辽宁省锦州市届高三质量检测二理数试题附答案精品学术小金刚系列.docx
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辽宁省锦州市届高三质量检测二理数试题附答案精品学术小金刚系列
辽宁省锦州市2017年高三质量检测
（二）
数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知复数
（其中
，
是虚数单位）是纯虚数，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
3.已知数列
，若点
（
）在经过点
的定直线上，则数列
的前19项和
的值为（）
A．
B．
C．
D．
4.直线
：
（
）是圆
：
的一条对称轴，过点
作斜率为1的直线
，则直线
被圆
所截得的弦长为（）
A．
B．
C．
D．
5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，主视图和左视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）
A．
B．
C．
D．
6.函数
（
且
）的图象可能为（）
7.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）
A．336种B．320种C．192种D．144种
8.设方程
有两个不相等的实根
和
，则（）
A．
B．
C．
D．
9.执行如图所示的程序框图，则输出
的值为（）
A．
B．
C．
D．
10.已知三棱锥
，
，
，
两两垂直且长度均为6，长为2的线段
的一个端点
在棱
上运动，另一个端点
在底面
内运动（含边界），则
的中点
的轨迹与三棱锥的
点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
11.已知
，
是双曲线
（
，
）的左、右焦点，点
关于渐近线的对称点恰好落在以
为圆心，
为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
12.已知函数
，
，
为自然对数的底数，关于
的方程
有四个相异实根，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在边长为1的正方形
中，
，
的中点为
，
，则
．
14.设
，则
展开式中常数项为（用数字作答）．
15.设实数
，
满足约束条件
则
的最小值为．
16.已知数列
各项均为正数，
，对任意的
，有
，若
则
的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
中，角
，
，
对边分别为
，
，
，
．
（Ⅰ）证明
是正三角形；
（Ⅱ）如图，点
在边
的延长线上，且
，
，求
的值．
18.如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，平面
底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．
（Ⅰ）求证：
平面
平面
；
（Ⅱ）若二面角
大小为
，设
，试确定
的值．
19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按
元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按
元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．
（Ⅰ）求某户居民用电费用
（单位：
元）关于月用电量
（单位：
度）的函数解析式；
（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占
，求
，
的值；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记
为该居民用户1月份的用电费用，求
的分布列和数学期望．
20.已知椭圆
：
（
）的左焦点
与抛物线
的焦点重合，直线
与以原点
为圆心，以椭圆的离心率
为半径的圆相切．
（Ⅰ）求该椭圆
的方程；
（Ⅱ）过点
的直线交椭圆于
，
两点，线段
的中点为
，
的垂直平分线与
轴和
轴分别交于
，
两点．记
的面积为
，
的面积为
．问：
是否存在直线
，使得
，若存在，求直线
的方程，若不存在，说明理由．
21.已知函数
（
）．
（Ⅰ）若
，恒有
成立，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若函数
有两个相异极值点
，
，求证：
．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知曲线
的极坐标方程是
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）．
（Ⅰ）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
，
两点，且
，求直线
的倾斜角
的值．
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
．
（Ⅰ）若对
不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，若
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围．
2017年高三质量检测
（二）数学（理）答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12：
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）
，得
，
所以
，所以
，即
是正三角形．
（Ⅱ）因为
是等边三角形，
，
所以
，
，
所以在
中，由余弦定理可得：
，
可得
，解得
，
在
中，
，
由正弦定理可得
．
18.（Ⅰ）证明：
∵
，
，
为
的中点，
∴四边形
为平行四边形，∴
，
∵
，∴
，即
．
又∵平面
平面
，且平面
平面
，
∴
平面
，
∵
平面
，∴平面
平面
．
（Ⅱ）解：
∵
，
为
的中点，∴
，
∵平面
平面
，且平面
平面
，
∴
平面
，∴
，
，
两两垂直，
如图，以
为原点建立空间直角坐标系，则平面
的法向量为
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
∵
，
∴
∴
在平面
中
，
．
∴平面
法向量为
．
∵二面角
为
，∴
，
∴
．
19.解：
（Ⅰ）当
时，
；
当
时，
；
当
时，
，
所以
与
之间的函数解析式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当
时，
，则
，
结合频率分布直方图可知：
∴
，
．
（Ⅲ）
可取50,150,250,350,450,550．
由
关于
的函数关系列表如下：
50
150
250
350
450
550
25
75
140
220
310
410
则
，
，
，
，
，
，
故
的概率分布列为：
25
75
140
220
310
410
0.1
0.2
0.3
0.2
0.15
0.05
所以
．
20.解：
（Ⅰ）由题意，得
，
，即
，∴
，
∴所求椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）假设存在直线
使
，显然直线
不能与
，
轴垂直．
∴直线
的斜率存在，设其方程为
（
），
将其代入
整理得
，
设
，
，
，
，
∴
，
∵
，∴
，
解得
，即
，
∵
，∴
，∴
，
即
，又∵
，∴
，
∴
，
整理得
因为此方程无解，故不存在直线
满足
．
21.解：
（Ⅰ）由
，恒有
，即
，
对任意
成立，
记
，
，
当
，
，
单调递增；
当
，
，
单调递减，
最大值为
，
∴
，
．
（Ⅱ）函数
有两个相异的极值点
，
，
即
有两个不同的实数根．
①当
时，
单调递增，
不可能有两个不同的实根；
②当
时，设
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
∴
，∴
，
不妨设
，∵
，
∴
，
，
，
先证
，即证
，
即证
，
令
，即证
，设
，
则
，函数
在
单调递减，
∴
，∴
，又
，∴
，
∴
．
22.解：
（Ⅰ）有
得
，∵
，
，
，
∴曲线
的直角坐标方程为
，即
．
（Ⅱ）将
代入圆的方程得
，
化简得
，
设
，
两点对应的参数分别为
，
，则
∴
．
∴
，
，
或
．
23.解：
（Ⅰ）由
，得
，解得
，
∴不等式
的解集
，
根据题意知
，∴
∴
．
（Ⅱ）当
时，
，设
．
由
（当且仅当
时等号成立），
∴
的最小值5，
因此，若
对
恒成立，
知实数
的取值范围是
．
数学参考答案（理科）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
D
B
B
C
A
D
A
B
D
B
C
C
9分
X
50
150
250
350
450
550
Y
25
75
140
220
310
410
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