奥林匹克数学竞赛试题.docx
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奥林匹克数学竞赛试题
XX文库-让每个人平等地提升自我
奥林匹克数学竞赛试题（几何部分）
MathematicsOlympictest
（geometricpart）
1.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=50°，点E,F,M,N
分别为四条边的中点，求证：
BC=EF+MN【.简单】
2.已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为平行四边形ABCD外一点，且∠APC=∠BPD=90°，求证：
平行四边形ABCD为矩形.【简单】
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3.已知在三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上一点，PE⊥AB
于E，PF⊥AC于F.求证：
PE+PF=CD【.简单】
4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB，AH⊥FH，EF⊥AB，求证：
EF=CD+FH【.简单】
5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形，连结AD，延长CE交AD与F,求证：
CF⊥AD.【简单】
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6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AD交BE于F，连结CE交AB于G，连结FG，求证：
FG∥CD.【简单】
7.已知三角形ABC为正三角形，内取一点P，向三边作垂线，交AB
于D，BC于E,AC于F，求证：
PD+PE+PF=三角形的高.【简单】
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8.已知三角形ABC为正三角形，AD为高，取三角形外一点P，向三边（或边的延长线）作垂线，交AB的延长线AE于M，交AC的延长线
AF于N，交BC于Q，求证：
PM+PN-PQ=AD【.中等】
9.已知在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O，DE平分∠ADC交AC
于F，若∠BDE=15°，求∠COE的度数.【中等】
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10.已知三角形ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE平分∠CAD，BF平分∠ABC，交AD于G，交AE于H，连结EG,求证：
EG∥AC.
【中等】
11.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AE,CD,取AE
的中点N，取CD的中点M，连结BM,BN,MN求.证：
三角形BMN是等边
三角形.【中等】
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12.已知在正方形ABCD中，作对角线AC的平行线EG，作BC=CH，连结BE，延长HG交BE于F，连结CF，求证：
BC=CF【.中等】
13.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，将腰CD绕点D
逆时针旋转90°至DE，连结AE，求三角形ADE的面积.【中等】
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14.已知在任意四边形ABCD中，AB=CD，P,Q,R分别为AD,BC,BD的中点，∠ABD=25°，∠BDC=65°，求∠PQR的度数.【中等】
15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，求证：
S三角形
CDE=S三角形ADE+S三角形BCE.【较难】
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16.已知矩形ABCD，在CD的延长线上取一点E，在BC的延长线上取
一点F，使得∠DAE=∠DAF,AF和CD交于G,求证：
S矩形ABCD=S三角形AEF.【较难】
17.已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交
BC于F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G，求证：
BG=AF+FG.
【很难】【提示：
过C点作AC的垂线，延长AF，交垂线于H.】
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18.已知在正九边形ABCDEFGHI中，连结AE，AE=1,求AH+AI的长.
【很难】【提示：
延长AH使HK=HG，连结KG.】
19.已知正方形ABCD内有一点P，且PB：
PC：
PD=3：
2：
1，求证：
∠CPD=135°.【超难】【提示：
过C作PC的垂线CP’，使CP=CP’.】
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20.已知在任意四边形ABCD中，点E,F分别将AD,BC分成m：
n两部
分，AF和BE交于P，CE和DF交于Q，求证：
S四边形EPFQ=S三角形CDQ+S三角形ABP.【超难】
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