粒子群优化算法车辆路径问题.docx
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粒子群优化算法车辆路径问题
粒子群优化算法
计算车辆路径问题
摘要
粒子群优化算法中，粒子群由多个粒子组成，每个粒子的位置代表优化问题在□维搜索空间中潜在的解。
根据各自的位置，每个粒子用一个速度来决定其飞行的方向和距离,然后通过优化函数计算出一个适应度函数值（fitness）。
粒子是根据如下三条原则来更新自身的状态：
（1）在飞行过程中始终保持自身的惯性；
（2）按自身的最优位置来改变状态;（3）按群体的最优位置来改变状态。
本文主要运用运筹学中粒子群优化算法解决车辆路径问题。
车辆路径问题由Dantzig和Ram
ser于1959年首次提出的,它是指对一系列发货点（或收货点）,组成适当的行车路径，使车辆有序地通过它们，在满足一定约束条件的情况下，达到一定的目标（诸如路程最短、费用最小，耗费时间尽量少等），属于完全NP问题，在运筹、计算机、物流、管理等学科均有重要意义。
粒子群算法是最近出现的一种模拟鸟群飞行的仿生算法，有着个体数目少、计算简单、鲁棒性好等优点，在各类多维连续空间优化问题上均取得非常好的效果。
本文将PSO应用于车辆路径问题求解中，取得了很好的效果。
针对本题，一个中心仓库、7个需求点、中心有3辆车，容量均为1,由这三辆车向7个需求点配送货物，出发点和收车点都是中心仓库。
k=3,q1=q^=q3=1,^=7.货物需求量
=0.89,g2=0.14,g3=0.28,g4=0.33,g5=0.21,g6=0.41,g7=0.57，且
mgiaXk。
利用matlab编程，求出需求点和中心仓库、需求点之间的各
个距离，用Cj表示。
求满足需求的最小的车辆行驶路径，就是求minz八77CjXi。
经过初始化粒子群，将初始的适应值作为每个粒子的个
ijk
体最优解，并寻找子群内的最优解以及全局的最优解。
重复以上步骤，直到满足
终止条件。
本题的最短路径由计算可知为217.81。
关键字：
粒子群算法、车辆路径、速度
问题的重述
一个中心仓库序号为0，7个需求点序号为1~7,其位置坐标见表1,中心有
3辆车，容量均为1,由这三辆车向7个需求点配送货物，出发点和收车点都是中心仓库。
求满足需求的距离最小的车辆行驶路径。
问题假设
表1仓库中心坐标和需求点坐标及需求量
序号
0
1
2
3
4
5
6
7
坐标
（18,54）
（22，60）
（58，69）
（71，71）
（83,46）
（91,38）
（24,42）
（18,40）
需求量
0
0.89
0.14
0.28
0.33
0.21
0..41
0.57
1•现实生活中中心仓库以及各个需求点之间军事直线连接，两点之间距离即为坐标系中两点坐标间距离。
2•不因天气及失火等原因车辆停止运输。
3•每个需求点由一辆车供应货物。
三、符号说明
k
配送货物车辆数
l
需求点个数
gi
货物需求量
qk
配送货物车辆的容量
Cj
从点i到j的距离
yki
需求点i由k车配送
Xijk
车k从i行驶到j
四、问题分析
4.1算法分析
车辆路径问题（VRP可以描述为有一个中心仓库，拥有K辆车，容量
分别为q'k=1,2,…，K），负责向L个需求点配送货物，货物需求量为
gi（i=1,2,…，L），且maxg^maxqk；cij表示从点i至Uj的距离。
求满足需求的距离最小的车辆行驶路径。
将中心仓库编号为0，需求点编号为1，2，…，L。
数学模型为：
minZ=、、、CjXjk
ijk
s.t.giykiXk,—k
i
、yki7i=1,2,,L
k
'Xijk二ykj,j=0,1,丄；—k
i
'Xjk=yki,i=0,1,丄；—k
X=（Xjk）S
Xjk=0或1,i,j=0,1,丄；-kyki=0或1,i=0,1,丄；-k
其中,
需求点i由k车配送1车k从i行驶驶j
否则，Xjk」0否则
k=3,qi=q2=q3=1,1=7.货物需求量
g^0.89,g^0.14,g^0.28,g^0.33,g^0.21,g^0.41,g^0.57，利用粒子群
优化算法，经过初始化粒子群，将初始的适应值作为每个粒子的个体最优解，并
寻找子群内的最优解以及全局的最优解。
重复以上步骤，直到满足终止条件。
4.2举例具体演算分析
例如,设VRP问题中发货点任务数为7,车辆数为3,若某粒子的位置向量X为：
发货点任务号：
1234567
XV：
1222233Xr:
1431221
则该粒子对应解路径为：
车1:
0—1—0
车2:
0—4—5—3—2—0
车3:
0—7—6—0
粒子速度向量V与之对应表示为Vv和Vr
该表示方法的最大优点是使每个发货点都得到车辆的配送服务，并限制每个发货点的需求仅能由某一车辆来完成，使解的可行化过程计算大大减少Z虽然该表示方法的维数较高，但由于PSO算法在多维寻优问题有着非常好的特性，维数的增加并未增加计算的复杂性，这一点在实验结果中可以看到
五、模型的建立与求解
在本题中，需要分别计算以下几个内容，计算需求点与中心仓库及各需求点间距离，利用粒子群优化算法，求出函数的全局最优位置和最后得到的优化极值。
5.1需求点与中心仓库及各需求点间距离
利用直角三角形勾股定理，求斜边长度。
AX’yJ,B（x2,y2），直角坐标系
中求A,B两点之间距离ABf（y2-yj2（x2-x1）2
距离
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
7.2111
42.72
55.66
65.49
74.733
13.416
14
1
7.2111
0
37.108
50.22
62.586
72.422
18.111
20.396
2
42.72
37.108
0
13.153
33.971
45.277
43.417
49.406
3
55.66
50.22
13.153
0
27.731
38.588
55.227
61.4
4
65.49
62.586
33.971
27.731
0
11.314
59.135
65.276
5
74.733
72.422
45.277
38.588
11.314
0
67.119
73.027
6
13.416
18.111
43.417
55.227
59.135
67.119
0
6.3246
7
14
20.396
49.406
61.4
65.276
73.027
6.3246
0
5.2粒子群优化算法
5.2.1算法实现过程
步骤1初始化粒子群
1粒子群划分成若干个两两相互重叠的相邻子群；
2每个粒子位置向量Xv的每一维随机取1〜K（车辆数）之间的整数，Xr的每一维随机取1〜L（发货点任务数）之间的实数；
3每个速度向量Vv的每一维随机取-（K-1）〜（K-1）（车辆数）之间的整数,Vr的每一维随机取-（L-1）〜（L-1）之间的实数；
4用评价函数Eval评价所有粒子；
5将初始评价值作为个体历史最优解Pi,并寻找各子群内的最优解Pl和
总群体内最优解Pg
步骤2重复执行以下步骤，直到满足终止条件或达到最大迭代次数
1对每一个粒子，计算Vv、Vr；计算Xv、Xr,其中Xv向上取整；当V、
X超过其范围时按边界取值
2用评价函数EvaI评价所有粒子；
3若某个粒子的当前评价值优于其历史最优评价值，则记当前评价值为该历
史最优评价值，同时将当前位置向量记为该粒子历史最优位置Pi;
4寻找当前各相邻子群内最优和总群体内最优解，若优于历史最优解则更新
PI、Pg
5.2.2针对本题
0表示中心仓库,设车辆容量皆为q=1.0,由3辆车完成所有任务，初始化
群体个数n=40;惯性权重w=0.729;学习因子c1=c2=1.49445;最大代数
MaxDT=50;搜索空间维数（未知数个数）D=7;
算法得到的最优值的代数及所得到的最优解，预计迭代次数50,共进行20次运算
运算次数1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总距离
217.81
230.41
217.81
217.813
£3.04
217.81
303.04
217.81
217.81
230.41
运算次数1
1
12
13
14
15
16
17
18
19
20
总距离
217.81
217.81
230.41
217.81:
>17.81
217.81
217.81
217.81
217.81
217.81
从实验结果分析，15次达到已知最优解，得到的最优总路径为:
0r7-6_0-1-0-2-3-4-5_0
对应的行车路线为：
车辆一：
0》7》6》0
车辆二：
0》1》0
车辆三:
0>2>3>4>5>0
行车总距离217.81
粒子群优化算法达到最优路径50次的代数
7
23
2
17
7
17
13
7
41
19
28
11
33
14
21
23
11
71
82
24
13
58
36
20
10
3
8
5
65
35
9
2
15
76
25
67
30
55
9
29
21
6
38
9
43
148
1
29
3
79
六、模型的评价
粒子群优化算法结果分析
方法
达到最优
路径次数
未达最优
路径次数
达到最优路
径平均代数
达到最优路径平
均时间（S）
粒子群
50
0
28.36
3.04
分析PSO方法,可以看出它与GA等其他演化算法的最大不同在于
1）迭代运算中只涉及到初等运算，且运算量非常少；
2）每个粒子能直接获取群体历史经验和个体历史经验，比在其他方法中使用精
英集（elitism）的方法更有效；
3）整个粒子群被划分为几个的子群，且子群之间有一定重叠，从而使收敛于局部最优解的几率大大减少L
正因为如此，本文将PSO应用于带时间窗车辆路径问题求解中，取得了很好的效果，有着运算速度快、解的质量与个体数目相关性小、所获得的解质量高等诸多优点
七、模型的改进和推广
7.1模型的改进
针对粒子群优化算法存在的问题，提出了一种新的改进算法—基于粒子进化的多粒子群优化算法。
该算法采用局部版的粒子群优化方法，从“粒子进化”和“多种群”两个方面对标准粒子群算法进行改进。
多个粒子群彼此独立地搜索解空间，保持了粒子种群的多样性，从而增强了全局搜索能力而适当的“粒子进化”可以使陷入局部最优的粒子迅速跳出，有效的避免了算法“早熟”，提高了算法的稳定性。
将基于粒子进化的多粒子群优化算法用于求解非线性方程组。
该算法求解精度高、收敛速度快，而且克服了一些算法对初值的敏感和需要函数可导的困难，能较快地求出复杂非线性方程组的最优解。
数值仿真结果显示了该算法的有效性和可行性，为求解非线性方程组提供了一种实用的方法。
7.2模型的推广作为物流系统优化中的重要一环，合理安排车辆路径、进行物流车辆优化调度可以提高物流经济效益、实现物流科学化。
粒子群算法在多维寻优中有着非常好的特性，加入“邻居算子”的粒子群算法能使算法更好的全局寻优。
本文的研究表明，改进局部办粒子群算法，能过有效地解决车辆路径问题。
八、参考文献
[1]
李军,郭耀煌.物流配送车辆优化调度理论与方法
[M].北京:
中国
物资出版社,2001.
.计
[2]马炫，彭芃，刘庆.求解带时间窗车辆路径问题的改进粒子群算法算机工程与应用，2009，45（27）：
200-202
[3]姜启源，《数学建模》，高教出版社，2000年
附录
需求点与中心仓库及各需求点间距离
c=[];zuobiao=[1854
2260
5869
7171
8346
9138
2442
1840];
fori=1:
8
forj=1:
8
c（i,j）=sqrt（（zuobiao（j,2）-zuobiao（i,2））A2+（zuobiaoQ,1）-zuobiao（i,1））
A2）;
end
end
c
粒子群优化算法求解
主算法
clearall;
clc;
formatlong;
%给定初始化条件
c1=1.4962;
%
学习因子1
c2=1.4962;
%
学习因子2
w=0.7298;
%
惯性权重
MaxDT=50;
%
最大迭代次数
D=7;
%
搜索空间维数（未知数个数）
N=40;
%
初始化群体个体数目
%初始化种群的个体（可以在这里限定位置和速度的范围）
fori=1:
N
forj=1:
D
是向离它最近的大整数圆整
x1（i,j）=ceil（3*rand（））;%随机初始化位置ceil
x2（i,j）=ceil（7*rand（））;
v1（i,j）=2*（2*rand（）-1）;%随机初始化速度%v2（i,j）=6*（2*rand（）-1）;
end
end
%先计算各个粒子的适应度，并初始化Pbest和gbest
fori=1:
N
y1（i,:
）=x1（i,:
）;
y2（i,:
）=x2（i,:
）;
pbest（i）=fitness（y1（i,:
）,y2（i,:
）,D）;
end
pg1=x1（1,:
）;%Pg为全局最优
pg2=x2（1,:
）;
fori=2:
N
iffitness（x1（i,:
）,x2（i,:
）,D）pg1=x1（i,:
）;
pg2=x2（i,:
）;
gbest=fitness（pg1,pg2,D）;
end
end
%进入主要循环，按照公式依次迭代，直到满足精度要求
fort=1:
MaxDT
fori=1:
N
v1（i,:
）=w*v1（i,:
）+c1*rand*（y1（i,:
）-x1（i,:
））+c2*rand*（pg1-x1（i,:
））;
x1（i,:
）=x1（i,:
）+v1（i,:
）;
x1（i,:
）=ceil（x1（i,:
））;
forj=1:
D
ifx1（i,j）<1
x1（i,j）=1;
end
ifx1（i,j）>3
x1（i,j）=3;
end
end
forj=1:
D
x2（i,j）=ceil（7*rand（））;
end
iffitness（x1（i,:
）,x2（i,:
）,D）y1（i,:
）=x1（i,:
）;
y2（i,:
）=x2（i,:
）;
pbest（i）=fitness（y1（i,:
）,y2（i,:
）,D）;
end
ifpbest（i）pg1=x1（i,:
）;
pg2=x2（i,:
）;
end
end
end
%最后给出计算结果
disp（'disp（'函数的全局最优位置为：
'）
Solution1=pg1
Solution2=pg2disp（'最后得到的优化极值为：
'）
Result=fitness（pg1,pg2,D）
disp（'
*************************************************************1
辅助算法
functionresult=fitness（x1,x2,D）;
aa=[infinfinfinfinfinfinf];bb=[infinfinfinfinfinfinf];cc=[infinfinfinfinfinfinf];
fori=1:
D
ifx1（i）==1
aa（i）=x2（i）;
elseifx1（i）==2bb（i）=x2（i）;
elsecc（i）=x2（i）;
end
endendresult=f（cc）+f（bb）+f（aa）;辅助算法二functionff=f（x）;
loadc.matsum=0;
[yind]=sort（x）;fori=1:
7
ify（i）==inf
j=i-1;break;
elsej=7;
end
end
ifj<1
sum=inf;
elseifj==1sum=sum+2*c（1,ind（j）+1）;
elsesum=sum+c（1,ind（j）+1）+c（1,ind
（1）+1）;fori=1:
j-1sum=sum+c（ind（i）+1,ind（i+1）+1）;end
end
end
ff=sum;
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