第十六章三角形旁心的性质及应用1.docx
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第十六章
三角形旁心的性质及应用
【基础知识】
与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆．如图161，一个三角形有三个旁切圆，旁边圆的圆心简称为三角形的旁心，三角形的旁心有下列有趣的性质：
性质1三角形的旁心是其一内角的平分线（所在直线）和其他两角的外角平分线的交点．每一个旁心到三边的距离相等．
注设M为圆弧BC的中点，A是该圆弧所在圆周上另一点，若A与M位于弦BC异侧，则MA平分
ÐBAC；若A与M位于弦BC同侧，则MA平分ÐBAC的外角．
性质2三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心．
为了介绍后面的性质，我们记△ABC的三边BC
，CA，
AB的边长分别为a，b，c，令
p=1
2（
）
a+b+c．分别与BC，CA，AB外侧相切的旁切圆圆心记为I，I，I，其半径记为r，r，
A B C
A B
rC．S△表示△ABC的面积，R，r分别为△ABC的外接圆半径与内切圆半径．
1
1
性质3ÐBIC 90
= °-2Ð
A，ÐBIC=ÐBIC
=2Ð
A（对于顶角B，C也有类似的式子，略）．
A
B
C
2S△
-a+b+c
=4RsinÐA×cosÐB×cosÐC=r×cotÐB×cotÐC
性质4r
=
；
A
2
2
2
2
2
2S△
a-b+c2S△
a+b-c
=4R×sinÐB×cosÐC×cosÐA=r×cotÐC×cotÐA；
r
=
B
2
2
2
2
2
=4R×sinÐC×cosÐA×cosÐB=r×cotÐA×cotÐB．
r
=
C
2
2
2
2
2
性质5S△=（p-a）×rA=（p-b）×rB=（p-c）×rC；
rArBrC
rArB+rBrC+rCrA
S
=
；
△
3rArBrCrA+rB+rC
3
3
2
（rArBrC）3．
≤S△≤
注第三式由平均值不等式推证得．
I=a×cscÐA，II=b×cscÐB，II=c×cscÐC；
性质6
（1）I
BC
CA
AB
2
2
2
=a×secÐA，II=b×secÐB，II=c×secÐC．
（2）II
A
B
C
2
2
2
事实上，对于
（1），由性质2，知I为△IAIBIC的垂心，△ABC为△IAIBIC的垂足三角形，于是IC，B，
C，IB四点共圆且IBIC为该圆直径，故由正弦定理知IBIC
=BC×cscÐBIBC．由A，I，C，IB共圆
1
=a×cscÐA．同样可得其余两式．
知ÐBIC=ÐIAC
A，从而I
I
=2Ð
B
BC
2
1
对于
（2），易知I，B，I，C四点共圆且II为该圆的直径，故II
=BC×cscÐBIC．又ÐBIC 90
= °+2Ð
A，
A
A
A
故II=a×secÐA．同样可得其余两式．
A
2
推论1
（1）IIA×IBIC
a
（2）IBIC×ICIA×IAIB
abc
II×II II×II
= B CA= C AB
=4R；
b
c
=4R．
r
S△III
推论2 ABC
S△ABC
=2R．
r
事实上，由IBIC×IIA=IBIC（AIA-AI）=2（S△IAIBIC
IIA×IBIC+IIB×ICIA+IIC×IAIB=4S△III．
ABC
-S△HI）等三式相加，有
BC
=4R×2S△ABC
（
）
由推论1有II
·II+II×II+II×II=4Ra+b+c
，即证．
A BC B CA C AB
r
推论3设△IAIBIC的外接圆半径为R¢，则R¢=2R．
I×cscÐBIC=II×cscæ90°-ÐAö=a×cscÐA×secÐA=2a×cscA=4R，即证．或
事实上，由2R¢=I
ç
÷
BC
A BC
2
2
2
è
ø
设IIA交△ABC的外接圆于D，连BD，则
ÐBID=ÐBAI+ÐABI=ÐCAI+ÐIBC=ÐCBD+ÐIBC=ÐIBD，有DI
=DB
，即D为IIA的中点，设O¢
是I关于△ABC外心O的对称点，则由三角形中位线性质知O¢IA=2OD=2R．同理有O¢IB=O¢IC
=2R，
即O¢为△IAIBIC的外心．
的内切圆半径为r¢，则IBIC+ICIA+IAIB
=R¢．
推论4设△I
II
ABC
r¢
a+b+c
4R×S△ABC R¢×2S△ABC
= =
（
）
=R¢（a+b+c）即证．
¢
事实上，由rI I II II 2S
+ + +
=
B C CA AB
△III
r
r
ABC
1 1 1 1 1 1
1 1 1
推论5
+
=
，
+
=
，
+
=
．
II2 I
I2 a2
II2 I
I2 b2
II2 I
I2 c2
A BC
B CA
C AB
IA2
IB2
IC2
推论6
（1） + + =1；
bc ca ab
（2）IA+IB+IC≤bc+ca+ab（Walber不等式）．
IIC，IA=IIB
，有IA=
事实上，对于
（1），由△IAC
及△IAB
△III
△III
，
CA
AB
b II
c II
AC
AB
IIC×IIB×sin（180°-ÐIBIAIC）
IAIC×IAIB×sinÐIBIAIC
S△III
S△III
S△III
IA2
bc
IB2
ca
IC2
ab
=
=
=
=
即
BC
．同理，
CA
，
AB
，即证．
S△III
S△III
S△III
ABC
ABC
ABC
对于
（2），由
（1）及柯西不等式即证．
性质7设IA，IB，IC分别切△ABC的边BC，CA，AB于P，Q，R，内切圆I分别切BC，
CA，AB于K，S，T，则BP=AQ=CK
=p-c，PC=AR=BK=p-b，BR=CQ=AT=p-a．
AB=1（
）c，故
事实上，如图161，可作IAM
^直线
AB于M
，则BM=BP，而BM+
a+b+
2
BP=p-c=CK．同理证其余式．
IC
A
T
I
SIK
R
B
QC
B
PO
O'
M
D
IA
图16-1
性质8设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DI
A=DBDC=
（对于BIB，CIC也有同样的结论，略）．
事实上，由性质6的推论3的证明即知结论成立．也可设C1为AB延长线上的一点，
1
1
由ÐCBI=ÐCBI=ÐDIB+ÐIAB，有ÐDIB=ÐCBI
A-2Ð=Ð
A CBI
A-2Ð
A，
A
1 A
A
A
A
1
1
1
而ÐCBD=ÐCAD
=2Ð
A，则ÐDBI=ÐCBI-ÐCBD=ÐCBI
A- =Ð
ÐA DIB
，故CD
=BD=ID
．
A
A
A
A
2
=1（ÐB+ÐC）
性质9ÐIBIAIC
2
=1（ÐA+ÐC），ÐI
=1（ÐA+ÐB）．
ÐIAIBIC
II
AC
B
2
2
CB=p-p-ÐB-p-ÐC=1
2（
）
事实上，由ÐIII
=p-ÐI
BC-ÐI
ÐB+ÐC
，
BAC
A
A
2
2
即得第一式，同理可推得其余两式．
性质 一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的三个三角形面积之比等于原三角形三条边长之
比；三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等于三个旁切圆半径之比．
10
性质11过旁心IA的直线交AB，AC所在直线分别于P，Q，则
AB×sinÐB+AC×sinÐC=-sinÐA+sinÐB+sinÐC．
AP
AQ
事实上，可参见三角形内心的性质7即证，
性质12△ABC的内切圆I分别切边BC，CA，AB于点D、E、F，直线AI交内切圆于点P、Q，则P、Q分别为△AEF的内心与旁心．
【典型例题与基本方法】
例1如图162，在凸四边形ABCD中，AD∥BC，从A点引内、外角平分线与从B点所引内、外角平
分线相交于K，L；又从C点引内、外角平分线与从D点引内、外角平分线相交于P、Q．求证：
K，
L，P，Q四点共线．
A
D
K
L
P
Q
E
B
C
图16-2
证明由AD∥BC，则可知AD，BC的延长线必相交，设交点为E．就△ABE来看，K为其旁心，L为
其内心，因此，K，L，E三点共ÐAEB的角平分线；就△CDE来看，P是其旁心，Q是其内心，因此，P，Q，E三点共ÐDEC的角平分线．故知K，L，P，Q共线于ÐAEB的角平分线．
例2M是△ABC的边AB上的任意一点，r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，
q，q，q分别是上述三角形在ÐACB内部的旁切圆半径．证明：
r1
·r2=r
．
1 2
q q
q
1 2
（IMO12试题）
证明如图163，对任意的ÐA¢B¢C¢，由正弦定理，
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