奥林匹克数学竞赛试题.docx

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奥林匹克数学竞赛试题

奥林匹克数学竞赛试题（几何部分）

MathematiCSOlymPiCtest

（geometricPart）

1.已知在梯形ABCD中，AD//Bq∠B=40°,∠C=50,点E,F,M,N

分别为四条边的中点，求证：

BC=EF+MN［简单】

2.已知在平行四边形ABC冲，对角线AC与BD相交于点QP为平行四边形ABCD外一点，且∠APC∠BPD=90,求证：

平行四边形

ABCD为矩形.［简单】

3.已知在三角形ABC中,AB=ACCDLAB于D,P为BC上一点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.求证：

PE+PF=CD【简单】

4.已知在等腰三角形ABC中,AB=ACCD⊥AB,AH⊥FHEF⊥AB,求

证：

EF=CD+FHI简单】

5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形，连结AD延

长CE交AD与F,求证：

CF⊥AD.【简单】

6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AD交BE于F,

连结CE交AB于Q连结FG求证：

FGllCD.【简单】

A

7.已知三角形ABC为正三角形，内取一点P,向三边作垂线，交AB

于D,BC于E,AC于F,求证：

PD+PE+PF≡角形的高.【简单】

8.已知三角形ABC为正三角形，AD为高，取三角形外一点P,向三边

（或边的延长线）作垂线，交AB的延长线AE于M交AC的延长线

AF于N,交BC于Q求证：

PM+PN-PQ=A【中等】

A

9.已知在矩形ABC冲，对角线AC,BD相交于QDE平分∠ADC交AC

于F,若∠BDE=15,求∠CQE的度数.【中等】

10.已知三角形ABQ是直角三角形，∠BAC=90,ADLBQAE平分

∠CADBF平分∠ABC交AD于G交AE于H,连结EG,求证：

EGlAC

【中等】

11.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AE,CD取AE的中点N,取CD的中点M连结BM,BN,MN求证：

三角形BMN是等边三角形•【中等】

12.已知在正方形ABCD中，作对角线AC的平行线EG作BC=CH连

结BE延长HG交BE于F,连结CF,求证：

BC=CF.【中等】

13.已知在直角梯形ABCD中，AD//BCAD=3BC=5将腰CD绕点D

逆时针旋转90°至DE连结AE求三角形ADE的面积.【中等】

14.已知在任意四边形ABCD中，AB=CDP,Q,R分别为AD,BC,BD的中点，∠ABD=25,∠BDC=65,求∠PQR的度数.【中等】

15.已知在梯形ABC冲，AD//BCE为AB的中点，求证：

S三角形

CDES三角形ADES三角形BCE.【较难】

AD

16.已知矩形ABCD在CD的延长线上取一点E,在BC的延长线上取

一点F,使得∠DAE∠DAF,AF和CD交于G,求证：

S矩形ABCDS三

角形AEF.【较难】

18.已知在正九边形ABCDEFGH中，连结AEAE=I,求AH+AI的长.

【很难】【提示：

延长AH使HK=HG连结KG.J

19.已知正方形ABCD⅛有一点

P,且PBPCPD=32:

1,求证:

20.已知在任意四边形ABCC中，点E,F分别将AD,BC分成mn两部

分，AF和BE交于P,CE和DF交于Q求证：

S四边形EPFQS三角形CDQS三角形ABP.【超难】

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