六年级思维专项训练22图论原卷+解析.docx

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六年级思维专项训练22图论原卷+解析

六年级思维训练22图论

1、今有9盆菊花要在平地上摆成九行，其中每盆花都有三行通过，而且每行都通过三盆

花，问应该怎样摆法才行？

请你给出一种设计方案．（画图时用点表示花，用直线表示行）

2、下图中小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的数字

表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量．现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是．

3、某花园的小径如下图所示．一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走

过所

有小径？

如果能，请标出所经过各点的顺序

（如：

1→2→3→…→1）．如果不能，请标出至少必须重复的小径（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．

4、如下图所示，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼

成一个大正方

形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是

厘米．

5、

某城市的交通系统由若干个路口（下图中线段的交点）和街道（下图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在

图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件．要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线．可以使得自己走过最短的总长度是。

6、明明、冬冬、兰兰、静静、思思、毛毛六人参加晚会．见面时每两人都要握一次手，当明明握了5次手，冬冬握了4次手．兰兰握了3次手，静静握了2次手，思思握了一次手，毛毛握了

次手．

7、

六个人传球，每

两人之间至多传一次．

那么这六个人最多共进行次传球．

8、有1007个花坛．其中任意两个花坛所在

位置的正中间都必须安装一个喷水龙头，那么

通过合理安排花坛的位置．最少安装多少个喷水龙头就够用了？

（花坛大小忽略不计）

9、若干台电脑联网，要求：

①任意两台间最多由一条电缆连接；

②任意三台间最多由两条电缆连接；

③两台电脑间如果没有电缆连接．则必须有另一台电脑和它们都连接有电缆，若按此要求最少有79条电缆．问：

（1）这些电脑的台数是多少台？

（2）这些电脑按要求联网，最多可以连多少条电缆？

10、平面上7个点，它们之间可以连接一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相

连．问最少要连几条线段？

证明尔的结论．

11、有一个三十人的议会，其中每两人要么是敌人，要么是朋友．已知每个人都恰好有6个敌人．现将这三十人中的任意三个人都组成一个

委

员会，如果某委员会中的三

人两两都是朋友，或两两都是敌人，则将该委员会称为“好委员会”求所有“好委员会”数量的最大值．

六年级思维训练22图论

参考答案

1、今有9盆菊花要在平地上摆成九行，其中每盆花都有三行通过，而且每行都通过三盆

花，问应该怎样摆法才行？

请你给出一种设计方案．（画图时用点表示花，用直线表示行）

解：

【答案】（如下图）

2、下图中小黑格

表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的数字

表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量．现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是．

【答案】17

【分析】

方法一：

经观察。

到结点B的信息流必然经

过E或D．经过E到B的信息流最大为7

（BE所能承载的最大信息流）．从D到B的信

息流最大为10（DB所能承载的最大值与DFB

所能承载的最大值之和）．所以最大信息量为17．

方法二：

从A到B有三条路线．分别是：

．A—C—D—B．A—C—D—F—B，A—C—E—B，每条路线上的最小数为此路线单位时间传递的最大信息量_所以最大信息量为4+7+6=l7．

3、某花园的小径如下图所示．一个人能不能从图中第1个点的位置出发

，不重复地走过所

有小径？

如果能，请标出所经过各点的顺序（如：

1→2→3→…→1）．如果不能，请标出至少必须重复的小径（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．

【分析】必须重复的小径有三段。

一个人不可能从图中的第1个点的位置出发．

不重复地走过花园的所有小径．至少必须重

复的小径有3→4,5→6，7→8三段．

说明：

这是“一笔画”问题．我们知道，

任何平面图形都是由点和线组成的，图形中的点分为两类：

凡是从这个点出发的线的数目是偶数的叫做偶点；凡是从这点出发的线的数目是奇数的叫做奇点．解决“一笔画”问题有三条规律：

（1）凡是仅由偶点组成的图形-一定可以一笔画；画时也可以从任何一个偶点出发，最后又回到这个点．

（2）凡是只有两个奇点的图形，也一定可以一笔画；画时只需从某个奇点出发，以另一个奇点为终点．

（3）非以上两种情况的图形，均不能一笔画．如果不能一笔画的图形有2n个奇点（n是大于1的自然数），我们采用添加n一1条连接对对奇点的线（或重复画这力一1条）的做法，使得新图形可以一笔画．这就是解决本题的思路．

另外，本题实质上可以转化为（如图b）一笔画的简单情况：

这里有2×4

=8（个）奇点，即1、

2、3、4.5

、6、7、8，我们只需加3→4，5→6，7→8这三条弧线（如图c），很容易验证图b可以一笔画，如1→9→10→6→5→12→11→9→8→7→10→12→4→3→11→2．最后只需从第2点出发沿花园的边界画一个整圆，再回到2个点，就是原来问题的解答了．因此，重复的小径至少有三段弧．

还应指出，本题的解答不是唯一的．事实上．重复2→3，4→5，6→7三段弧，也可以画出图c，如1→9→10→6→7→10→12→4→5→12→11→2→3→11→9→8.

4、如下图所示，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大

正方

形．从中去掉一

些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是

厘米．

【答案】7

【分析】有八个奇点，需要去掉三条

边剩余两个奇点．

无论去掉两条长度为3的和一条为1

的，还是去掉一条长度为5的和两条为1的，总相为7．

5、

某城市的交通系统由若干个路口（下图中线段的交点）和街道（下图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件．要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线．可以使得自己走过最短的总长度是。

解：

【答案】46

【分析】根据一笔画的有关概念，

道路图中有6个奇点．邮递员不可能不重复地走遍

所有街道并返回邮局．但可以对道路图作一些处理，

相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如

下图：

总路程为3×10+2×8=46．

6、明明、冬冬、

兰兰、静静、思思、毛毛六人参加晚会．见面时每两人都要握一次手，当明明握了5次手，冬冬握了4次手．兰兰握了3次手，静静握了2次手，

思思握了一次手，毛毛握了次手．

解：

【答案】3

【分析】先分析明明，他握了5次手，即他与所有人都握了手，这样，排除与明明的握手后，

冬冬与其他人握手3次，兰兰2次，静静1次，思思一次都没有．然后分析思思，她跟明明之外的所有人都没握手，所以冬冬与明明思思之外的其他人握手3次，兰兰2次，静静1次，再用同样方式依次分析冬冬、静静、兰兰，即可得出毛毛握了3次手．

7、六个人传球，每两人之间至多传一次．那么这六个人最多共进行次传球．

【答案】3

【分析】如右图所示，我们记两人之间传一次球，就在两人之间连一条线段，接下来是在完全图一笔画分析，完全图有6个奇点，必须最少减去2条线段，才能一笔画出，

-2=13次．共

8、有1007个花坛．其中任意两个花坛所在位置的正中间都必须安装一个喷水龙头，那么

通过合理安排花坛的位置．最少安装多少个喷水龙头就够用了？

（花坛大小忽略不计）

【答案】2011

【分析】选择一条直线，它不和任何两个花坛的连线垂直（因为直线有无穷多个方向，所以总能选出），把所有的花坛和喷水龙头投影到这条直线上，则花坛仍然有1007个．且喷水龙头数目不增加，

设花坛从一头起依次为P1．P2．…．P1007.则把所有的喷水龙头按照下列方式进行分组：

Pl和P2的中点；

Pl和P3的中点；

Pl和P4的中点.P2和P3的中点；

Pl和P5的中点

．P2和P4的中点：

Pl和P6的中点．P2和P5的中点．P3和P4的中点：

Pl和P1006的中点．P2和P1005的中点，…．P503和P504的中点：

Pl和P1007的巾点．P2和P1006的中点．…．P503和P505的中点；

P2和Pl007的中点．P3和Pl006的中点．…．P504和P505的中点；

Pl006和P1007的中点．

每一行的第一个喷水龙头互不重合．共有2011行，所以至少共有2011个喷水龙头，另一方面，如果等间隔排列，则显然每一行的全部重合，所以所求最小值为2011.

9、若干台电脑联网，要求：

①任意两台间最多由一条电缆连接；

②任意三台间最多由两条电缆连接；

③两台电脑间如果没有电缆连接．则必须有另一台电脑和它们都连接有电缆，若按此要求

最少有79条电缆．问：

（1）这些电脑的台数是多少台？

（3）这些电脑按要求联网，最多可以连多少条电缆？

解：

【答案】（l）80：

（2）1600

【分析】将机器当成点，连接的电缆当成线．我们就得到一个图．如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其他的点，这样的图就称为连通的图．条件③表明图是连通图

我们看一看几个点的连通图至少有多少条线．可以假定图没有圈（如果有圈，就在圈上去掉一条绂）．从一点出发．沿线前进，已走过的点不再重复．那么走若干步后，必然走到一个点，不能

再继续前进，将这一点与连接这点的线去掉，考虑剩下的n-l个点的图，它仍然是连通的，用同样的办法又可去掉一个点及一条线．这样继续下去．最后只剩下一个点．因此

n个点的连通图至少有n-l条线（如果有圈，线的条数就会增加）．并且从一点A向其他n-1个点各连一条线，这样的图恰好有n-1条线．

因此，

（1）的答案是，n=79+1=80．并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网

下面看看最多连多少条线，

在这80个点（80台计算机）中，设从A1引出的线最多，有k条，与A1相连的点是B1,B2，…，Bk，由于条件②．B1,、B2,、…、Bk。

之间没有线相连

设与A1不相连的点是A2、A3、…、Am。

．则m+k=80

而A2、A3、…、Am。

每一点至多引出k条线，图中至多有mk条线．因为

4×m×k=（m+k）²-（m-k）²

（m+k）²

所以，m×k≤1600即连线不超过1600条

另外，设80个点分为两组：

A1,A2,…,A40；B1．B2，…,B40，第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求．共有40×40=1600条线，因此，最多可连1600条线．

10、平面上7个点，它们之间可以连接一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相

连．问最少要连几条线段？

证明尔的结论．

【答案】9

【分析】下图7点间连有9条线段且满足题中要求，故知所求的最小值不大于9．下面证明在满足要求的连线图中，至少要9条线段．

（1）如果存在一点A至多引出1条线段，则不与A相连的5点中，每两点之间都有连线-共有10条线．

（2）如果每点至少引出两条线段且点A恰引出两条线段AB、AC，则不与A相连的4点之间应有6条线段．点B至少要另外引出1条线，总共至少9条线．

（3）若每点至少有3条线，则7点共引出至少21条线，这时每条线段恰被计数两次，所以连线图中至少有11条线．

综上可知，最少要连9条线段．

11、有一个三十人的议会，其中每两人要么是敌人，要么是朋友．已知每个人都恰好有6个敌人．现将这三十人中的任意三个人都组成一个委员会，如果某委员会中的三人两

两都是朋友，或两两都是敌人，则将该委员会称为“好委员会”求所有“好委员会

”数量的最大值．

【答案】1990

【分析】将好委员会的全体记为X，所有其他的委员会所成的集合记为Y．集X和Y中的元素个数分别记为x和y，于是

z+y=

=4060①

对任一议员a，记有a参加的所有委员会所成的集合记为

，在

中，另两人同时为a的朋友或者敌人的委员会总数为

．对于30位议员来说．这种委员会共有268×30=8040个．显然，在这个计数过程中．X中的每个委员会被计数3次．而y中的委员会则仅被计数1次，

故有3x+y=8040②

将①与②联立得1990．