实验9最短路径问题.docx

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实验9最短路径问题

最短路径问题及解法

一、实验目的 

1.了解求解最短路径的Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理；

2.掌握Dijkstra算法和Floyd算法的基本步骤；

3.能应用相关的算法求解实际问题

4．掌握Dijkstra算法和Floyd算法的C程序设计技巧；

2、实验内容

1.求解最短路径的Dijkstra算法及C程序实现

2.求解最短路径的Floyd算法及C程序实现

1.

求解最短路径问题的Dijkstra算法

问题1：

已知如图1所示的单行线交通网,它是一个有向图，每条弧旁的数字表示这条单行线的长度.现在某人要从

出发，通过这个交通网到

去，求使下图中总路程最小的路径.

图1

引入基本变量:

ωij:

各边的权数，

d（v1，vj）：

v1到vj的路的总权数的最小值

P标号：

从v1到vj的最短路径的权数已确定

T标号：

从v1到vj的最短路径的权数的上界

Si:

算法进行到第i步时，具P标号点的集合.

λ（v）=m：

从vs到v的最短路上，v的前一个点是vm,λ（v）=0，则v=vs.

λ（v）=M：

D中不含从vs到v的路；

1.1结合图表演示Dijkstra算法的基本步骤和基本原理

我们用图表结全的方法讲述Dijkstra算法的基本步骤

第一步

因ωij≥0，故d（v1，v1）=0.v1加上P标号（图2中用划圈表示）.

图2

表1第一步

被圈去的次序

顶点

从v1到该点的最短路的长度

该节点的前一个节点

1

v1

0

起点

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

第二步:

从v1共发出3条弧，（v1，v2），（v1，v3），（v1，v4）.

若从v1出发沿（v1，v2）到达v2，权数为d（v1，v1）+ω12=6；

若从v1出发沿（v1，v3）到达v3，权数为d（v1，v1）+ω13=3；

若从v1出发沿（v1，v4）到达v4，权数为d（v1，v1）+ω14=1.

min{d（v1,,v1）+ω12,d（v1,v1）+ω13，d（v1,v1）+ω14}

=min{6,3,1}

=d（v1,v1）+ω14=1

故从v1出发到v4的路径的最小权必为1,最短路是（v1，v4），

d（v1，v4）=1,

给v4加上P标号（图3中加圈表示）.为什么？

图3

表2第二步

加P标号的次序

顶点

从v1到该点的最短路的长度

该节点的前一个节点

1

v1

0

起点

v2

6

v1

v3

3

v1

2

v4

1

v1

v5

v6

v7

v8

v9

第三步:

加上红圈的点表示具有P标号,现考查从v1及v4指向其余点的弧

从v1出发，分别沿（v1，v2）、（v1，v3）到达v2，v3，权数分另别为6和3，

从v4出发，沿（v4，v6）到达v6，权数为d（v1，v4）+ω46=1+10=11，

min{d（v1，v1）+ω12，d（v1，v1）+ω13，d（v1，v4）+ω46}

=min{6,3,11}

=d（v1，v1）+ω13=3

故从v1到v3的最短路是（v1，v3），

d（v1，v3）=3,

v3加上P标号.

图4

表3第3步

加P标号的次序

顶点

从v1到该点的最短路的长度

该节点的前一个节点

1

v1

0

起点

v2

6

v1

3

v3

3

v1

2

v4

1

v1

v5

v6

11

v4

v7

v8

v9

第四步:

加上红圈的点表示具有P标号,现考查从v1,v3和v4发出的弧.

从v1出发，沿（v1，v2）到达v2总权数为d（v1，v1）+ω12＝6，

从v3出发，沿（v3，v2）到达v2总权数为d（v1，v3）+ω32=5,

5<6,因此到达v2的路径长度的上界应改为5,v2的前一个节点也应改为v3.

从v3出发，沿（v3，v4）到达v4，因v4已具有P标号，不再参与计算.

从v4出发，沿（v4，v6）到达v6权数为d（v1，v4）+ω46=1+10=11，

min{d（v1，v1）+ω12，d（v1，v3）+ω32，d（v1，v4）+ω46}

=min{6,5,11}

=d（v1，v1）+ω13=3

故从v1到v2的最短路是（v1，v3，v2），

d（v1，v2）=5,

v2加上P标号.

图5

表4第4步

加P标号的次序

顶点

从v1到该点的最短路的长度

该节点的前一个节点

1

v1

0

起点

4

v2

6,5

v1 , v3

3

v3

3

v1

2

v4

1

v1

v5

v6

11

v4

v7

v8

v9

按照同样的方法，重复这个过程即可得到从v1出发到v8的最短路，最终的表格如下：

表5最终表格

加P标号的次序

顶点

从v1到该点的最短路的长度

该节点的前一个节点

1

v1

0

起点

4

v2

6,5

v1 , v3

3

v3

3

v1

2

v4

1

v1

5

v5

6

 v2

7

v6

11，10

v4 , v5

6

v7

9

 v5

8

v8

12

 v5

v9

从表中我们可以到得从从v1出发到v8的最短路的长度为12，具体路短为：

v8←v5←v2←v3←v1.

1.2Dijkstra算法的算法描述

上文介绍的这个算法即为Dijkstra（迪杰斯特拉）算法，它是典型的单源最短路径算法，可用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径.主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止.对于给定的赋权有向图D=（V，A）（或无向图D=（V，E）），欲求从vs出发到vt的最短路径（链）,Dijkstra方法的具体步骤如下：

Step0 :

令i=0,  S0={vs}，P（vs）=0，λ（vs）=0，对每一个v≠vs，令T（v）=+∞，λ（v）=M，令k=s.

Step1 :

  如果vt

Si，算法终止，对每个v∈Si，d（vs，v）=P（v）；否则转下一步.

Step2 :

考查每个使（vk，vj）∈A且vk

Si的点vj.

如果T（vj）＞P（vk）+wkj，则把T（vj）修改为P（vk）+wkj，把λ（vj）修改为k；

否则转下一步.

Step3:

如果

，则把

的T标号变为P标号，

令

若目标终点出现在Si+1中, 终止，这时

（I）对每一个v∈Si，d（vs，v）=P（v），

（II）对每一个

，d（vs，v）=T（v）.

否则令i= i+1，转入Step1.

1.3Dijkstra算法的C程序实现

我们编写了Dijkstra算法的C语言程序,并将程序应用于求解问题1，程序见附件，程序运行结果如下：

/*Dijkstra算法，键盘输入起点和终点,以图1.1的问题为例*/

#include

#defineMIN（x,y）（x<=y?

x:

y）

voidmain（）

{

doublea[10][10],v[10][3],t;

inti,j,k,n=9,m,i0,m0;

for（i=0;i<=n;i++）

for（j=0;j<=n;j++）

a[i][j]=-1;

for（i=0;i<=9;i++）

for（j=0;j<=2;j++）

v[i][j]=-1;

//邻接矩阵

a[1][2]=6;a[1][3]=3;

a[1][4]=1;a[2][5]=1;

a[3][2]=2;a[3][4]=2;

a[4][6]=10;a[5][4]=6;

a[5][6]=4;a[5][7]=3;

a[5][8]=6;a[6][5]=10;

a[6][7]=2;a[7][8]=4;

a[9][8]=3;a[9][5]=2;

//i0:

起点下标,m0:

终点下标;

puts（"Pleaseinputtheindexofthestaringpoint:

"）;

scanf（"%d",&i0）;

puts（"Pleaseinputtheindexofterminalpoint:

"）;

scanf（"%d",&m0）;

i=i0;

m=m0;

n=9;//点的总数

v[i][0]=0;//起点到起点的距离设为0

v[i][1]=1;//划圈的点置值1,其余为-1

v[i][2]=0;//前一个点的编号

while

（1）

{

for（j=1;j<=n;j++）

{

if（v[j][1]>0）continue;

t=a[i][j];

if（t<0.0）continue;

t+=v[i][0];

if（v[j][0]<0）

{

v[j][0]=t;

v[j][2]=i;

}

elseif（t

{

v[j][0]=t;

v[j][2]=i;

}

}

t=1.0e20;

for（j=1;j<=n;j++）

{

if（v[j][1]>0||v[j][0]<0）continue;

if（v[j][0]

{

t=v[j][0];

k=j;

}

}

v[k][1]=1.0;

i=k;

if（k==m）break;

}

for（j=1;j<=n;j++）

printf（"%3d--%5.2f--%5.2f--%5.2f\n",j,v[j][0],v[j][1],v[j][2]）;

printf（"Theleastchainis:

%d",m）;

while

（1）

{

k=（int）（v[m0][2]）;

printf（"<--%d",k）;

m0=k;

if（k==i0）break;

}

puts（""）;

}

练习：

（1）编程实现用Dijkstra方法求下面的无向图中从v1到其它某个节点的距离的最小值，要求其它某节点待定，其序号由键盘输入。

图6

（2）思考如何设计一个有类似于高德地图等手导航功能的程序。

2.求解最短路径的Floyd算法

1.2Floyd算法的基本思想

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshallalgorithm）是解决网络图中任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包. Floyd算法是一个经典的动态规划算法.

从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能：

1）直接从A到B，

2）从A经过若干个节点X到B.

我们假设dis（A，B）为节点A到节点B的最短路径的长度，对于每一个节点X，我们检查

dis（A，X）+dis（X，B）

是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比从A直接到B的路径更短，我们便设置

dis（A，B）=dis（A,X）+dis（X,B）.

这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis（A,B）中记录的便是A到B的最短路径的距离.

2.2Floyd算法的基本步骤

Step1用数组dis[i][j]来记录

之间的最短距离;

Step2初始化dis[i][j];

若i=j则dis[i][j]=0,

若

之间有边连接则dis[i][j]的值为该边的权值，

否则dis[i][j]的值为无穷大.

Step3对k从1到n循环，不断修正任意两点之间的最短距离.若

dis[i][k]+dis[k][j]

则令dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j]，否则dis[i][j]的值不变.

2.3Floyd算法的正确性的证明

对于任意两点A，B：

（1）当从A到B之间的最短路径，在中间没有经过节点或经过1个节点号为1的节点时，算法显然正确.

（2）假设A到B经过的最大节点号不超过k-1时，算法得到的最短距离是正确的

（3）当A到B的路径上经过的最大节点下标为k时，则从A到节点

之间的节点号均不大于k-1，从

到B之间所有的节点号也不大于k-1，由假设2得，A到

的距离是中间节点号不超过

的最短距离，

到B的距离是中间节点号不超过k-1的最短距离，所以A经

到B为A，B之间经节点最大编号为k的路径中距离的最小值，由算法修正A，B的最短距离，即可得到A，B间节点编号不超过k的距离的最小值.

（4）综上所述，算法是正确的

2.4Floyd算法的C程序实现

我们编写了Floyd算法的C语言程序求解问题1,程序见附件，程序运行结果如下：

//Floydmethod,以图1.1中的问题为例

#include

#defineMIN（x,y）（x<=y?

x:

y）

voidmain（）

{

doublea[10][10],t;

inti,j,k,n,m,i0,m0,path[10][10];

n=9;

for（i=0;i<=n;i++）

for（j=0;j<=n;j++）

a[i][j]=1.0e10;

for（i=0;i<=n;i++）

for（j=0;j<=9;j++）

path[i][j]=j;

for（i=0;i<=n;i++）

a[i][i]=0;

a[1][2]=6;a[1][3]=3;

a[1][4]=1;a[2][5]=1;

a[3][2]=2;a[3][4]=2;

a[4][6]=10;a[5][4]=6;

a[5][6]=4;a[5][7]=3;

a[5][8]=6;a[6][5]=10;

a[6][7]=2;a[7][8]=4;

a[9][8]=3;a[9][5]=2;

for（k=1;k<=n;k++）

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=n;j++）

if（a[i][j]>a[i][k]+a[k][j]）

{

a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];

path[i][j]=path[i][k];

}

puts（"Thematrixa[][]:

"）;

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

printf（"%5.1f",a[i][j]）;

puts（""）;

}

puts（"Thematrixpath[][]:

"）;

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

printf（"%3d",path[i][j]）;

puts（""）;

}

//i0:

起点下标,m0:

终点下标;

puts（"Pleaseinputtheindexofthestaringpoint:

"）;

scanf（"%d",&i0）;

puts（"Pleaseinputtheindexofterminalpoint:

"）;

scanf（"%d",&m0）;

printf（"Thelengthofthebestpathis:

%f\n",a[i0][m0]）;

printf（"Thebestpathis:

\n"）;

while（m0!

=i0）

{

printf（"%d-->",i0）;

i0=path[i0][m0];

}

printf（"%d\n",m0）;

}

练习：

（1）编程实现用Floyd方法求下面的无向图中从v1到其它某个节点的距离的最小值，要求其它某节点待定，其序号由键盘输入。

图6