高等数学专升本学习指南模拟题及答案.docx

1、高等数学专升本学习指南模拟题及答案高等数学（专升本） -学习指南一、选择题1. 函数 zln x2y2 2 4 x2y 2 的定义域为【 D】A x2y2 2B x2y2 4C x2y2 2 D 2 x2y2 4解： z 的定义域为：x 2 y 2 2 04 x2 y2 02 x2y2 4 ，故而选 D。2. 设f (x) 在 xx0 处间断，则有【 D 】A. f ( x) 在 xx0 处一定没有意义；B. f ( x0 0)f (x0) ; ( 即lim f ( x) limf ( x) ) ；x x 0 x x 0C. limf (x) 不存在，或limf ( x) ；x x0 x x

2、0D. 若f (x) 在 xx0 处有定义，则 xx0 时，f ( x)f (x0 ) 不是无穷小3. 极限lim1 2 3n【 B 】n n2 n 2 n 2 n 2A. 14B. 12C 1 D 0解：有题意，设通项为：1 2 nSn n 2 n 2 n21 n 12 nn 2n 12n1 12 2n原极限等价于：lim 1 2n lim1 1 12 2n n nn2 n2 2n 24. 设 ytan2 x ，则 dy 【 A 】A 2tanx sec2xdx B 2sinx cos2 xdxC 2sec x tan2xdx D 2cosx sin 2 xdx解：对原式关于 x 求导，并用

3、导数乘以 dx 项即可，注意三角函数求导规则。y tan2 xd tan x2 tan xdx2 tan xsec2 xdy所以，dx2 tan x sec2x ，即 dy2tan xsec2 xdx5. 函数 y( x 2) 2 在区间 0, 4 上极小值是【 D】A-1 B 1 C 2 D0解：对 y 关于 x 求一阶导，并令其为 0，得到 2 x2 0 ；解得 x 有驻点： x=2，代入原方程验证 0 为其极小值点。6. 对于函数f x, y 的每一个驻点x0 , y0，令 A f xxx0 , y0， B fxyx0 , y0 ，C f x , y ，若AC B 2 0 ，则函数【 C

4、】yy 0 0A有极大值 B 有极小值 C没有极值 D 不定7. 多元函数f x, y 在点x0 , y0处关于 y 的偏导数 f yx0 , y0【C】A limf x0x, y0f x0 , y0B limf x0x, y0y f x0 , y0x 0 x x 0 xC limf x0 , y0y f x0 , y0D limf x0x, y0y f x0 , y0y 0 y y 0 y8. 向量 a 与向量 b 平行，则条件：其向量积 a b 0 是【B】A充分非必要条件 B充分且必要条件 C必要非充分条件 D 既非充分又非必要条件9. 向量 a 、b 垂直，则条件：向量 a 、 b 的

5、数量积 a b 0 是【B】A充分非必要条件 B充分且必要条件 C必要非充分条件 D 既非充分又非必要条件10. 已知向量 a 、b 、c 两两相互垂直，且a【C】1，b2 ，c3 ，求 a b a bA1 B 2 C4 D 8解：因为向量 a 与 b 垂直，所以 sina, b1，故而有：a b a ba a - a b+ b a - b b2 b a2 b asina,b2 2 1 1411. 下列函数中，不是基本初等函数的是 【B】xA. 53y 1B. yln x2C. ysin xD. y xe解：因为 yln x2 是由y lnu ， ucos xx 2 复合组成的，所以它不是基本

6、初等函数。12. 二重极限xy 2lim 24 【D】x 0 x yy 0A等于 0 B等于 1 C等于1 D不存在2lim2xy k解： x ky 2 x 2 y 41 k2与 k 相关，因此该极限不存在。y 013. 无穷大量减去无穷小量是 【D】A无穷小量 B零 C常量 D未定式解：所谓的无穷大量， 或者无穷小量只是指的是相对而言， 变量的一种变化趋势， 而非具体的值。所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。14. lim1 cos 2x2【C】x 0 sin 3 x1A1 B 3解：根据原式有：C. 29D. 19lim2sin 2 x2 22 4 2xx 0

7、4sin3 x3sin x16sin x24sin x 9 915. 设y e (sin x xcosx) ，则 y 【D】A ex (sin x xcosx) B xex sin xC. ex (cos x xsin x)D. ex (sin x x cosx)xex sin x解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。xy e (sin x xcosx)ex (sin x x cosx) ex (sin x x cosx)ex (sin x x cosx)ex (cosxcosx xsin x)ex sin x xsin x x cosxy ex (sin x xcosx) xex sin

8、 x16. 直线L1 上的一个 方向 向量 s1m1 , n1, p1， 直线L2 上的一个 方向向 量s1 m2 , n2 , p2 ，若 L1 与L2 平行，则 【B】A m1m2 n1n2 p1 p2C m1m2 n1n2 p1 p21 B m1m20n1 p1n2 p2D m1 n1m2 n2p1 1p217. 平面 1 上的一个方向向量 n1A1 , B1, C1，平面 2 上的一个方向向量n2 A2, B 2, C 2 ，若 1 与 2 垂直，则 【C】A A1 A2 B1B2 C1C2 1C A1 A2 B1B2 C1C2 0B A1A2D A1A2B1 C1B2 C2B1 C1

9、 1B2 C218. 若无穷级数un 收敛，而n 1un 发散，则称称无穷级数n 1un 【C】n 1A发散 B 收敛 C条件收敛 D 绝对收敛19. 下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式 【A】A x2ay B x2ay2x2 y2 x2 y2C 2 2 1a bD 2 2 1a b20. 设 D 是矩形： 0x a,0y b ，则dxdy 【 A 】DA. ab B. 2ab C.k( a b)D. kab解：关于单位 1 对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。由题意知： 0x a,0y b ，则：dxdy aD0 b 0 ab21. 设f x x1，则f f x1 【D】A

10、 x B x 1C x2 D x 3解：由于f ( x)x 1 ，得f ( f( x) 1)( f ( x) 1)1 f( x) 2将 f ( x)x 1 代入，得f ( f(x)1) =( x 1) 2 x 322. 利用变量替换 ux, vy z zx ，一定可以把方程 x x y yz 化为新的方程【A】zA. u z uzB. v z vzC. u z vzD. v z u解： z 是 x， y 的函数，从 u x ， vy 可得 x u ， y uv ，故 z 是 u，v 的函数，x又因为 u x ， v y 。x所以 z 是 x,y 的复合函数，故 z z 1zz y z z， 0

11、z 1，从而2x u v xy u v xz z左边= x yx z y z y zx z u zx y u x v x v u u因此方程变为：u z z u23. 曲线xy e2在点 (0,1) 处的切线斜率是 【A】A 1 B 1 e C 2 D 12 2 e2x x解： y e 21 e2 。2所以，在点 (0,1) 处，切线的斜率是：1 2 1xex 02 224. nlim 2n 3n【 A 】A0 B 1 4C 13D 122解：因为 0 3 12n 2 nlim nn 3lim ，n 3所以 limn25. xlim2n3n 0sin x x【 C 】A cos x B tan

12、 x C0 D 1解：因为 1 sin x1 有界，x所以 limsin x 0 x26. 已知向量 m3,5,8 ，n2, 4, 7 ， p5,1,4，求向量 a4m 3 p n 在y 轴上的投影及在 z 轴上的分量 【A】A27，51 B 25， 27 C 25， 51 D 27，25解： Aa 4 3,5,8 5,1,4 2, 4, 74 3 3 5 2,4 5 3 1 4 ,4 8 3 4 725,27,51因此 Prj y a27 ， azk51k27. 向量 a 与x 轴与 y 轴构成等角，与 z 轴夹角是前者的 2 倍，下面哪一个代表的是 a 的方向【C】A 2 ， 2 ， 4

13、B 4 ， 4 ， 8C 4 ， 4 ， 2 D ， 2 ， 2解： C设 a 的方向角为 、 、 ，按题意有= ， =22 2 2由于 cos cos cos 1即化简得到cos2 cos2cos2 2cos2cos2 2 11 0解得 cos 0 或 cos 22因为 、 、 都在 0 到 的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：， ， 或者 ， ，4 4 2 2 228. 已知向量 a 垂直于向量 b2i 3 j k 和c i2 j 3k ，且满足于a i 2 j 7k 10 ，求 a = 【B】A 7 i5 j k B 7i +5 j + kC 5i解： B3 j k D 5i + 3

14、j + k因为 a 垂直于向量 b 和c ，故而 a 必定与 b c 平行，因此i j kab c2317 i 5 jk123又因为 a i 2 j 7k 10即： 7i5 j k i2 j 7k 10解得 1 ，所以 a7i +5 j + k29. 若无穷级数un 收敛，且n 1un 收敛，则称称无穷级数n 1un 【D】n 1A发散 B 收敛 C 条件收敛 D绝对收敛30. 设 D是方形域： 0x 1,0y 1 ，Dxyd 【 D 】A. 1 B. 1 C. 1 D. 12 3 4解： DxydD1 1dx xydy0 01 x2 y241,110,0 431. 若 f xex ax x

15、1 ， x1 为无穷间断点， x2 为可去间断点，则 a 【 C 】A1 B 0 C e D e 1解：由于 x0 为无穷间断点，所以(ex a)x 00 ，故 a1。若 a0 ，则 x 1也是无穷间断点。由 x1 为可去间断点得 ae，故选 C。32. 设函数f ( x), g (x) 是大于零的可导函数，且f (x)g (x)f ( x)g( x) 0 ，则当 a x b 时，有【 A 】A f ( x) g(b)f (b)g( x)B f(x) g(a)f (a)g ( x)C f ( x)g(x)f (b)g(b)D f(x) g(x)f (a)g (a)解：考虑辅助函数F (x)f

16、(x),则F( x)f ( x) g( x)2f ( x)g( x)0,则F ( x)严格单调减少函数g( x). 当xb时,gf (x) f (b) ,(x)g(x) g(b)即有f (x)g(b)g(x)f (b).应选( A).33. 函数函数2y x 3 5 可能存在极值的点是 【 B 】A x5 B x 0C x 1D 不存在解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。当 x=0 时，函数取得最小值 y=5。34. y x tan x3sec x ，则 y 【 D 】A tan x3sec x tan x B tan x x sec2 xC2xsec x3sec x

17、tan x2Dtan x x sec x3sec x tan x解： y x tan x3sec x x tan x3sec xtan x x sec2 x3sec x tan x35. 设y xsin1 ，则 dy 【 C 】xA (sin(sin1 1 1cos )dxx x x1 1 1B (cos 1 1 sin 1 )dxx x x1 1 1C cos )dx x x xD (cossinx x)dxx解：对 y 关于 x 求一阶导有：y xsin 1(sin1 1 1 dycos )x x x x dx所以， dy(sin1 1 1cos ) dxx x x36. 设直线x y y

18、与平面 2x9 y 3z10 0 平行，则 k 等于【 A 】3 k 4A. 2 B. 6 C. 8 D. 10解：直线的方向向量为 3,k,4 ，平面的法向量为 2, 9,3 。因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为 0。即： 3 2 9 k3 4 0得到： k 237. 若f ( x, y) 2xy ，则f x (1,0)【 A 】2A. 4 B. 0 C. 2 D. 1解：因为 fxx, y2 x2 y 4 xx所以 f x1,0 4 1 438. f x ( x, y) 和f y ( x, y) 在点( x0 , y0 )连续是f ( x,y) 在点( x0 , y0 )可微分的 【

19、A 】A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件解：由定理直接得到：如果函数zz f x, y 的偏导数z z, 在点x, y 连续，则x y函数在该点的全微分存在。39. 在 xoy 面上求一个垂直于向量 a5, 3,4，且与 a 等长的向量 b = 【D】A 27, 17 ,0B 25 ,15 ,015 15 17 17C 17, 27 ,0D 15 ,25 ,015 15 17 17解：由题意设向量 bx, y,0，因为 a 垂直于 b 且 a b ，所以有：x2 y2b a 002 522 2 ，即：3 45x 3y 0x2 y2 50由以上方程解得 x15 ， y

20、 1725 ， x ， y 同号17故而所求向量 b15 ,25 ,0或者 b15 ,25 ,017 17 17 1740. 微分方程x dy3dxy x3 的通解是 【 B 】x3 cA. B.4 xx cx C. 23x c D. 23x cx 4解： x dyy x3y y x2dx x令 p x1 ， q x x2x由一阶线性非齐次微分方程的公式有：y Cep x dxp x dxeq x ep x dxdxCx x x2 x31 dx xCx2二、判断题1. y1 , y2 是齐次线性方程的解，则C1 y1C2 y2 也是。（ ）2. 。y f y, y （不显含有 x ），令 y

21、p ，则 y p 。（ ）解：根据微分方程解的性质得到y p dp dyb b3. t对于无穷积分，有f x dxlimtf x dx 。（ ）4 f x 在x0 的邻域内可导， 且f x0 0，若：当 x x0 时， f x0 ；当x x0时， f x0 。则x0 为极小值点。（ ）解：根据极值判定定理第一充分条件，x0 为极大值点。5. f x 在a, b 上连续，在a,b 上有一阶导数、二阶导数，若对于x a, b, f x0 , 则 f x 在a, b 上的图形是凸的。（ ）6. 二元函数 z2 x2y2 的极大值点是 0,0 。（ ）解：原式中x2 0 ，当且仅当 x=0 时，取到极

22、小值 0 ；同样，y2 0 ，当且仅当 y=0 时，取到极小值 0 。所以，函数的极小值点位于（ 0，0）7. 设 zarctanxy ，其中y ex ，则 dzdx1。（ ）解：直接求微计算：dz darctan xydxydx dxy dx121 xy121 xyy x dy dxxy xey xex21 xy8. 设V 由 0x 1， 0y 1 ， 0zz 1 所确定，则dv 1。（ ）v解：由题意得到积分区域 V 为各向尺度为 1 的立方体，其体积即为 1。9. 函数 zln xln y 的定义域是x, y | x0, y0 。（ ）解：由对数定义得到x, y | x0, y 0 。1

23、0. 设 z xexy ，则 zx1 xy exy 。（ ）11. y1 , y2 是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1 y1C2 y2 是方程的通解。( )12. 齐次型微分方程 dx x ，设 v x ，则 dx v y dv 。( )dy y y dy dyb b13. 对于瑕积分，有f x dxalimt a tf x dx ，其中 a 为瑕点。 ( )14f x 在x0 的邻域内可导， 且f x0 0 ，若：当 x x0 时， f x0 ，当 x x0时， f x0 。则x0 为极大值点。 ( )解：根据极值判定定理第一充分条件，x0 为极小值点。15. 设 yf ( x) 在区间

24、 I 上连续，x0 是 f x 的内点，如果曲线 yf ( x) 经过点 x0,f x0时，曲线的凹凸性改变了，则称点x0,f x0为曲线的拐点。 ( )16. 设 D 是矩形区域x, y |0x 1,0y 3 ，则dxdy 1 （ ）D解：显然该积分表示长为 3，宽为 1 的矩形面积，值应为 3。17. 若积分区域 D 是1 x2y2 4 ，则dxdy 3 。（ ）D解： 1 x2y 2 4 是一个外环半径为 2，内环半径为 1 的圆环，积分式dxdy是D在圆环上单位 1 的二重积分，所以求的是圆环的面积。原式= 42 12 318. 设V 是由zz x2y2 ， 1z 4 所确定，函数 f

25、 z 在 1,4 上连续，那么f z dxdydzv4 e 1 。（ ）解： f z dxdydz2 1 r 2e 1 。4dt re dr0 0v19. 设不全为 0 的实数 ， ， 使 vv v v，则三个向量v v v 共面。1 2 3（ ）1a 2b 3c 0a,b, c20. 二元函数 z6 x x24 y y 2的极大值点是极大值f 3,2 36 。（ ）21. 若y C y C y y*为非齐次方程的通解，其中y1, y2为对应齐次方程的1 1 2 2解， y*为非齐次方程的特解。 ( )解：根据齐次线性方程解的性质，y1 与y2 必须是线性无关的解，y* 是其特解。22. 若函数 f x 在区间( )a, b 上连续，则a, b ，使得bf x dx f b a 。a23. 函数 f x 在x0 点可导f x0f x0。( )24. f x 在x0 处二阶可导，且f x0 0 ，f x0 0 。若f x0 0 ，则x0 为极大值点。 ( )25. x a若 limf x ，则 xa 为一条水平渐近线。 ( )解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，x a