEC=2∠DAP,EP=2,作线段CD关于直线AB的对称线段DS,求直线PS与直线AF的交点K的坐标.
7.某社区计划对1200m2的区域进行绿化,经投标由甲、乙两个施工队来完成,已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300m2区域的绿化时,甲队比乙队少用3天.
(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少?
(2)设先由甲队施工x天,再由乙队施工y天,刚好完成绿化任务,求y关于x的函数关系式.
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线
分别交x轴,y轴于A、B两点,点A关于原点O的对称点为点D,点C在第一象限,且四边形ABCD为平行四边形.
(1)在图①中,画出平行四边形ABCD,并直接写出C、D两点的坐标;
(2)动点P从点C出发,沿线段CB以每秒1个单位的速度向终点B运动;同时,动点Q从点A出发,沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动,设点P运动的时间为t秒.
①若△POQ的面积为3,求t的值;
②点O关于B点的对称点为M,点C关于x轴的对称点为N,过点P作PH⊥x轴,问MP+PH+NH是否有最小值,如果有,求出相应的点P的坐标;如果没有,请说明理由.
9.如图,直线y=kx+b经过点A(﹣5,0),B(﹣1,4)
(1)求直线AB的表达式;
(2)求直线CE:
y=﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积;
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式kx+b>﹣2x﹣4的解集.
10.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(5,0)和点B(0,4).
(1)求直线AB所对应的函数表达式;
(2)设直线y=x与直线AB相交于点C,求△AOC的面积;
(3)若将直线OC沿y轴向下平移,交y轴于点O′,当△ABO′为等腰三角形时,求点O′的坐标.
参考答案
1.解:
(1)∵直线y=﹣x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴令y=0,则﹣x+4=0,解得x=4,
∴A(4,0),
令x=0,则y=4,
∴B(0,4);
(2)∵A(4,0),C(1,0),
∴AC=3,
设P(x,﹣x+4),
∵△PBO与△PAC面积相等,
∴
×|4x|=
(﹣x+4),
解得x=
或x=﹣12
∴P(
,
)或(﹣12,16);
(3)过O作直线AB的对称点O′,连接O′C交AB于点P,此时PC+PO的值最小,△PCO周长最小,周长的最小值为O′C+OC,
∴OA=OB=4,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠BAO=45°,
∵OO′和AB互相垂直平分,
∴四边形AOBO′是正方形,
∴O′(4,4),
∴O′C=
=5,
∴PC+PO的最小值为5,
此时,PC+PO+OC=O′C+OC=5+1=6,
故△PCO周长的最小值为6.
2.解:
(1)如图①,令y=0,则3x﹣3=0,即x=1.
∴A(1,0).
令x=0,则y=﹣3,即B(0,﹣3).
故答案是:
(1,0);(0,﹣3);
(2)①如图②,
过点C作CD⊥x轴,垂足是D,
∵
,
∴△BOA≌△CAD(ASA),
∴CE=OB=3,AD=OA=1,
∴C(2,3);
②如图②,由①可知D(2,0),
∵E在线段BC上,EP⊥x轴,
∴m的取值范围是:
0≤m≤2.
故答案是:
0≤m≤2;
(3)如图③,
作AN⊥AB,使得AN=AB,作NH⊥x轴于H,则△ABN是等腰直角三角形,∠ABN=45°.
∵∠AOB=∠BAN=∠AHN=90°,
∴∠OAB+∠ABO=90°,∠OAB+∠HAN=90°,
∴∠ABO=∠HAN,
又∵AB=AN,
∴△ABO≌△NAH(AAS),
∴AH=OB=3,NH=OA=1,
∴OH=OA+AH=1+3=4,
∴N(4,﹣1),
设直线BN的解析式为y=kx+b,则有
,
解得
,
∴直线BN的解析式为y=
x﹣3,
当直线BN′⊥直线BN时,直线BN′也满足条件,直线BN′的解析式为y=﹣2x﹣3,
∴满足条件的直线BN的解析式为y=
x﹣3或y=﹣2x﹣3.
3.解:
(1)函数y1=2x﹣3与x轴和y轴的交点是(1.5,0)和(0,﹣3),y2=﹣x+3与x轴和y轴的交点是(3,0)和(0,3),
其图象如图:
(2)解
得:
,
所以两直线的交点为(2,1);
(3)两条直线与x轴共同围成的三角形的面积为:
(3﹣1.5)×1=
.
4.解:
(1)由图知,乙的速度=15÷3=5千米/小时,
∵甲的速度是乙速度的1.2倍,
∴5×1.2=6千米/小时,
即甲,乙两人的行进速度分别是6千米/小时、5千米/小时;
(2)∵点A的纵坐标为6×1=6,
∴点B的坐标为(1.5,6),
设线段BC的解析式为y=kx+b,
,得
,
即线段BC的解析式是y=6x﹣3(1.5≤x≤3).
5.解:
(1)当0≤x≤4时,设y与x的函数关系式为y=kx+b,
,得
,
即0≤x≤4时,y与x的函数关系式为y=﹣25x+250,
当4<x≤6时,设y与x的函数关系式为y=mx+n,
,得
,
即当x>4时,y与x的函数关系式为y=﹣30x+270,
由上可得,y与x的函数关系式为y=
;
(2)令﹣30x+270=0,得x=9,
9﹣6.5=2.5(小时),
即如果6.5小时后该车还一直在上坡路上匀速行驶,最多还能够行驶2.5小时.
6.解:
(1)如图1,y=﹣x+m,当x=0时,y=m,
∴A(0,m),OA=m,
当y=0时,0=﹣x+m,x=m,
∴B(m,0),OB=m,
∴OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵∠AFO=45°,∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°,
∴∠FAB=90°.
(2)如图2,∵CP、AC分别是Rt△QPB和Rt△QAB的斜边上的中线,
∴CP=
QB,AC=
QB,
∴CP=AC=QC=BC,
∴∠CAB=∠CBA,
设∠CAB=∠CBA=α,
∴∠CBP=45°+α,
∴∠CPB=∠CBP=45°+α,
∴∠PCB=180°﹣(∠CPB+∠CBP)=90°﹣2α,
∵∠ACB=180°﹣∠CAB﹣∠CBA=180°﹣2α,
∴∠ACP=∠ACB﹣∠PCB
=180°﹣2α﹣(90°﹣2α)=90°,
∵AC=CP,
∴△ACP是等腰直角三角形,
∴∠CPA=∠CAP=45°,
∵CR⊥AP,
∴∠CRP=90°,在△CRP中,sin∠CPR=
,
∴CP=
CR,
∵CP=
BQ,
∴BQ=2
CR,
即d=2
h.
(3)过点A作AH⊥CE交EC的延长线于点H,延长CH到点G,使HG=CH,连接AG,
∴∠AHC=∠CEP=90°,
∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA,
∴∠HAC=∠PCE,
又∵AC=CP,
∴△AHC≌△CEP(AAS),
∴CH=PE=2,AH=CE,
∴GH=CH=2,设AH=CE=n,
∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4,
设∠DAP=β,则∠AEG=2β,
∴α+β=45°,
∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°,
∴∠CAH=∠HAD﹣α=45°﹣α=β,
∵AH垂直平分GC,
∴AG=AC,
∴∠GAH=∠CAH=β,
∴∠G=90°﹣β,
在△EAG中,∠EAG=180°﹣∠G﹣∠AEG=180°﹣(90°﹣β)﹣2β=90°﹣β,
∴∠EAG=∠G,
∴EG=EA=n+4,
在Rt△AHE中,AE2=EH2+AH2,
∴(n+4)2=(n+2)2+n2,
解得n1=6,n2=﹣2(舍),
∴AH=OE=6,EP=EB=2,
∴OB=OE+BE=8,
∴m=8,
∴A(0,8),
∴OA=OF=8,
∴F(﹣8,0),
∴直线AF的解析式为y=x+8,
∵CD=CE﹣DE=CE﹣BE=6﹣2=4,
∵线段CD关于直线AB的对称线段DS,
∴SD=CD=4,∠CDA=∠SDA=45°,
∴∠CDS=90°,
∴SD∥x轴,
过点S分别作SM⊥x轴于点M,SN⊥y轴于点N,
∴四边形OMSN、SMED都是矩形,
∴OM=SN=OE﹣ME=2,ON=SM=DE=BE=2,
∴S(2,2),
∵OP=OE﹣EP=6﹣2=4,
∴P(4,0),
设直线PS的解析式为y=ax+b,
∴
,解得
,
∴直线PS的解析式为y=﹣x+4,
设直线PS与直线AF的交点K(x,y),
∴
,
∴直线PS与直线AF的交点K(﹣2,6).
7.解:
(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2,
根据题意得,
解得,x=50,
经检验,x=50是原方程的解,符合实际.
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100(m2),
答:
甲、乙两工程队每天能完成的面积分别是100m2、50m2;
(2)由题意得:
100x+50y=1200,
整理得:
,
即y关于x的函数关系式是y=24﹣2x.
8.解:
(1)直线
分别交x轴,y轴于A、B两点,则点A、B的坐标分别为(﹣4,0)、(0,3),
则点D(4,0),则AD=8=BC,故点C(8,3),
故点C、D的坐标分别为(8,3)、(4,0),画出的平行四边形ABCD如下图.
(2)①t秒钟时,点P的坐标为(8﹣t,3),
△POQ的面积S=
×OQ×|yP|=
|xQ|×3=3,解得:
xQ=±2,
故t=2或6;
②MP+PH+NH有最小值,理由:
∵MB∥PH且BM=PH=3,
∴四边形BMPH为平行四边形,故PM=BH,
∴MP+PH+NH=PH+BH+HN=3+BH+HN,
∴当B、H、N三点共线时,MP+PH+NH=PH+BH+HN=3+BH+HN最小,
∵点C关于x轴的对称点为N,故点N(8,﹣3),而点B(0,3),
设直线BN的表达式为:
y=kx+b,则
,解得
,
故直线BN的表达式为:
y=﹣
x+3,
∵点P的坐标为(8﹣t,3),故点H(8﹣t,0),
将点H的坐标代入BN的表达式得:
0=﹣
(8﹣t)+3,解得:
t=4,
故点P(4,3).
9.解:
(1)∵直线y=kx+b经过点A(﹣5,0),B(﹣1,4),
,解得
,
∴y=x+5
(2)∵若直线y=﹣2x﹣4与直线AB相交于点C,
∴
,解得
,故点C(﹣3,2).
∵y=﹣2x﹣4与y=x+5分别交y轴于点E和点D,∴D(0,5),E(0,﹣4),
直线CE:
y=﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积为:
DE•|∁x|=
×9×3=
.
(3)根据图象可得x>﹣3.
10.解:
(1)设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
将A(5,0),B(0,4)代入y=kx+b,得:
,解得:
,
∴直线AB所对应的函数表达式y=﹣
x+4.
(2)联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组,得:
,解得:
,
∴点C坐标(
,
),
∴S△AOC=
OA•yC=
×5×
=
.
(3)分三种情况考虑,如图所示.
①当AB=AO′时,OB=OO′,
∵点B的坐标为(0,4),
∴点O′的坐标为(0,﹣4);
②当O′B=O′A时,设OO′=x,则O′A=4+x,
在Rt△AOO′中,AO′2=OO′2+AO2,即(4+x)2=52+x2,
解得:
x=
,
∴点O′的坐标为(0,﹣
);
③当BA=BO′时,∵BO′=
=
,点B的坐标为(0,4),
∴点O′的坐标为(0,4﹣
)或(0,4+
)(舍去).
综上所述:
当△ABO′为等腰三角形时,点O′的坐标为(0,﹣4),(0,﹣
)或(0,4﹣
).