时间序列的平稳性及其检验.ppt
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第四章时间序列模型平稳性检验第四章时间序列模型平稳性检验一、问题的引出：
非平稳变量与经典回归模型一、问题的引出：
非平稳变量与经典回归模型二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程一、问题的引出：
非平稳变量与经典一、问题的引出：
非平稳变量与经典回归模型回归模型常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：
时间序列数据时间序列数据（time-seriesdata）；截面数据截面数据（cross-sectionaldata）平行平行/面板数据面板数据（paneldata/time-seriescross-sectiondata）时间时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性经典回归分析经典回归分析暗含暗含着一个重要着一个重要假设假设：
数据是平稳的。
数据是平稳的。
数据非平稳数据非平稳，大样本下的统计推断基础，大样本下的统计推断基础“一致一致性性”要求要求被破怀。
被破怀。
经典回归分析的假设之一：
解释变量经典回归分析的假设之一：
解释变量X是非随机变是非随机变量量放宽该假设：
放宽该假设：
X是随机变量，则需进一步要求：
是随机变量，则需进一步要求：
（1）X与随机扰动项与随机扰动项不相关不相关Cov（X,）=0依概率收敛：
依概率收敛：
（2）第
（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性：
第
（1）条是OLS估计的需要如果如果X是非平稳数据是非平稳数据（如表现出向上的趋势），（如表现出向上的趋势），则（则
（2）不成立，回归估计量不满足）不成立，回归估计量不满足“一致性一致性”，基，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
因此：
注意：
注意：
在双变量模型中：
在双变量模型中：
表现在表现在:
两个本来没有任何因果关系的变量，却两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性有很高的相关性（有较高的R2）：
例如：
例如：
如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。
这样，仍然通过经典的因果关仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”问题问题时间序列分析时间序列分析模型方法模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性时间序列分析中首先遇到的问题首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochasticprocess）生成的，即假定时间序列生成的，即假定时间序列Xt（t=1,2,）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：
满足下列条件：
1）均值）均值E（XE（Xtt）=）=是是与时间与时间t无关的常数；无关的常数；2）方差）方差Var（XVar（Xtt）=）=22是是与时间与时间t无关的常数；无关的常数；3）协方差）协方差Cov（XCov（Xtt,X,Xt+kt+k）=）=kk是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，有关，与时间与时间t无关的常数；无关的常数；则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的平稳的（stationary），而该而该随机过程是一随机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（stationarystochasticprocess）。
）。
例例4.1一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：
Xt=t，tN（0,2）例例4.2另一个简单的随机时间列序被称为随随机机游游走（走（randomwalk），该序列由如下随机过程生成：
Xt=Xt-1+t这里，t是一个白噪声。
该序列常被称为是一个白噪声白噪声（whitenoise）。
由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0，则易知X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2XXtt=X=X00+1+2+t由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var（Xt）=t2即即Xt的方差与时间的方差与时间tt有关而非常数，它是一非平稳序列。
有关而非常数，它是一非平稳序列。
容易知道该序列有相同的均值均值：
E（Xt）=E（Xt-1）然而，对X取一阶差分一阶差分（firstdifference）:
Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一个白噪声，则序列Xt是平稳的。
后面将会看到后面将会看到:
如果一个时间序列是非平稳的，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
事事实实上上，随随机机游游走走过过程程是是下下面面我我们们称称之之为为11阶阶自自回回归归AR
（1）AR
（1）过程过程的特例的特例XXtt=XXt-1t-1+t不不难难验验证证:
1）|1|1时时，该该随随机机过过程程生生成成的的时时间间序序列列是是发发散散的的，表表现现为为持持续续上上升升
（1）1）或或持持续续下下降降（-1）1），因此是非平稳的；，因此是非平稳的；第二节中将证明第二节中将证明:
只有当只有当-1-110，样样本本自自相相关关系系数数近近似似地地服服从从以以0为均值，为均值，1/n为方差的正态分布，其中为方差的正态分布，其中n为样本数。
为样本数。
也也可可检检验验对对所所有有k0k0，自自相相关关系系数数都都为为00的的联联合合假假设，这可通过如下设，这可通过如下QQLBLB统计量进行：
统计量进行：
该统计量近似地服从自由度为m的2分布（m为滞后长度）。
因此:
如果计算的如果计算的QQ值大于显著性水平值大于显著性水平为为的临界值，则有的临界值，则有1-1-的把握拒绝所有的把握拒绝所有kk（k0）（k0）同时为同时为00的假设。
的假设。
例例4.3:
4.3:
表表4.14.1序列序列Random1Random1是通过一随是通过一随机过程（随机函数）生成的样本容量为机过程（随机函数）生成的样本容量为1919的随机时间序列。
的随机时间序列。
表表4.14.1一个纯随机序列与随机游走序列的检验一个纯随机序列与随机游走序列的检验序号Random1自相关系数kr（k=0,1,17）LBQRandom2自相关系数kr（k=0,1,17）LBQ1-0.031K=0,1.000-0.0311.00020.188K=1,-0.0510.0590.1570.4800.4805.11630.108K=2,-0.3933.6790.2640.0185.1234-0.455K=3,-0.1474.216-0.191-0.0695.2415-0.426K=4,0.2806.300-0.6160.0285.26160.387K=5,0.1877.297-0.229-0.0165.2697-0.156K=6,-0.36311.332-0.385-0.2196.74580.204K=7,-0.14812.058-0.181-0.0636.8769-0.340K=8,0.31515.646-0.5210.1267.454100.157K=9,0.19417.153-0.3640.0247.477110.228K=10,-0.13918.010-0.136-0.24910.22912-0.315K=11,-0.29722.414-0.451-0.40418.38913-0.377K=12,0.03422.481-0.828-0.28422.99414-0.056K=13,0.16524.288-0.884-0.08823.514150.478K=14,-0.10525.162-0.406-0.06623.866160.244K=15,-0.09426.036-0.1620.03724.00417-0.215K=16,0.03926.240-0.3770.10525.483180.141K=17,0.02726.381-0.2360.09327.198190.2360.000容易验证：
该样本序列的均值为该样本序列的均值为00，方差为，方差为0.07890.0789。
从图形看：
它在其样本均值它在其样本均值00（a）附近上下波动，且样本附近上下波动，且样本自相关系数自相关系数（b）迅速下降到迅速下降到00，随后在，随后在00附近波动且逐渐收敛附近波动且逐渐收敛于于00。
由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。
该序列为一白噪声。
根据Bartlett的理论：
kN（0,1/19）因此任一rk（k0）的95%的置信区间都将是可以看出可以看出:
k0k0时，时，rrkk的值确实落在了该区间内，的值确实落在了该区间内，因此可以接受因此可以接受kk（k0）k0）为为00的假设的假设。
同样地，从从QQLBLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后1717期的期的计算值为计算值为26.3826.38，未超过，未超过5%5%显著性水平的临界值显著性水平的临界值27.5827.58，因此，因此,可以接受所有的自相关系数可以接受所有的自相关系数kk（k0）k0）都为都为00的假设。
的假设。
因此，该随机过程是一个平稳过程。
该随机过程是一个平稳过程。
序列Random2是由一随机游走过程Xt=Xt-1+t生成的一随机游走时间序列样本。
其中，第0项取值为0，t是由Random1表示的白噪声。
样本自相关系数显示样本自相关系数显示：
r1=0.48，落在了区间-0.4497,0.4497之外，因此在5%的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
该随机游走序列是非平稳的。
图形表示出：
图形表示出：
该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。
例例4.44.4检验中国支出法GDP时间序列的平稳性。
表表4.24.21978200019782000年中国支出法年中国支出法GDPGDP（单位：
亿元）（单位：
亿元）年份GDP年份GDP年份GDP19783605.6198610132.8199446690.719794073.9198711784199558510.519804551.3198814704199668330.419814901.4198916466199774894.219825489.2199018319.5199879003.319836076.3199121280.4199982673.119847164.4199225863.6200089112.519858792.1199334500.6图形：
表现出了一个持续上升的过程图形：
表现出了一个持续上升的过程，可，可初步判断初步判断是非平稳是非平稳的。
的。
样本自相关系数：
缓慢下降样本自相关系数：
缓慢下降，再次表明它，再次表明它的的非平稳非平稳性。
性。
图图4.54.51978197820002000年中国年中国GDPGDP时间序列及其样本自相关图时间序列及其样本自相关图-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810121416182022GDPACF020000400006000080000100000788082848688909294969800GDP拒拒绝绝：
该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全部为0的假设。
结论结论:
19782000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。
从滞后从滞后18期的期的QLB统计量看：
统计量看：
QLB（18）=57.1828.86=20.05例例4.54.5检验3.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。
原图样本自相关图从图形上看：
从图形上看：
人均居民消费（CPC）与人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的是非平稳的。
从滞后从滞后1414期的期的QLB统计量看：
统计量看：
CPC与GDPPC序列的统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。
再次表明它们的非平稳性。
表明它们的非平稳性。
就此来说，运用传统的回归方法建立它们的就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。
回归方程是无实际意义的。
不过，第三节中将看到，如果两个非平稳时不过，第三节中将看到，如果两个非平稳时间序列是间序列是协整协整的，则传统的回归结果却是有意义的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是的，而这两时间序列恰是协整协整的。
的。
四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验对时间序列的平稳性除了通过自相关系数及其自相关系数及其图形图形直观判断直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。
单位根检验（单位根检验（unitroottest）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。
11、DFDF检验检验已知道，随机游走序列Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。
而该序列可看成是随机模型Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。
也就是说，我们对式Xt=Xt-1+t（*）做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根单位根。
（*）式可变形式成差分形式：
Xt=（1-）Xt-1+t=Xt-1+t（*）检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（*）式判断是否有=0。
一般地一般地:
检验一个时间序列检验一个时间序列XtXt的平稳性，可通过检验带的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型有截距项的一阶自回归模型XXtt=+XXt-1t-1+tt（*）中的参数中的参数是否小于是否小于11。
或者：
或者：
检验其等价变形式检验其等价变形式XXtt=+XXt-1t-1+tt（*）中的参数中的参数是否小于是否小于00。
在第二节中将证明，（*）式中的参数11或或=1=1时，时，时间序列是非平稳的时间序列是非平稳的;对应于（*）式，则是00或或=0。
因此，针对式XXtt=+XXt-1t-1+tt我们关心的检验为：
零假设零假设H0：
=0。
备择假设备择假设H1：
0上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。
检验完成。
然而，在原假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t检验无法使用。
Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为统统计计量量），即DF分布分布（见表3.3）。
由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。
因此，可通过OLS法估计XXtt=+XXt-1t-1+tt并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：
如果：
如果：
t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0：
=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。
认为时间序列不存在单位根，是平稳的。
表表4.3DF分布临界值表分布临界值表样本容量显著性水平2550100500t分布临界值（n=）0.01-3.75-3.58-3.51-3.44-3.43-2.330.05-3.00-2.93-2.89-2.87-2.86-1.650.10-2.63-2.60-2.58-2.57-2.57-1.28注意：
在不同的教科书上有不同的描述，但是注意：
在不同的教科书上有不同的描述，但是结果是相同的。
结果是相同的。
例如：
例如：
“如果计算得到的如果计算得到的t统计量的绝对值大于临统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝界值的绝对值，则拒绝=0”的假设，原序列不的假设，原序列不存在单位根，为平稳序列。
存在单位根，为平稳序列。
进一步的问题进一步的问题：
在上述使用XXtt=+XXt-1t-1+tt对时间序列进行平稳性检验中，实实际际上上假假定定了了时时间间序序列列是是由由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR
（1）生成的生成的。
但但在在实实际际检检验验中中，时时间间序序列列可可能能由由更更高高阶阶的的自自回回归归过过程程生生成成的的，或或者者随随机机误误差差项项并并非非是是白白噪噪声声，这样用OLS法法进进行行估估计计均均会会表表现现出出随随机机误误差差项项出出现现自自相相关关（autocorrelation），导致DF检验无效。
另另外外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自自相相关关随随机误差项问题机误差项问题。
为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）检验检验。
22、ADFADF检验检验ADF检验是通过下面三个模型完成的：
检验是通过下面三个模型完成的：
模模型型3中中的的t是是时时间间变变量量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。
检检验验的的假假设设都都是是：
针针对对H1:
500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57dt500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832.522.162at5003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13dt500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.72at5003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.383bt5003.463.112.782.38同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设H0：
=0。
1）只只要要其其中中有有一一个个模模型型的的检检验验结结果果拒拒绝绝了了零零假假设设，就可以认为时间序列是平稳的；就可以认为时间序列是平稳的；2）当当三三个个模模型型的的检检验验结结果果都都不不能能拒拒绝绝零零假假设设时时，则则认为时间序列是非平稳的。
认为时间序列是非平稳的。
这里所谓模模型型适适当当的的形形式式就是在每个模型中选取适当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声（主要保证不存在自相关）。
一个简单的检验过程：
一个简单的检验过程：
例例4.6检验19782000年间中国支出法GDP时间序列的平稳性。
1）经过偿试，模型3取了2阶滞后：
通过拉拉格格朗朗日日乘乘数数检检验验（Lagrangemultipliertest）对随机误差项的自相关性进行检验：
LM
（1）=0.92，LM
（2）=4.16，小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。
从从的系数看，的系数看，t临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。
临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。
时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不不能能拒拒绝绝不不存在趋势项的零假设存在趋势项的零假设。
需进一步检验模型需进一步检验模型2。
2）经试验，模型2中滞后项取2阶：
LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。
从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。
常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不不能能拒拒绝不存常数项的零假设。
绝不存常数项的零假设。
需进一步检验模型1。
3）经试验，模型1中滞后项取2阶：
LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。
从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。
不能拒绝存在单位根的零假设。
可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。
时间序列是非平稳的。
例例4.7检验关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。
1）对中中国国人人均均国国内内生生产产总总值值GDPPC来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。
结论：
人人均均国国内内生生产产总总值值（GDPPC）是是非非平平稳稳的。
的。
2）对于人均居民消费CPC时间序列来说，三个模型的适当形式为三个模型中参数CPCt-1的t统计量的值均比ADF临界值表中各自的临界值大，不不能能拒拒绝绝该该时时间间序列存在单位根的假设序列存在单位根的假设，因此,可可判判断断人人均均居居民民消消费费序序列列CPC是是非非平平稳稳的。
的。
EViews软件中的软件中的单位根检验单位根检验操作说明：
操作说明：
双双击击序序列列名名，打打开开序序列列窗窗口口，选选择择View/unitRootTest，得到下图得到下图：
单位根检验窗口单位根检验窗口进行单位根检验必须定义进行单位根检验必须定义4项：
项：
1选择检验类型选择检验类型在在Testtype的的下下拉拉列列表表中中，选选择择检检验验方方法法。
EViews5提提供供了了6种单位根检验的方法：
种单位根检验的方法：
AugmentedDickey-Fuller（ADF）TestPhillips-Perron（PP）TestDickey-FullerGLSTestKwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin（KPSS）TestElliot,Rothenberg,andStockPointOptimal（ERS）TestNgandPerron（NP）Test2选择被检验序列的形式选择被检验序列的形式在在Testforunitrootin中中确确定定序序列列在在水水平平值值、一一阶阶差差分分、二二阶阶差差分分下下进进行行单单位位根根检检验验。
可可以以使使用用这这个个选选项项决决定定序序列列中中单单位位根根的的个个数数。
如如果果检检验验水水平平值值未未拒拒绝绝，而而在在一一阶阶差差分分拒拒绝绝原原假假设设
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