第十六章三角形旁心的性质及应用1.docx

1、第十六章三角形旁心的性质及应用【基础知识】与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆如图 161，一个三角形有三个旁切圆，旁边圆的圆心简称为三角形的旁心，三角形的旁心有下列有趣的性质：性质 1 三角形的旁心是其一内角的平分线（所在直线）和其他两角的外角平分线的交点每一个旁心到三边的距离相等注设 M 为圆弧 BC 的中点， A 是该圆弧所在圆周上另一点，若 A 与 M 位于弦 BC 异侧，则 MA 平分BAC ；若 A 与 M 位于弦 BC 同侧，则 MA 平分BAC 的外角性质 2 三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁

2、心与内心为了介绍后面的性质， 我们记 ABC 的三边 BC， CA ，AB 的边长分别为 a ， b ， c ， 令p = 12 ()a + b + c 分别与 BC ，CA ， AB 外侧相切的旁切圆圆心记为 I ，I ，I ，其半径记为r ，r ，ABCABrC S 表示 ABC 的面积， R ， r 分别为 ABC 的外接圆半径与内切圆半径11性质 3 BI C90= - 2 A ， BI C = BI C= 2 A （对于顶角 B ， C 也有类似的式子，略）ABC2S-a + b + c= 4R sin A cos B cos C = r cot B cot C性质 4 r=；A22

3、2222Sa - b + c 2Sa + b - c= 4R sin B cos C cos A = r cot C cot A ；r=B22222= 4R sin C cos A cos B = r cot A cot B r=C22222性质 5 S = (p - a) rA = (p - b) rB = (p - c) rC ；rArB rCrArB + rB rC + rC rAS=；3rArB rC rA + rB + rC332(rArB rC )3 S 注第三式由平均值不等式推证得I = a csc A ， I I = b csc B ， I I = c csc C ；性质 6（

4、1） IB CC AA B222= a sec A ， II = b sec B ， II = c sec C （2） IIABC222事实上，对于（1），由性质 2，知 I 为IAIB IC 的垂心， ABC 为IAIB IC 的垂足三角形，于是 IC ，B ，C ， IB 四点共圆且 IB IC 为该圆直径，故由正弦定理知 IB IC= BC csc BIBC 由 A ， I ， C ， IB 共圆1= a csc A 同样可得其余两式知BI C = IACA ，从而 II= 2 BB C21对于（2），易知 I ，B ，I ，C 四点共圆且 II 为该圆的直径，故 II= BC cscB

5、IC 又BIC90= + 2 A ，AAA故 II = a sec A 同样可得其余两式A2推论 1（1） II A IB ICa（2） IB IC IC IA IAIBabcII I III I I=BC A =CA B= 4R ；bc= 4R rSI I I推论 2A B CS ABC= 2R r事实上，由 IB IC IIA = IB IC (AIA - AI )= 2(SI AIBICII A IB IC + II B IC IA + IIC IAIB = 4SI I I A B C- SH I )等三式相加，有B C= 4R 2S ABC()由推论 1 有 II I I + II I

6、 I + II I I = 4R a + b + c，即证AB CBC ACA Br推论 3 设IA IB IC 的外接圆半径为 R ，则 R = 2R I csc BI C = I I csc 90 - A = a csc A sec A = 2a csc A = 4R ，即证或事实上，由 2R = IB CAB C222设 II A 交 ABC 的外接圆于 D ，连 BD ，则BID = BAI + ABI = CAI + IBC = CBD + IBC = IBD ， 有 DI=DB，即 D 为 II A 的中点，设O是 I 关于 ABC 外心O 的对称点，则由三角形中位线性质知OI A

7、 = 2OD = 2R 同理有OIB = OIC= 2R ，即O 为IAIB IC 的外心的内切圆半径为 r ，则 IB IC + IC IA + IA IB= R 推论 4 设II IA B Cra + b + c4R S ABCR 2S ABC=()= R(a + b + c)即证事实上，由r III II I2S+=BCC AA BI I IrrA B C111111111推论 5+=，+=，+=II 2II 2a2II 2II 2b2II 2II 2c2AB CBC ACA BIA2IB2IC 2推论 6（1）+= 1；bccaab（2） IA + IB + IC bc + ca +

8、ab （ Walber 不等式）IIC ， IA = IIB，有 IA =事实上，对于（1），由IAC及IABII III I，C AA BbI IcI IA CA BIIC IIB sin (180 - IB IA IC )IAIC IA IB sin IB IA ICSII ISII ISII IIA2bcIB2caIC 2ab=即B C同理，C A，A B，即证SI I ISI I ISI I IA B CA B CA B C对于（2），由（1）及柯西不等式即证性质 7 设 I A ， IB ， IC 分别切 ABC 的边 BC ， CA ， AB 于 P ， Q ， R ，内切圆 I

9、分别切 BC ，CA ， AB 于 K ， S ， T ，则 BP = AQ = CK= p - c ， PC = AR = BK = p - b ， BR = CQ = AT = p - a A B= 1 ()c， 故事实上， 如图 161 ， 可作 IAM 直线AB 于 M， 则 BM = BP， 而 BM +a+ b+2B P = p- c = C K同理证其余式ICATIS I KRBQ CBP OO MDIA图16-1性质 8 设 AIA 的连线交 ABC 的外接圆于 D ，则 DIA =DB DC=（对于 BIB ，CIC 也有同样的结论，略）事实上，由性质 6 的推论 3 的证明

10、即知结论成立也可设C1 为 AB 延长线上的一点，11由CBI = C BI = DI B + I AB ，有DI B = C BIA - 2 = ACBIA - 2 A ，A1AAAA111而CBD = CAD= 2 A ，则DBI =CBI -CBD = CBIA-=ADI B，故CD= BD =I DAAAA2= 1 (B + C )性质 9 IB IAIC2= 1 (A + C )， I= 1 (A + B)IAIB ICI IA CB22CB = p - p - B - p - C = 12 ()事实上，由I I I= p - IBC - IB + C，B A CAA22即得第一式，

11、同理可推得其余两式性质一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的三个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等于三个旁切圆半径之比10性质 11 过旁心 IA 的直线交 AB ， AC 所在直线分别于 P ， Q ，则AB sin B + AC sin C = -sin A + sin B + sin C APAQ事实上，可参见三角形内心的性质 7 即证，性质 12 ABC 的内切圆 I 分别切边 BC ，CA ， AB 于点 D 、E 、F ，直线 AI 交内切圆于点 P 、Q ， 则 P 、Q 分别为 AEF 的内心与旁心【典型例题与基

12、本方法】例 1 如图 162，在凸四边形 ABCD 中， ADBC ，从 A 点引内、外角平分线与从 B 点所引内、外角平分线相交于 K ， L ；又从C 点引内、外角平分线与从 D 点引内、外角平分线相交于 P 、Q 求证： K ，L ， P ， Q 四点共线ADKLPQEBC图16-2证明由 ADBC ，则可知 AD ，BC 的延长线必相交，设交点为 E 就 ABE 来看，K 为其旁心，L 为其内心，因此， K ， L ， E 三点共AEB 的角平分线；就CDE 来看， P 是其旁心， Q 是其内心，因此， P ， Q ， E 三点共DEC 的角平分线故知 K ， L ， P ， Q 共线于AEB 的角平分线例 2 M 是 ABC 的边 AB 上的任意一点， r1 ， r2 ，r 分别是 AMC ，BMC ， ABC 内切圆的半径，q ， q ， q 分别是上述三角形在ACB 内部的旁切圆半径证明： r1 r2 = r12qqq12（ IMO12 试题）证明如图 163，对任意的ABC ，由正弦定理，