多元函数微分学及其应用归纳总结.docx
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多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限
limf（x,y）=A（或limf（x,y）=A）的；-'定义
（x,y）「（x°,yo）P「P）
掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令P（x,y）沿y二kx趋向P（xo,yo），若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若limf（x,y）存在，但两者不相等，
（x,y）Txo，yo）
此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，
等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：
例1•用…定义证明（侧0,0）（x2+y2）sin击=0
2+2
例2（03年期末考试三、15分当X>0,y>0时，函数x2；（；2_y）2
的极限是否存在？
证明你的结论。
xy22
例3设f（x,y）=2
22,xy=0
xy，讨论limf（x,y）是否存在?
（x,y）T（0,0）3
卫，x2+y2=0
（JiH,。
）f（X,y）是否存在?
3、多元函数的连续性台（Jim）f（x,y）=f（Xo,yo）
（x，y）（X0，y0）
一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
点（0,0）不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：
有界性，最值定理，介值定理
二、多元函数的偏导数1、二元函数z=f（x,y）关于x,y的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
-：
Z
XXN）
y談
=Zxx^=fx（X0,y0）=^WS^X0^
如果极限叭
（相当于把
f（X0pX,y0）—f（X0,y0）存在，则有
y看成常数！
所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
）
如果极限|啊f（x0,y0nf（x0,y0）存在，则有
对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求
则fx（o,y）二
不连续，但存在一阶偏导数。
设Z二Xy，求Zx,Zy
（03年期末考试，一、2,3分）设u二x•（y-1）arcsinx，则宀在（1,2）
yex
的值为（）2、二元函数z二f（x,y）关于x,y的高阶偏导数（二元以上类似定义）
■2
:
Z
2
二三二—A
L、Il、Il、
:
y:
x；xy
CCZ
CCZ
点XI®j
-2
二Z
=fyy（x,y）■y
-2
:
Z
fyx（x,y
-7：
x
定理：
若两个混合二阶偏导数二土,二工在区域D内连续，则有二工
:
x：
y：
y：
x：
x「y
j2z
：
y：
：
x
例1设u二1,r二（x-a）2•（y-b）2•（z-c）2，其中a,b,c为常数，求:
r
2
:
:
u
.:
x2
2
:
:
u
z
y^2
例2.设z=（x2，y2）e9x，求一Z。
fx內
3、z=f（x,y）在点P（x,y）偏导数存在=z=f（x,y）在点P（x,y）连续（07年，
04年，02年等）
「Z—f（xy）
4、偏导数的几何意义：
fx（xo,y°）表示曲线'在点P（xo,yo,Zo）处的
ly=y。
切线与x轴正向的夹角。
三、全微分
z=f（x,y）在点P（Xo,yo）可微分的判定方法
若（jym（o‘o）
_fx（xo，yo）*fy（xo，yo）to，则可判定z=f（x,y）在点
P（xo,y。
）可微分。
其中
“=f（X。
：
x,y°y）-f（x,y）
（08年
期末考试
6分）证明函数
f（x,y）
22
（xy）sin
（y'x2y2
122,x+y
=0
在（0,0）处可微，但偏导数fx（x,y）
x2y2
=o
在（0,
0）处不连续
[.xy,X+y2^0
例2（07年期末考试七、6分）f（x,y）二x2y2，证明：
（1）
0x2+y2=0
函数在（0,0）处偏导数存在；
（2）函数在（0,0）处不可微。
2、全微分的计算方法
若z=f（x,y）在P（xo,yo）可微，则有dz二fx（Xo,y°）dxfy（Xo,y°）dy其中fx（x°,y°）,fy（xo,y。
）的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。
例1（08年期末考试，一，1，4分）设z=x4y'+2x，则dz（1,2）=
例2（07,04年期末考试，二，1，3分）设z=arctany（x=0）,求dz。
x
2例3（06年期末考试，二、2，3分）设u=xy，则du-
例4（03年期末考试，二、2,3分）函数u=1n（x■y2■z2）在点（1,0,1）处的全微分为
例5.设z=uyarcsinw，u=ex，wx，求函数：
对变量x,y的全
7J2丄27r
xy
微分dz。
3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等）
一阶偏导数fx，fy在P（xo,yo）连续=z=-f（x,y）在P（Xo,y°）可微=■
z二f（x,y）在P（Xo,yo）连续=z二f（x,y）在P（x°,y°）有极限
z=f（x,y）在P（xo,yo）可微=在P（xo,y°）的一阶偏导数fx,fy存在
z=f（x,y）在P（Xo,yo）可微=在P（Xo,yo）的方向导数fx,fy存在
例2.
（08年期末考试，十一，6
分）设z=z（x,y）是由方程
（1）z二f（u,v）,u=（t）,v=（t）
dz：
：
zdu：
：
zdv：
：
z
dt：
：
udt：
：
vdt；:
：
（x）可导，求dz。
-z=-'':
：
（x'y'z）所确定的函数，其中
例3.（07年期末考试，八，7分）设z=xf（xy,—）,f具有连续二阶偏导
x
-_2
数，求N，—z。
bybydx
例4.（06年期末考试，一、1，3分）设z=xyf（y），f（u）可导，则
x
：
z：
z
xy（）0
1-.・f-.
x:
y
例5.（04年期末考试，三、1,8分）设G（u,v）可微，方程G（u,v）=0，其
中u=x•yz,v=y2xz确定了z是x,y的二元可微隐函数，试证明
（2寸-xz）空+（2x2_yz）空=z2_4xy.。
axdy
例6.（03年期末考试，三、2,5分）设（u,v）具有连续偏导数，证明方程
（x_yz,y_xz）=0所
确定的函数
z=f（x,y）满足
记u=f（x2t2,—），
x
f具有连续二阶偏导数，求
:
u
『u『u
.x
2,_
:
x:
x：
t
设z=x21ny，而
X裂，y=3u-V，求三和豆。
v:
u:
v
a2b2
fff
z：
z:
求一，一，一
x；y:
x：
y
设u=e]y―単，而y=asinx，z=bcosx，贝Udu。
dx
例10.设z二f（x2-y2,exy），又f具有连续的二阶偏导数,
2.一阶全微分形式不变性:
设z=f（u,v），则不管u,v是自变量还是中间变量，都有dz二f：
du•f；dv
通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。
当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。
五、隐函数的求导法则
1、F（x,y）=O—y=f（x），求鱼
dx
方法1（直接代公式）：
史二一空，其中：
Fx二Fx（x,y），相当于把F看dxFy
成自变量x，y的函数而对x求偏导数。
方法2:
直接对方程两边同时关于x求偏导（记住y=f（x））:
FxFy史，鱼一巳
dxdxFy
2（F+F^）F-F（F+F鱼）
2xxxyyxyx
dy二dxdx
dx「（Fy）2
F（x,y,u,v）=0u二u（x,y）u；u；v；v
3•£r£,求,——,——,-
G（x,y,u,v）=0v=v（x,y）：
x:
y；x:
y
建议采用直接推导法：
即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知
数，兰的二元方程组，得到，兰。
同理可求得空，兰o
x:
x:
x:
x:
y:
y
例1•设f（x,y,z）=exyz2，其中z=z（x,y）是由xyzxyz=0确定的隐函
数，求fx（0,1,-1）o
例2•设有隐函数其中F的偏导数连续，求—,—o
zzexcy
例3.（04年期末考试，三、1,8分）设G（u,v）可微，方程G（u,v）=0，其中u=x2yz,v=y2xz确定了z是x,y的二元可微隐函数，试证明
2Cz2Gz2
（2y一xz）（2x一yz）z-4xy.
exdy
六、多元函数微分学的几何应用
1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线,两曲面交线
切线向量{x'（to）,y（to）,z（to）}
X=X
=■y=y（x）二[z=z（x）切线向量{1,y（Xo）,z'（Xo）}
y=y（x）z=z（x）
x—xy—yz—z
o.oo
y（to）z（tZ（x—xo）+y（切xyoWHoT
X=XF（x,y,z）=Oy二y（x）
二二y=y（x）
G（x,y,z）=0z二z（x）
[z=z（x）
切线向量{1,y'（xo）,z'（xo）}
_x_x0y_y0z_z0_
「丁二莎二莎"…。
）川0）（y"。
T
3、曲面的切平面与法线方程（两种形式）一一隐函数，显示函数
Fxa-X。
）Fy（y-y。
）Fz/z-Zo）=0F（x,y，z）=0=x-x。
y-y。
z-z。
Fx（x。
，y°,z。
）Fy（X0,y0,z。
）Fz（X0,y0,z。
）
法线向量｛Fx（Xo,yo,z））,Fy（x。
y°,z。
）,Fz（x。
，y°,z。
）｝
z=f（x,y）n丿
x—x。
y—y。
z—z。
fxEy。
）fy（x（）,y。
）-1
fx（x-x。
）fy（y-y。
）-（z-z。
）=0
法线向量｛fx（x。
y。
）,fy（x°,y。
）,-1｝，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z
轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为:
co的=rfx二,cosP=
1fx2f：
-f
=y,cos二f2f2
xy
f2f2
X
x=acost
例1（08年期末考试，一、2,4分）曲线y=asint在点（a,0,0）的切线方程z=ct
例2（08年期末考试，十、7分）在曲面z=2X2•1y2上求出切平面，使得切
2
平面与平面4x-2y-2z-1=0.平行。
例3（07年期末考试，二、5,3分）曲面z-e「2xy=3在点（1,2,0）处的法线
方程。
222
例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆x2y2z2=1的切平
abc
面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。
例5（06年期末考试，二、3,3分）曲面3xyz_z3=a3在点（0,a,-a）处的切平面方程。
例6（04年期末考试，三、3,7分）在球面x2y2z^9上求一点，使得过该点的切平面与已知平面2x•y—2z=0平行。
例7.在曲线X二t，y=2t2，z=3t‘上求点，使该点处曲线的切线平行平面
8x7y-4z=1。
例8设f（x,y）具有一阶连续偏导数，且f：
•fy2=0，对任意实数t有
f（tx,ty）二tf（x,y），试证明曲面z=f（x,y）上任意一点（Xo,yo,z°）处的法线与直线——相垂直。
XoyoZo
例9由曲线3x22y2=12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，3,•迈）处lz=0
指向外侧的单位法向量，
七、方向导数与梯度
1、方向导数的概念和计算公式
z=f（x,y）在P（x,y）沿l方向的方向导数为：
1设P'（xx,yy）为l上一点，则
f..f（P'）-f（P）..f（x%yy）-f（x,y）
T二limJ叫-
2设l的方向余弦为：
I二｛COSJ,COS：
｝，则
:
f:
f:
f:
coscos:
l:
xy
可微二.方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系
2、梯度的概念和计算公式
z=f（xy在P（x,y沿什么方向的方向导数最大?
222
2x2y-z=25
2丄22
x+y=z
在点Po处的切线方向的方向导数。
例2•求函数f（x,y）二x2y3在点（2,1）沿方向丨=i，j的方向导数例3•设函数z=f（x,y）二xey,
（1）求出f在点P（2,0）处沿P到Q（1/2,
2）方向的变化率；
（2）f在P（2,0）沿什么方向具有最大的增长率，最大
增长率为多少？
例4（08年期末考试，一、4,4分）函数x2y2在点P°（1,2）处沿从P°（1,2）到点R（2,23）方向的方向导数。
例5（07年期末考试，二、4,3分）函数z=x2-xy•y2在点（-1,1）处沿方向
I-{2,1}的方向导数。
例6（06年期末考试，四、7分）函数u=x2•y2•z2-3z在点M0（1,-1,2）处的梯度及沿梯度方向的方向导数。
八、多元函数的极值及其求法
1掌握极值的必要条件、充分条件
2、掌握求极值的一般步骤
3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法
例1.求函数f（x,y）=x3-y3-3x23y2-9x的极值。
例2（04年期末考试，三、3,6分）.设长方体过同一顶点的三条棱长之和为
3a,问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？
例3.求旋转抛物面z=x2•y2与平面x•y-2z=2之间的最短距离。
例4（08年期末考试，六、7分）求u=x-2y-2z在约束x2y2z^1下的最大值和最小值。
222
例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球x2y2z2=1的切平
abc
面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。
例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？
例7（03年期末考试，八、10分）求曲线x2xyy22^2^1^0上距原点最近和最远的点。
厂fxx（x,y）
•X
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