六年级思维专项训练22图论原卷+解析.docx

1、六年级思维专项训练22 图论原卷+解析 六年级思维训练22 图论1、今有9盆菊花要在平地上摆成九行，其中每盆花都有三行通过，而且每行都通过三盆花，问应该怎样摆法才行？请你给出一种设计方案（画图时用点表示花，用直线表示行）2、下图中小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是 3、某花园的小径如下图所示一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序（如：1231）如果不能，请标出至少必须重复的小径（如12，23，89或11

2、12等等） 4、如下图所示，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大正方形从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是 厘米 5、某城市的交通系统由若干个路口（下图中线段的交点）和街道（下图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）一名邮递员传送报纸和信件要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）他合理安排路线可以使得自己走过最短的总长度是 。 6、明明、冬冬、兰兰、静静、思思、毛毛六人参加晚会见面时每两人都要握一次手，当明明握了5次手，

3、冬冬握了4次手兰兰握了3次手，静静握了2次手，思思握了一次手，毛毛握了 次手7、六个人传球，每两人之间至多传一次那么这六个人最多共进行 次传球8、有1007个花坛其中任意两个花坛所在位置的正中间都必须安装一个喷水龙头，那么通过合理安排花坛的位置最少安装多少个喷水龙头就够用了？（花坛大小忽略不计）9、若干台电脑联网，要求：任意两台间最多由一条电缆连接；任意三台间最多由两条电缆连接；两台电脑间如果没有电缆连接则必须有另一台电脑和它们都连接有电缆，若按此要求最少有79条电缆问： (1)这些电脑的台数是多少台？(2)这些电脑按要求联网，最多可以连多少条电缆？10、平面上7个点，它们之间可以连接一些线段

4、，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连问最少要连几条线段？证明尔的结论 11、有一个三十人的议会，其中每两人要么是敌人，要么是朋友已知每个人都恰好有6个敌人现将这三十人中的任意三个人都组成一个委员会，如果某委员会中的三人两两都是朋友，或两两都是敌人，则将该委员会称为“好委员会” 求所有“好委员会”数量的最大值 六年级思维训练22 图论参考答案1、今有9盆菊花要在平地上摆成九行，其中每盆花都有三行通过，而且每行都通过三盆花，问应该怎样摆法才行？请你给出一种设计方案（画图时用点表示花，用直线表示行）解：【答案】（如下图）2、下图中小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的

5、数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是 【答案】17【分析】方法一：经观察。到结点B的信息流必然经过E或D经过E到B的信息流最大为7(BE所能承载的最大信息流)从D到B的信息流最大为10(DB所能承载的最大值与DFB所能承载的最大值之和)所以最大信息量为17方法二：从A到B有三条路线分别是：ACDBACDFB，ACEB，每条路线上的最小数为此路线单位时间传递的最大信息量_所以最大信息量为4+7+6=l73、某花园的小径如下图所示一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序（如：

6、1231）如果不能，请标出至少必须重复的小径（如12，23，89或1112等等）【分析】必须重复的小径有三段。一个人不可能从图中的第1个点的位置出发不重复地走过花园的所有小径至少必须重复的小径有34,56，78三段 说明：这是“一笔画”问题我们知道，任何平面图形都是由点和线组成的，图形中的点分为两类：凡是从这个点出发的线的数目是偶数的叫做偶点；凡是从这点出发的线的数目是奇数的叫做奇点解决“一笔画”问题有三条规律： (1)凡是仅由偶点组成的图形-一定可以一笔画；画时也可以从任何一个偶点出发，最后又回到这个点 (2)凡是只有两个奇点的图形，也一定可以一笔画；画时只需从某个奇点出发，以另一个奇点为终

7、点 (3)非以上两种情况的图形，均不能一笔画如果不能一笔画的图形有2n个奇点（n是大于1的自然数），我们采用添加n一1条连接对对奇点的线（或重复画这力一1条）的做法，使得新图形可以一笔画这就是解决本题的思路 另外，本题实质上可以转化为（如图b）一笔画的简单情况：这里有24=8（个）奇点，即1、2、3、4.5、6、7、8，我们只需加34，56，78这三条弧线（如图c），很容易验证图b可以一笔画，如1910651211987101243112最后只需从第2点出发沿花园的边界画一个整圆，再回到 2个点，就是原来问题的解答了因此，重复的小径至少有三段弧 还应指出，本题的解答不是唯一的事实上重复23，4

8、5，67三段弧，也可以画出图c，如1910671012451211231198.4、如下图所示，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大正方形从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是 厘米【答案】7【分析】有八个奇点，需要去掉三条边剩余两个奇点无论去掉两条长度为3的和一条为1的，还是去掉一条长度为5的和两条为1的，总相为75、某城市的交通系统由若干个路口（下图中线段的交点）和街道（下图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）一名邮递员传送报纸和信件要从邮局出发经过他

9、所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）他合理安排路线可以使得自己走过最短的总长度是 。 解：【答案】 46【分析】根据一笔画的有关概念，道路图中有6个奇点邮递员不可能不重复地走遍所有街道并返回邮局但可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图： 总路程为310+28=46 6、明明、冬冬、兰兰、静静、思思、毛毛六人参加晚会见面时每两人都要握一次手，当明明握了5次手，冬冬握了4次手兰兰握了3次手，静静握了2次手，思思握了一次手，毛毛握了 次手 解：【答案】3【分析】先分析明明，他握了5次手，即他与所有人都握了手，这样，排除与明明的握手后，冬冬与其他

10、人握手3次，兰兰2次，静静1次，思思一次都没有然后分析思思，她跟明明之外的所有人都没握手，所以冬冬与明明思思之外的其他人握手3次，兰兰2次，静静1次，再用同样方式依次分析冬冬、静静、兰兰，即可得出毛毛握了3次手7、六个人传球，每两人之间至多传一次那么这六个人最多共进行 次传球【答案】3【分析】如右图所示，我们记两人之间传一次球，就在两人之间连一条线段，接下来是在完全图一笔画分析，完全图有6个奇点，必须最少减去2条线段，才能一笔画出，-2=13次共8、有1007个花坛其中任意两个花坛所在位置的正中间都必须安装一个喷水龙头，那么通过合理安排花坛的位置最少安装多少个喷水龙头就够用了？（花坛大小忽略不

11、计）【答案】2011【分析】选择一条直线，它不和任何两个花坛的连线垂直（因为直线有无穷多个方向，所以总能选出），把所有的花坛和喷水龙头投影到这条直线上，则花坛仍然有1007个且喷水龙头数目不增加， 设花坛从一头起依次为P1P2P1007.则把所有的喷水龙头按照下列方式进行分组： Pl和P2的中点； Pl和P3的中点； Pl和P4的中点.P2和P3的中点； Pl和P5的中点P2和P4的中点： Pl和P6的中点P2和P5的中点P3和P4的中点： Pl和P1006的中点P2和P1005的中点，P503和P504的中点： Pl和P1007的巾点P2和P1006的中点P503和P505的中点； P2和P

12、l007的中点P3和Pl006的中点P504和P505的中点； Pl006和P1007的中点 每一行的第一个喷水龙头互不重合共有2011行，所以至少共有2011个喷水龙头，另一方面，如果等间隔排列，则显然每一行的全部重合，所以所求最小值为2011.9、若干台电脑联网，要求：任意两台间最多由一条电缆连接；任意三台间最多由两条电缆连接；两台电脑间如果没有电缆连接则必须有另一台电脑和它们都连接有电缆，若按此要求最少有79条电缆问： (1)这些电脑的台数是多少台？(3)这些电脑按要求联网，最多可以连多少条电缆？解：【答案】 (l)80：(2)1600【分析】将机器当成点，连接的电缆当成线我们就得到一个

13、图如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其他的点，这样的图就称为连通的图条件表明图是连通图 我们看一看几个点的连通图至少有多少条线可以假定图没有圈（如果有圈，就在圈上去掉一条绂）从一点出发沿线前进，已走过的点不再重复那么走若干步后，必然走到一个点，不能再继续前进，将这一点与连接这点的线去掉，考虑剩下的n-l个点的图，它仍然是连通的，用同样的办法又可去掉一个点及一条线这样继续下去最后只剩下一个点因此n个点的连通图至少有n-l条线（如果有圈，线的条数就会增加）并且从一点A向其他n -1个点各连一条线，这样的图恰好有n-1条线 因此，(1)的答案是，n=79+1=80并且将一台计算机与其他7

14、9台各用一条线相连，就得到符合要求的联网 下面看看最多连多少条线， 在这80个点（80台计算机）中，设从A1引出的线最多，有k条，与A1相连的点是B1,B2，B k，由于条件B1,、B2,、Bk。之间没有线相连 设与A1不相连的点是A2、A3、Am。则m+k=80 而A2、A3、Am。每一点至多引出k条线，图中至多有mk条线因为 4 m k=(m+k) -（m-k)（m+k） 所以，mk1600即连线不超过1600条 另外，设80个点分为两组：A1,A2,A40；B1B2，,B40，第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求共有4040=1600条线，因此，最多可连16

15、00条线10、平面上7个点，它们之间可以连接一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连问最少要连几条线段？证明尔的结论 【答案】 9【分析】 下图7点间连有9条线段且满足题中要求，故知所求的最小值不大于9 下面证明在满足要求的连线图中，至少要9条线段 (1)如果存在一点A至多引出1条线段，则不与A相连的5点中，每两点之间都有连线-共有10条线 (2)如果每点至少引出两条线段且点A恰引出两条线段AB、AC，则不与A相连的4点之间应有6条线段点B至少要另外引出1条线，总共至少9条线 (3)若每点至少有3条线，则7点共引出至少2 1条线，这时每条线段恰被计数两次，所以连线图中至少有11条线 综

16、上可知，最少要连9条线段11、有一个三十人的议会，其中每两人要么是敌人，要么是朋友已知每个人都恰好有6个敌人现将这三十人中的任意三个人都组成一个委员会，如果某委员会中的三人两两都是朋友，或两两都是敌人，则将该委员会称为“好委员会” 求所有“好委员会”数量的最大值【答案】 1990【分析】 将好委员会的全体记为X，所有其他的委员会所成的集合记为Y集X和Y中的元素个数分别记为x和y，于是 z+y=4060 对任一议员a，记有a参加的所有委员会所成的集合记为，在中，另两人同时为a的朋友或者敌人的委员会总数为对于30位议员来说这种委员会共有26830 =8040个显然，在这个计数过程中X中的每个委员会被计数3次而y中的委员会则仅被计数1次，故有 3 x+y=8040 将与联立得1990