全国二卷理科数学高考真题及答案.docx
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全国二卷理科数学高考真题及答案
2016年全国高考理科数学试题全国卷2
、选择题：
本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、已知z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）
A.（31）B.（-,3）C.（1,+7D.（-a3）-
2、已知集合A={1,2,3},B={x|（x+1）（xH2）<0,x€Z},则AUB=（）
A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-,0,1,2,3}
3、已知向量a=（1,m）,b=（3,-2），且（a+b）丄b，贝Um=（）
A.48B.-6C.6D.8
4、圆x2+y242x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-=0的距离为1,贝Ua=（）
43-
A.-3B.—C.：
3D.2
G处的老年公寓参加志愿者活
5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）
A.24B.18C.12D.9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A.20nB.24nC.28nD.32n
n
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移石个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
knnknnknnknn
A.x=y-6（k€Z）B.x=^+6（k€Z）C.x=y-2（k€Z）D.x^^+^（k^Z）
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左
3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图，若输入的
x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5，则输出的s=（）
10、从区间［0,1］随机抽取2n个数X1,X2,…，xn,y1,y2,…，yn，构成n个数对（X1,y1）,（X2,y2）,…，（xn,yn），其
率为（）
D.2
m
（Xiy）
i1
B.m
C.2m
D.
4m
二、填空题：
本大题共
4小题，每小题5分
13、△ABC的内角A,
B,C的对边分别为
cosC=53,a=1,贝yb=
14、a
B是两个平面,
n是两条直线,
有下列四个命题:
（1）如果m丄n,m丄a,
n//
3,那么a丄伎
（2）如果m丄a,
n//
a,那么m丄n。
（3）如果all3,m?
a,
那么
m//3。
m与a所成的角和n与3所成的角相等。
（填写所有正确命题的编号15、有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：
我
的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，贝Ub=
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本题满分12分）Sn为等差数列｛an｝的前n项和，且a1=1,S7=28。
记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大
整数,如[0.9]=0,[Ig99]=1.
（1）求b1,bn,b101；
⑵求数列｛bn｝的前1000项和.
18、（本题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年
度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
>5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
[]
一年内出险次数
0
1
2
3
4
>5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19、（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E、F分别在AD、CD
5
上，AE=CF^,EF交BD于点比将厶DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'p0.
（1）证明：
D'H丄平面ABCD;
（2）
求二面角B-D'A-C的正弦值.
M两点，点N在E上，MA丄NA.
（1）当t=4,|AM|=|AN|时，求△AMN的面积;
⑵当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.
21、（本小题满分12分）
（1）讨论函数f（x）=X+|ex的单调性，并证明当x>0时，（x-2）ex+x+2>0;
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、（本小题满分10分）［选修4-:
几何证明选讲］如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DQ过D点作DF丄CE垂足为F.
（1）证明：
B,C,G,F四点共圆；
⑵若AB=1,E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
23、（本小题满分10分）［选修4坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
⑴以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
X=tCOSa、.t—
⑵直线I的参数方程是y=tsin（a为参数），1与C交于A,B两点，|AB|=.10,求I的斜率.
24、（本小题满分10分）［选修4吒：
不等式选讲］已知函数f（x）=|xg|+|x+*|,M为不等式f（x）＜2的解集
（1）求M;
（2）证明：
当a,b€M时，|a+b|<|1+ab|
参考答案
1、解析：
二m+3>0,m-<0,二-2、解析：
B={x|（x+1）（xt2）<0,x€Z}={x|-3、解析：
向量a+b=（4,m詔，•/（a+b）丄b,二（a+b）b=10E（m42）=0，解得m=8，故选D.
2222|a+44
4、解析：
圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为：
（x-1）2+（y-4）2=4,故圆心为（1,4）,d==1，解得a=—,
a+13
故选A.
5、解析一：
E^F有6种走法，F^G有3种走法，由乘法原理知，共6X3=1种走法，故选B.
解析二：
由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C2条路，再从F处到G处最短共有G条路，则小明到
老年公寓可以选择的最短路径条数为C4c；=18条，故选B。
6、解析：
几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为I，圆柱高为h.
1
由图得r=2,c=2nr=4n由勾股定理得：
|722+（2萌）2=4,S表=”2+少+尹=4n+16n+8n=28故选C.
jnjnjn
7、解析：
由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移石个单位得y=2sin2（x+^）=2sin（2x+@，则平移后函数的对称轴为2x+n=n+knk€Z,即x=n+k：
n，k€Z,故选B。
6262
8、解析：
第一次运算：
s=0X2+2=2第二次运算：
s=2X2+2=6第三次运算：
s=6X2+5=17故选C.
解法二：
对COsG-a3展开后直接平方
解法三：
换元法
10、解析：
由题意得：
（xi,yi）（i=1，2，3，...，n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中
n4m4m
由几何概型概率计算公式知亍n，「寸故选C
x+11
12、解析：
由f（之）=2-（x）得f（x）关于（0,1）对称，而y=u=1+x也关于（0,1）对称,
对于每一组对称点x+x'i=O,yi+y'i=2,
14、解析：
对于①，m丄n,m丄an//B,则a,B的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为n//，所以过直线n作平面丫与平面B相交于直线c,贝Un//c,因为m丄a,^m丄c,•m±n,故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④
15、解析：
由题意得：
丙不拿（2,3）,若丙（1,2），则乙（2,3）,甲（1,3）满足；若丙（1,3）,则乙（2,3）,甲（1,2）不满足;
故甲（1,3）,
1一
16、解析：
y=lnx+2的切线为：
y=—x+lnx1+1（设切点横坐标为X1）
x
1_1
1X2X1X2+1
y=ln（X+1）的切线为：
y=X2+1x+ln（x2+1）—+1•X2
Inx1+1=ln（X2+1）-2+1
•b1=[lga1]=[lg1]=0,bn=[lgan]=[lg11]=1,b101=[lga101]=[lg101]=2.
（2）记｛bn｝的前n项和为Tn，贝VT1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000].
当0（2）设续保人保费比基本保费高出
P（AB）0.10+0.053
60%为事件B,P（B|A）=p（A）=0.55=石
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
⑶解：
设本年度所交保费为随机变量X.
平均保费EX=0.85aX0.30+0.15a+1.25ax0.20+1.5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05=1.23a
•平均保费与基本保费比值为1.23.
5
19、解析：
⑴证明：
如下左1图，•/AE=CF=f,
•时EF〃AC.
•••四边形ABCD为菱形，•AC丄BD,•EF±BD,
•••EF±DH,•••EF±D'H.
AE
•/AC=6,•AD=3;又AB=5,AO丄OB,•OB=4,••OH=aoOD=1,•DH=D'H=3,•|OD'|2=|OH|2+|DH|2,•-D'H丄OH.
AO
又•••OHHEF=H,•D'H丄面ABCD.
5515
（2）方法一、几何法：
若AB=5,AC=6,则AO=3,B0=OD=4,•/AE=4,AD=AB=5,•DE=5-4=^,
DEEHDH15/4399
•/EF//AC•一=一===一，•-EH=—,EF=2EH=,DH=3,OH=4H3=1,
AC,ADACOD54，4，2'，
•/HD'DH=3,OD'2'.2,•满足HD'^OD'+OH2，则△OHD'为直角三角形，且OD'丄OH,即OD'丄底面ABCD,即OD'是五棱锥D'ABCFE的高.
9
（二+6）XI
底面五边形的面积
c1（EF+AC）OH1'22169
S=2XA©B+=^X6X4+2=12+—,
则五棱锥D'ABCFE体积
OD'3X^x2=23护
C（1,3,0）,D'（0,0,3）,A（1,£,0）,
方法二、向量法。
建立如下左2图坐标系H-cyz.B（5,0,0）,
•向量AB=（4,3,0）,AD'=（-,3,3）,AC=（0,6,0）,
设面ABD法向量n1=（x,y,z）,由
n1AB=0/曰
n1AD'=0得
4x+3y=0
-c+3y+3z=0,
x=3
y=Z,•n1=（3,Y,5）.
z=5
同理可得面AD'C的法向量n2=（3,0,1）,
|9+5|乙臣..95…sin0二"。
25
n1n2
9+5
•|COS°1丽n2|=5迈五=
25，
20、解析：
22
xy
（1）当t=4时，椭圆E的方程为壬+空=1,A点坐标为（20），则直线AM的方程为y=k（x+2）.
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，（3+4k2）x2+16k2x+16k2T2=0。
8r2_612
则|AM|=仲品严|=屮+?
亦。
解得x=-2或
8k2-6
x=—2,
3+4k2'
•/AM丄AN,
•|AN|=寸1+（-）2・12〔=Qi+?
■124。
3+4•h3|k|+不
•••|AM|=|AN|
1212
k>0,•••Qi+?
j3+4k2=Ji+?
—4，整理得（k-）（4k2*T）=0,
3k+k
4k2-k+4=0无实根，•k=1.
1112144
所以△AMN的面积为》AM|2=；（,1+1焉）2=；9"
⑵直线AM的方程为y=k（x+.t）,
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，（3+tk2）/+2t.tk2x+t2k2-3t=0。
解得x=-.t或x=~t
3+tk2，
•-|AM|=■,1+k2|_3+tk3'」=1+k23+^，•|AN|=.1+k2^j
3kS
■/2|AM|=|AN|,•2-1+k23+^2=.1+k2，整理得，t=6；「
3k+k
•••椭圆E的焦点在x轴，•t>3，即劈>3,整理得气罟<0,解得32x-~2x~24x2e^
21、解析：
⑴证明：
f（x）=x；2ex,「伦）=锂忑+芮）=百。
•.•当x€（-82）1-（-,+8）时，f（x）>0,•f（x）在（-a2）和（2+s）上单调递增。
x-2
•x>0时，x+2ex>f（0）=T，•（x^2）ex+x+2>0o
产-X
（2）曲）=3-浮…今心严）呼呵a€[0,1）。
x4
x4
x-2t-2
由
（1）知，当x>0时，f（x）=x+2ex的值域为（-1,+8只有一解•使得t+2et="a，t€（0,2］。
当x€（0,t）时g'（x）<0,g（x）单调减；当x€（t,+〜时g'（x）>0,g（x）单调增
tt~2t
etat+1）e+（t+1）丘eW
h（a）=t2=t2=t+2。
记k（t）=t+2，在t€（0,2］时，k'（t）=
eWt+1）1e2
^J+2j^>0，•k（t）单调递增，•h（a）=k（t）€（2,4］.
DFCF
22、解析：
⑴证明：
TDF丄CE二RtADE®RtACED,•••上GDF=/DEF=ZBCF,DG=BC°
•/DE=DQCD=BCDG=CC°二△GDF^ABCF,/•ZCFB=ZDFG
•••/GFB=ZGFC+ZCFB=/GFC+ZDFG=ZDFC=90,°「・ZGFB+ZGCB=180//•B,C,G,F四点共圆.
⑵•/E为AD中点,AB=1,
1111
•DG=CG=DE=,•••在RIAGFC中，GF=GC连接GB,RtABCG^RtABFG,•S四边形bcgfZS^bcg=2%X1j=2.
23、解：
（1）整理圆的方程得x+y2+12x+11=0,
由p=x2+y2>pcos0=xpsin0可知圆C的极坐标方程为p+12pcos0+11=0
（2）记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,
V1111V111»
24、解析：
（1）当x<-2时，f（x）=2-c--2=-2x,若-1?
时，f（x）=2x,
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