河北中考数学《45多边形与平行四边形》教材知识梳理.docx
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河北中考数学《45多边形与平行四边形》教材知识梳理
第五节 多边形与平行四边形
河北8年中考命题规律）
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
13
平行四边
形性质
将平行四边形按某方式折叠求某角度数
2
2
2015
19
正多边形
的性质
以正三角形，正四边形、正五边形、正六边形为背景，求角的度数
3
22
平行四边
形的判定
利用三角形全等让两组对边分别相等，得平行四边形
10
13
20
14
15
正六边形
的性质
以正六边形为背景，涉及两个含60°角的直
角三角形，求阴影部分与空白部分的面积比
3
3
2012
9
平行四边
形的性质
以平行四边形的折叠为背景，利用平行四边形的性质，求角度
3
18
正多边形
的性质
通过正八边形拼接，利用正八边形的内角和公式求多边形的个数
3
22
（1）
平行四边
形的性质
平行四边形与反比例函数、一次函数结合，根据平行四边形的性质，求反比例函数的解析式
4
10
2011
23（3）
平行四边
形的性质
以正方形为背景，猜想四边形为平行
四边形，并且予以证明
3
3
2010
10
正六边形
的性质
两个正六边形部分重叠，求图形外轮廓
线的周长
2
2
2013、2009年未考查
命题规律
平行四边形与多边形在河北中考中最多设置3道题，分值为2～10分．分析近8年河北中考试题可以看出，本课时常考类型有：
（1）平行四边形判定及性质的相关计算（在选择题中考
查1次，在解答题中考查2次）；
（2）多边形性质的相关计算（在选择题中考查2次，在填空题中考查2次）．
命题预测
预计2017年中考，仍会以平行四边形相关知识为主，也会与其他知识结合.
河北8年中考真题及模拟）
平行四边形的判定及性质的相关计算
1．（2016河北13题2分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ C ）
A．66° B．104°
C．114°D．124°
2．（2012河北9题3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，将▱ABCD折叠，使点D，C分别落在点F，E处（点F，E都在AB所在的直线上）．折痕为MN，则∠AMF等于（ B ）
A．70°
B．40°
C．30°
D．20°
3．（2015河北22题10分）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：
如图所示，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝__CD__．
求证：
四边形ABCD是__平行__四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
证明：
连接BD.在△ABD和△CDB中．∵AB＝CD，A
D＝CB，BD
＝DB，∴△ABD≌△CDB
.∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD.∴AB∥CD，AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为__平行四边形的对边相等__．
多边形性质的相关计算
4．（2014河北15题3分）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则
等于（ C ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（第4题图）
（第5题图）
5．（
2010河北10题2分）如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（ B ）
A．7B．8
C．9D．10
6．（2015河北19题3分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝__24__°.
7．（2016张家口九中二模）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ D ）
A．5B．5或6
C．5或7D．5或6或7
8．（2016河北保定八中一模）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ C ）
A．正十边形B．正八边形
C．正六边形D．正五边形
9．（2016河北唐山十二中二模）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD的周长为（ D ）
A．5B．7
C．10D．14
（第9题图）
（第10题图）
10．（2016河北石家庄四十一中一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°.直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝__225°__．
中考考点清单）
多边形
1.
n边形
（n≥3）
内角和
定理
n边形的内角和为（n－2）·180°
外角和
定理
n边形的外角和为__360°__
对角线
过n（n＞3）边形一个顶点可引（n－3）条对角线，n边形共有
条对角线
正n边
形n≥3
定义
在平面内，边相等，角也相等的多边形叫做正多边形
性质
（1）正n边形的每一个内角为__
__
（2）正（2n－1）边形是轴对称图形，对称轴有（2n－1）条；
正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有2n条
平行四边形的性质与判定（高频考点）
图
（1）
近8年平行四边形的性质考查3次，考查题型为选择题、解答题，考查类型有2种：
①以折叠为背景利用平行四边形的性质求角度；②与函数结合利用平行四边形的性质求函数解析式．
2．定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图
（1）所示．
3．性质
文字描述
字母表示[参考图
（1）]
（1）对边平行且相等
AB綊CD，AD綊BC
（2）对角相等
∠DAB＝∠DCB，
∠ADC＝∠ABC
（3）对角线互相平分
OA＝OC，OB＝OD
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，O为对称中心
4.判定
文字描述
字母表示[参考图
（1）]
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
⇒
（2）两组对边分别相等的四边
形是平
行四边形
⇒
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
⇒
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
⇒
四边形ABCD是平行四边形
（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
⇒
中考重难点突破）
多边形的相关计算
【例1】（2016龙岩中考）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形
C．六边形D．七边形
【学生解答】C
【点拨】n边形的内角和为（n－2）·180，与边数n有关；外角和为360°，与n无关．
1．（2016广安中考）若一个正n边形的每个内角都为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ C ）
A．7B．10C．35D．70
2．（2016莱芜中考）若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是（ C ）
A．13B．14C．15D．16
3．（2016梅州中考）若凸多边形的内角和为1260°，则该多边形的对角线有__27__条．
平行四边形的相关计算
【例2】（2017中考预测）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
（1）求证：
△AEM≌△CFN；
（2）求证：
四边形BMDN是平行四边形．
【解析】
（1）利用ASA即可得证；
（2）运用平行四边形的性质和判定解决．
【学生解答】证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN.
又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.
∵AE＝CF，∴△AEM≌△CFN；
（2）由
（1）得AM＝CN，又∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB綊CD，∴BM綊DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
4．（2016黔东南中考）如图，在四边形
ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ A ）
A．AB∥DC，AD＝BCB．AB∥DC，AD∥BC
C．
AB＝DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD
（第4题图）
（第5题图）
5．（2016丽水中考）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为（ B ）
A．13B．17C．20D．26
6．（2016益阳中考）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE.
求证：
AF＝CE.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB.
∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE.
中考备考方略）
1．（2016临沂中考）一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ C ）
A．108°B．90°C．72°D．60°
2．（2016湘西中考）下列说法错误的是（ D ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
3．（2016舟山中考）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正
多边形的边数是（ D ）
A．6B．7C．8D．9
4．（2016菏泽中考）在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ B ）
①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③B．①②④
C．②③④D．①③④
5．（2016孝感中考）在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（ D ）
A．3B．5
C．2或3D．3或5
6．（2016石家庄一模）平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B＝45°，那么∠BAE的大小是（ A ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
7．（2016北京中考）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝__360°__．
（第7题图）
（第8题图）
8．（2016江西中考）如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__50°__．
9．（2016达州中考）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ B ）
A．2B．3C．4D．5
（第9题图）
（第10题图）
10．（2016河南中考）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是__110°__．
11．（2016攀枝花中考）如果一个正多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的内角和为__1__800°__．
12．（2016邵阳中考）如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF＝DE，求证：
AE＝CF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴∠EDA＝∠FBC.在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS），∴AE＝CF.
13．（2015唐山二模）如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，三角形FCB的周长为28，则FC的长为（ C ）
A．4B．5C．6D．7
（第13题图）
（第14题图）
14．（2015石家中四十三中模拟）如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是（ D ）
A．∠E＝∠CDFB．EF＝DF
C．AD＝2BFD．BE＝2CF
15．（2016南充中考）如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，给出下列结论：
①∠AME＝108°；②AN2＝AM·AD；③MN＝3－
；④S△
EBC＝2
－1.其中正确结论的个数是（ C ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．（2016白银中考）如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
求证：
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）OA2＝OE·OF.
证明：
（1）∵EC∥AB，∴∠C＝∠ABF，
又∵∠EDA＝∠ABF，∴∠C＝∠EDA.
∴
AD∥BC.∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵EC∥AB，∴
＝
.
又∵AD∥BC，∴
＝
，∴
＝
，
∴OA2＝OE·OF.
17．（2016长沙中考）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.
（1）求证：
AB＝BC；
（2）若AB＝2，AC＝2
，求▱ABCD的面积．
解：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝DC.
∴∠DAC＝∠BCA.
又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA.
∴△ABC为等腰三角形，∴AB＝BC；
（2）连接BD交AC于点O，
∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形．
∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
∵BO2＋
＝AB2，
∴BO2＋
＝22.
∴BO＝1且BD＝2BO＝2.
∴S▱ABCD＝
BD·AC＝
×2×2
＝2
.
18．（2016邯郸十一中二模）如图
（1），在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E.
（1）求证：
四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图
（2），将图
（1）中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
解：
（1）∵在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴AD＝
OB，OD＝BD＝
OB，DO＝DA，∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∴∠EOA＝∠DOC＋∠DOA＝90°，∴∠AEO＝60°，又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO＝∠AEO＝60°，∴BC∥AE，
∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）OG＝1.
19．（2016石家庄四十二中）已知M，N分别为△ABC的边AC，BC的中点，AN，BM交于点O，E为OB的中点．
（1）如图
（1），若F为OA的中点，求证：
M
F綊NE；
（2）如图
（2），若AB＝BC，AM＝6，NE＝
，求AB的长．
解：
（1）连接OC.
∵点M是AC的中点，
∴点F是AO的中点．
∴MF是△AOC的中位线，
∴MF綊
OC，
同理可证．
NE綊
OC.
∴MF綊NE；
（2）易证NE＝
OC，∴OC＝2
.
利用三线合一，易求CM＝AM＝6.
∴OM＝4.
取OA的中点F，
易证四边形MFEN为平行四边形．
∴OM＝OE＝4，
∵E为OB的中点，∴BE＝4，
∴BM＝12，∴AB＝6
.
20．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.
求证：
（1）四边形MNCD是平行四边形；
（2）BD＝
MN.
证明：
（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴MD＝NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四边形；
（2）如图，连接ND，∵MNCD是平行四边形，∴MN＝DC.∵N是BC的中点，∴BN＝CN，∵BC＝2CD，∠C＝60°，∴△NCD是等边三角形．∴ND＝NC，∠DNC＝60°.∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD＋∠NDB＝∠DNC，∵DN＝NC＝NB，∴∠DBN＝∠BDN＝
∠DNC＝30°，∴∠BDC＝90°.∵tan∠DBC＝
＝
，∴DB＝
DC＝
MN.
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