高等数学专升本学习指南模拟题及答案.docx
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高等数学专升本学习指南模拟题及答案
高等数学（专升本）-学习指南
一、选择题
1.函数z
lnx2
y224x2
y2的定义域为【D】
A．x2
y22
B
．x2
y24
C
．x2
y22D．2x2
y24
解：
z的定义域为：
x2y220
4x2y20
2x2
y24，故而选D。
2.设
f（x）在x
x0处间断，则有【D】
A.f（x）在x
x0处一定没有意义；
B.f（x00）
f（x
0）;（即
limf（x）lim
f（x））；
xx0xx0
C.lim
f（x）不存在，或
lim
f（x）；
xx0xx0
D.若
f（x）在x
x0处有定义，则x
x0时，
f（x）
f（x0）不是无穷小
3.极限
lim
123
n
【B】
nn2n2n2n2
A.1
4
B.
1
2
C．1D．0
解：
有题意，设通项为：
12n
Snn2n2n2
1n1
2n
n2
n1
2n
11
22n
原极限等价于：
lim12
nlim
111
22
nnn
n2n
22n2
4.设y
tan2x，则dy【A】
A．2tan
xsec2
xdxB．2sin
xcos2xdx
C．2secxtan2
xdxD．2cos
xsin2xdx
解：
对原式关于x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。
y'tan2x
dtanx
2tanx
dx
2tanxsec2x
dy
所以，
dx
2tanxsec2
x，即dy
2tanxsec2xdx
5.函数y
（x2）2在区间[0,4]上极小值是【D】
A．-1B．1C．2D．0
解：
对y关于x求一阶导，并令其为0，得到2x
20；
解得x有驻点：
x=2，代入原方程验证0为其极小值点。
6.对于函数
fx,y的每一个驻点
x0,y0
，令Afxx
x0,y0
，Bfxy
x0,y0，
Cfx,y，若
ACB20，则函数【C】
yy00
A．有极大值B．有极小值C．没有极值D．不定
7.多元函数
fx,y在点
x0,y0
处关于y的偏导数fy
x0,y0
【C】
A．lim
fx0
x,y0
fx0,y0
B．lim
fx0
x,y0
yfx0,y0
x0xx0x
C．lim
fx0,y0
yfx0,y0
D．lim
fx0
x,y0
yfx0,y0
y0yy0y
8.向量a与向量b平行，则条件：
其向量积ab0是【B】
A．充分非必要条件B．充分且必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
9.向量a、b垂直，则条件：
向量a、b的数量积ab0是【B】
A．充分非必要条件B．充分且必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
10.已知向量a、b、c两两相互垂直，且a
【C】
1，b
2，c
3，求abab
A．1B．2C．4D．8
解：
因为向量a与b垂直，所以sin
a,b
1，故而有：
abab
aa-ab+ba-bb
2ba
2ba
sin
a,b
2211
4
11.下列函数中，不是基本初等函数的是【B】
x
A.
5
3
y1
B.
y
lnx2
C.
y
sinx
D.
yx
e
解：
因为y
lnx2是由
yln
u，u
cosx
x2复合组成的，所以它不是基本初等函数。
12.二重极限
xy2
lim2
4【D】
x0xy
y0
A．等于0B．等于1C．等于
1D．不存在
2
lim
2
xyk
解：
xky2x2y4
1k2
与k相关，因此该极限不存在。
y0
13.无穷大量减去无穷小量是【D】
A．无穷小量B．零C．常量D．未定式
解：
所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。
所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。
14.lim
1cos2x
2
【C】
x0sin3x
1
A．1B．3
解：
根据原式有：
C.
2
9
D.
1
9
lim
2sin2x
22
242
x
x04sin3x
3sinx
16sinx
24sinx99
15.设
ye（sinxxcosx），则y'
【D】
A．ex（sinxxcosx）B．xexsinx
C.
ex（cosxxsinx）
D.
ex（sinxxcosx）
xexsinx
解：
对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。
x
ye（sinxxcosx）
ex（sinxxcosx）ex（sinxxcosx）
ex（sinxxcosx）
ex（cosx
cosxxsinx）
exsinxxsinxxcosx
yex（sinxxcosx）xexsinx
16.．直线
L1上的一个方向向量s1
m1,n1,p1
，直线
L2上的一个方向向量
s1m2,n2,p2，若L1与L2平行，则【B】
A．m1m2n1n2p1p2
C．m1m2n1n2p1p2
1B．m1
m2
0
n1p1
n2p2
D．m1n1
m2n2
p11
p2
17.平面1上的一个方向向量n1
A1,B1,C1
，平面2上的一个方向向量
n2A2,B2,C2，若1与2垂直，则【C】
A．A1A2B1B2C1C21
C．A1A2B1B2C1C20
B．A1
A2
D．A1
A2
B1C1
B2C2
B1C11
B2C2
18.若无穷级数
un收敛，而
n1
un发散，则称称无穷级数
n1
un【C】
n1
A．发散B．收敛C．条件收敛D．绝对收敛
19.下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A】
A．x2
ayB．x2
ay2
x2y2x2y2
C．221
ab
D．221
ab
20.
设D是矩形：
0
x
a,0
y
b，则
dxdy【A】
D
A.abB.2abC.
k（ab）
D.kab
解：
关于单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。
由题意知：
0
x
a,0
y
b，则：
dxdya
D
0b0ab
21.设
fxx
1，则
ffx
1
【D】
A．xB．x1
C．x
2
D．x3
解：
由于
f（x）
x1，得
f（f
（x）1）
（f（x）1）
1＝f
（x）2
将f（x）
x1代入，得
f（f
（x）
1）=（x1）2x3
22.利用变量替换u
x,v
y
zz
x，一定可以把方程xxyy
z化为新的方程【A】
z
A.uzu
z
B.vzv
z
C.uzv
z
D.vzu
解：
z是x，y的函数，从ux，v
y可得xu，yuv，故z是u，v的函数，
x
又因为ux，vy。
x
所以z是x,y的复合函数，故zz1
zz
yzz
，0
z1
，从而
2
xuvx
yuvx
zz
左边=xy
xzyzyz
xzuz
xyuxvxvuu
因此方程变为：
uzzu
23.曲线
x
ye2
在点（0,1）处的切线斜率是【A】
A．1B．1eC．2D．1
22e2
xx
解：
ye2
1e2。
2
所以，在点（0,1）处，切线的斜率是：
121
x
e
x0
22
24.
n
lim2
n3n
【A】
A．0B．14
C．1
3
D．1
2
2
解：
因为031
2n2n
limn
n3
lim，
n3
所以lim
n
25.
x
lim
2n
3n0
sinxx
【C】
A．cosxB．tanxC．0D．1
解：
因为1sinx
1有界，
x
所以lim
sinx0x
26.已知向量m
3,5,8，n
2,4,7，p
5,1,4
，求向量a
4m3pn在
y轴上的投影及在z轴上的分量【A】
A．27，51B．25，27C．25，51D．27，25
解：
A
a43,5,85,1,42,4,7
43352,45314,48347
25,27,51
因此Prjya
27，azk
51k
27.向量a与x轴与y轴构成等角，与z轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是a的方向【C】
A．2，2，4B．4，4，8
C．4，4，2D．，2，2
解：
C
设a的方向角为、、，按题意有
=，=2
222
由于coscoscos1
即
化简得到
cos2cos2
cos22cos2
cos221
10
解得cos0或cos2
2
因为、、都在0到的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：
，，或者，，
44222
28.已知向量a垂直于向量b
2i3jk和ci
2j3k，且满足于
ai2j7k10，求a=【B】
A．7i
5jkB．7i+
5j+k
C．5i
解：
B
3jkD．5i+3j+k
因为a垂直于向量b和c，故而a必定与bc平行，因此ijk
a
bc
2
3
1
7i5j
k
1
2
3
又因为ai2j7k10
即：
7i
5jki
2j7k10
解得1，所以a
7i+
5j+k
29.若无穷级数
un收敛，且
n1
un收敛，则称称无穷级数
n1
un【D】
n1
A．发散B．收敛C．条件收敛D．绝对收敛
30.设D是方形域：
0
x1,0
y1，
D
xyd【D】
A.1B.1C.1D.1
234
解：
D
xyd
D
11
dxxydy
00
1x2y2
4
1,1
1
0,04
31.若fx
exa
xx1，x
1为无穷间断点，x
2为可去间断点，则a【C】
A．1B．0C．eD．e1
解：
由于x
0为无穷间断点，所以
（exa）
x0
0，故a
1。
若a
0，则x1
也是无穷间断点。
由x
1为可去间断点得a
e，故选C。
32.设函数
f（x）,g（x）是大于零的可导函数，且
f（x）g（x）
f（x）g
（x）0，
则当axb时，有【A】
A．f（x）g（b）
f（b）g（x）
B．f
（x）g（a）
f（a）g（x）
C．f（x）g（x）
f（b）g（b）
D．f
（x）g（x）
f（a）g（a）
解：
考虑辅助函数
F（x）
f（x）
则F
（x）
f（x）g（x）
2
f（x）g
（x）
0,
则F（x）严格单调减少函数
g（x）
.当x
b时,
g
f（x）f（b）,
（x）
g（x）g（b）
即有f（x）g（b）
g（x）
f（b）.应选（A）.
33.函数函数
2
yx35可能存在极值的点是【B】
A．x
5B．x0
C
．x1
D
．不存在
解：
由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。
当x=0时，函数取得最小值y=5。
34.yxtanx
3secx，则y'
【D】
A．tanx
3secxtanxB．tanxxsec2x
C．
2
xsecx
3secxtanx
2
D．
tanxxsecx
3secxtanx
解：
yxtanx
3secxxtanx
3secx
tanxxsec2x
3secxtanx
35.设
y
xsin
1，则dy【C】
x
A．（sin
（sin
111
cos）dx
xxx
111
B
．（cos11sin1）dx
xxx
111
C．cos）dxxxx
D．（cos
sin
xx
）dx
x
解：
对y关于x求一阶导有：
yxsin1
（sin
111dy
cos）
xxxxdx
所以，dy
（sin
111
cos）dx
xxx
36.设直线
xyy
与平面2x
9y3z
100平行，则k等于【A】
3k4
A.2B.6C.8D.10
解：
直线的方向向量为3,k,4，平面的法向量为2,9,3。
因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为0。
即：
329k
340
得到：
k2
37.若
f（x,y）2x
y，则
f'x（1,0）
【A】
2
A.4B.0C.2D.1
解：
因为fx
x,y
2x2y4x
x
所以fx
1,0414
38.
f'x（x,y）和
f'y（x,y）在点
（x0,y0）
连续是
f（x,
y）在点
（x0,y0）
可微分的【A】
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件
解：
由定理直接得到：
如果函数
zz
fx,y的偏导数
zz
在点
x,y连续，则
xy
函数在该点的全微分存在。
39.在xoy面上求一个垂直于向量a
5,3,4
，且与a等长的向量b=【D】
A．27
17,0
B．25,
15,0
15151717
C．17
27,0
D．15,
25,0
15151717
解：
由题意设向量b
x,y,0
，因为a垂直于b且ab，所以有：
x2y2
ba0
0252
22，即：
34
5x3y0
x2y250
由以上方程解得x
15，y17
25，x，y同号
17
故而所求向量b
15,
25,0
或者b
15,
25,0
17171717
40.微分方程
xdy
3
dx
yx3的通解是【B】
x3c
A.B.
4x
xcxC.2
3
xcD.2
3
xcx4
解：
xdy
yx3
yyx2
dxx
令px
1
，qxx2
x
由一阶线性非齐次微分方程的公式有：
yCe
p
xdx
pxdx
e
q
xe
pxdx
dx
Cxxx2x3
1dxx
Cx
2
二、判断题
1.y1,y2是齐次线性方程的解，则
C1y1
C2y2也是。
（）
2.
。
yfy,y（不显含有x），令yp，则yp。
（）
解：
根据微分方程解的性质得到
ypdpdy
bb
3.
t
对于无穷积分，有
fxdx
lim
t
fxdx。
（）
4．fx在
x0的邻域内可导，且
fx00，若：
当xx0时，fx
0；当
x
x0
时，fx
0。
则
x0为极小值点。
（）
解：
根据极值判定定理第一充分条件，
x0为极大值点。
5.fx在
a,b上连续，在
a,b上有一阶导数、二阶导数，若对于
xa,b
fx
0,则fx在
a,b上的图形是凸的。
（）
6.二元函数z
2
x2
y2的极大值点是0,0。
（）
解：
原式中
x20，当且仅当x=0时，取到极小值0；
同样，
y20，当且仅当y=0时，取到极小值0。
所以，函数的极小值点位于（0，0）
7.设z
arctan
xy，其中
y
ex，则dz
dx
1。
（）
解：
直接求微计算：
dzd
arctanxy
dxy
dxdxydx
1
2
1xy
1
2
1xy
yxdydx
x
yxe
yxex
2
1xy
8.设V由0
x1，0
y1，0
zz
1所确定，则
dv1。
（）
v
解：
由题意得到积分区域V为各向尺度为1的立方体，其体积即为1。
9.函数z
lnx
lny的定义域是
x,y|x
0,y
0。
（）
解：
由对数定义得到
x,y|x
0,y0。
10.设zxexy，则z
x
1xyexy。
（）
11.
y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则
C1y1
C2y2是方程的通解。
（）
12.
齐次型微分方程dxx，设vx，则dxvydv。
（）
dyyydydy
bb
13.对于瑕积分，有
fxdx
a
lim
tat
fxdx，其中a为瑕点。
（）
14．fx在
x0的邻域内可导，且
fx00，若：
当xx0时，fx
0，当xx0
时，fx
0。
则
x0为极大值点。
（）
解：
根据极值判定定理第一充分条件，
x0为极小值点。
15.设y
f（x）在区间I上连续，
x0是fx的内点，如果曲线y
f（x）经过
点x0,
fx0
时，曲线的凹凸性改变了，则称点
x0,
fx0
为曲线的拐点。
（）
16.设D是矩形区域
x,y|0
x1,0
y
3，则
dxdy1（）
D
解：
显然该积分表示长为3，宽为1的矩形面积，值应为3。
17.若积分区域D是1x2
y24，则
dxdy3。
（）
D
解：
1x2
y24是一个外环半径为2，内环半径为1的圆环，积分式
dxdy是
D
在圆环上单位1的二重积分，所以求的是圆环的面积。
原式=42123
18.设V是由
zz
x2
y2，1
z4所确定，函数fz在1,4上连续，那么
fzdxdydz
v
4e1。
（）
解：
fzdxdydz
21r2
e1。
4
dtredr
00
v
19.设不全为0的实数，，使v
vvv
，则三个向量
vvv共面。
123
（）
1a2b3c0
a,b,c
20.二元函数z
6xx2
4yy2
的极大值点是极大值
f3,236。
（）
21.若
yCyCyy*
为非齐次方程的通解，其中
y1,y2
为对应齐次方程的
1122
解，y*
为非齐次方程的特解。
（）
解：
根据齐次线性方程解的性质，
y1与
y2必须是线性无关的解，
y*是其特解。
22.若函数fx在区间
（）
a,b上连续，则
a,b，使得
b
fxdxfba。
a
23.函数fx在
x0点可导
fx0
fx0
。
（）
24.fx在
x0处二阶可导，且
fx00，
fx00。
若
fx00，则
x0为
极大值点。
（）
25.
xa
若lim
fx，则x
a为一条水平渐近线。
（）
解：
根据函数渐近线的定义和概念可以得到，
x
a
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