实验9最短路径问题.docx

1、实验9最短路径问题 最短路径问题及解法一、实验目的1. 了解求解最短路径的Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理；2. 掌握Dijkstra算法和Floyd算法的基本步骤；3. 能应用相关的算法求解实际问题4掌握Dijkstra算法和Floyd算法的C程序设计技巧；2、实验内容1. 求解最短路径的Dijkstra算法及C程序实现2. 求解最短路径的Floyd算法及C程序实现1. 求解最短路径问题的Dijkstra算法问题1： 已知如图1 所示的单行线交通网, 它是一个有向图，每条弧旁的数字表示这条单行线的长度. 现在某人要从出发，通过这个交通网到去，求使下图中总路程最小的路径.图1引入

2、基本变量: ij: 各边的权数，d(v1，vj)：v1到vj的路的总权数的最小值P标号：从v1到vj 的最短路径的权数已确定T标号：从v1到vj 的最短路径的权数的上界Si: 算法进行到第 i 步时，具P标号点的集合.(v)=m：从vs到v的最短路上，v的前一个点是vm, (v)=0，则v=vs.(v) =M：D中不含从vs到v的路；1.1 结合图表演示Dijkstra算法的基本步骤和基本原理我们用图表结全的方法讲述Dijkstra算法的基本步骤第一步因ij0，故 d(v1，v1)=0. v1加上P标号（图2中用划圈表示）.图2表1 第一步被圈去的次序顶点从v1到该点的最短路的长度该节点的前一

3、个节点1v10起点v2v3v4v5v6v7v8v9第二步:从v1共发出3条弧，(v1，v2)，(v1，v3)，(v1，v4).若从v1出发沿(v1，v2)到达v2，权数为 d(v1，v1) + 12 = 6；若从v1出发沿(v1，v3)到达v3，权数为 d(v1，v1) + 13 = 3；若从v1出发沿(v1，v4)到达v4，权数为 d(v1，v1) + 14 = 1.mind(v1,v1) + 12, d(v1,v1) + 13，d(v1,v1) + 14 = min6, 3, 1= d(v1,v1) + 14 = 1故从v1出发到v4的路径的最小权必为1, 最短路是(v1，v4)，d(v1

4、，v4) =1,给v4加上P标号（图3中加圈表示）. 为什么？图3表2 第二步加P标号的次序顶点从v1到该点的最短路的长度该节点的前一个节点1v10起点v26v1v33v12v41v1v5v6v7v8v9第三步:加上红圈的点表示具有P标号, 现考查从v1及v4指向其余点的弧从v1出发，分别沿(v1，v2)、(v1，v3)到达v2，v3，权数分另别为6和3，从v4出发，沿(v4，v6)到达v6，权数为 d(v1，v4) +46 = 1 +10=11，mind(v1，v1) + 12，d(v1，v1) + 13，d(v1，v4) + 46 = min 6, 3, 11 = d(v1，v1) + 1

5、3 = 3故从v1到v3的最短路是(v1，v3)，d(v1，v3)=3,v3加上P标号.图4表3 第3步加P标号的次序顶点从v1到该点的最短路的长度该节点的前一个节点1v10起点v26v13v33v12v41v1v5v611v4v7v8v9第四步:加上红圈的点表示具有P标号, 现考查从v1, v3和v4发出的弧. 从v1出发，沿(v1，v2)到达v2总权数为d(v1，v1) +126，从v3出发，沿(v3，v2)到达v2总权数为d(v1，v3) + 32=5,56, 因此到达v2的路径长度的上界应改为5, v2的前一个节点也应改为v3. 从v3出发，沿(v3，v4)到达v4，因v4已具有P标号

6、，不再参与计算. 从v4出发，沿(v4，v6)到达v6权数为 d(v1，v4) +46 = 1 +10=11，mind(v1，v1) + 12，d(v1，v3) + 32，d(v1，v4) + 46 = min 6, 5, 11 = d(v1，v1) + 13 = 3故从v1到v2的最短路是(v1，v3，v2)，d(v1，v2)=5,v2加上P标号.图5表4 第4步加P标号的次序顶点从v1到该点的最短路的长度该节点的前一个节点1v10起点4v26, 5v1,v33v33v12v41v1v5v611v4v7v8v9按照同样的方法，重复这个过程即可得到从v1出发到v8的最短路，最终的表格如下：表5

7、 最终表格加P标号的次序顶点从v1到该点的最短路的长度该节点的前一个节点1v10起点4v26, 5v1,v33v33v12v41v15v56v27v611，10v4,v56v79v58v812v5v9从表中我们可以到得从从v1出发到v8的最短路的长度为12，具体路短为： v8v5v2v3v1 .1.2 Dijkstra算法的算法描述上文介绍的这个算法即为Dijkstra(迪杰斯特拉)算法，它是典型的单源最短路径算法，可用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径. 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止. 对于给定的赋权有向图D=(V，A)（或无向图D=(V，E)），欲求从vs出

8、发到vt的最短路径（链）, Dijkstra方法的具体步骤如下：Step 0: 令i=0,S0=vs， P(vs)=0， (vs)=0，对每一个vvs，令T(v)=+，(v)=M，令k = s.Step 1:如果vtSi，算法终止，对每个vSi，d(vs，v)=P(v)；否则转下一步.Step 2: 考查每个使(vk，vj)A且vkSi的点vj.如果T(vj) P(vk) + wkj，则把T(vj)修改为P(vk) + wkj，把(vj)修改为k；否则转下一步.Step 3: 如果，则把的T标号变为P标号，令,若目标终点出现在Si+1中,终止，这时(I) 对每一个vSi，d(vs，v)=P(v

9、)，(II) 对每一个，d(vs，v)=T(v).否则令i =i+1，转入Step 1.1.3 Dijkstra算法的C程序实现我们编写了Dijkstra算法的C语言程序, 并将程序应用于求解问题1，程序见附件，程序运行结果如下： /* Dijkstra 算法， 键盘输入起点和终点, 以图1.1的问题为例*/#include#define MIN(x,y) (x=y ? x : y)void main() double a1010, v103, t; int i, j, k, n=9, m, i0, m0; for (i=0; i=n; i+) for (j=0; j=n; j+) aij =

10、 -1; for (i=0; i=9; i+) for (j=0; j=2; j+) vij = -1; / 邻接矩阵 a12 = 6; a13 = 3; a14 = 1; a25 = 1; a32 = 2; a34 = 2; a46 = 10; a54 = 6; a56 = 4; a57 = 3; a58 = 6; a65 = 10; a67 = 2; a78 = 4; a98 = 3; a95 = 2; / i0: 起点下标, m0: 终点下标; puts(Please input the index of the staring point:); scanf(%d, &i0); puts

11、(Please input the index of terminal point: ); scanf(%d, &m0); i = i0; m = m0; n=9; / 点的总数 vi0 = 0; / 起点到起点的距离设为0 vi1 = 1; / 划圈的点置值1,其余为-1 vi2 = 0; / 前一个点的编号 while (1) for (j=1; j0) continue; t = aij; if (t 0.0) continue; t += vi0; if (vj0 0) vj0 = t; vj2 = i; else if( t vj0 ) vj0 = t; vj2 = i; t = 1

12、.0e20; for (j=1; j0 | vj0 0) continue; if (vj0 t ) t = vj0; k = j; vk1 = 1.0; i = k; if (k = m) break; for (j=1; j=n; j+) printf(%3d - %5.2f - %5.2f - %5.2fn, j, vj0, vj1, vj2); printf(The least chain is: %d, m); while (1) k = (int) (vm02); printf( - %d, k); m0 = k; if(k = i0) break; puts();练习：(1) 编

13、程实现用Dijkstra方法求下面的无向图中从v1到其它某个节点的距离的最小值，要求其它某节点待定，其序号由键盘输入。图6(2) 思考如何设计一个有类似于高德地图等手导航功能的程序。2. 求解最短路径的Floyd算法1.2 Floyd算法的基本思想Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决网络图中任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包. Floyd算法是一个经典的动态规划算法.从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能：1）直接从A到B，2）从A经过若干个节点X到B.我们假设

14、 dis(A，B)为节点A到节点B的最短路径的长度，对于每一个节点X，我们检查dis(A，X) +dis(X，B) dis(A, B)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比从A直接到B的路径更短，我们便设置dis(A，B) = dis(A, X) + dis(X, B).这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(A, B)中记录的便是A到B的最短路径的距离.2.2 Floyd算法的基本步骤Step 1 用数组disij来记录之间的最短距离;Step 2 初始化disij;若i=j则disij=0, 若之间有边连接则disij的值为该边的权值，否则disij的值为无穷大.Step 3 对

15、k从1到n循环，不断修正任意两点之间的最短距离. 若 disik+diskj disij 则令 disij= disik+diskj，否则disij的值不变. 2.3 Floyd算法的正确性的证明对于任意两点A，B：（1）当从A到B之间的最短路径，在中间没有经过节点或经过1个节点号为1的节点时，算法显然正确.（2）假设A到B经过的最大节点号不超过k-1时，算法得到的最短距离是正确的（3）当A到B的路径上经过的最大节点下标为 k 时，则从A到节点 之间的节点号均不大于k-1，从到B之间所有的节点号也不大于 k-1，由假设2得，A到的距离是中间节点号不超过的最短距离，到B的距离是中间节点号不超过k

16、-1的最短距离，所以A经到B为A，B之间经节点最大编号为 k 的路径中距离的最小值，由算法修正A，B的最短距离，即可得到A，B间节点编号不超过k的距离的最小值.（4）综上所述，算法是正确的2.4 Floyd算法的C程序实现我们编写了Floyd算法的C语言程序求解问题1, 程序见附件，程序运行结果如下：/ Floyd method, 以图1.1中的问题为例#include#define MIN(x,y) (x=y ? x : y)void main() double a1010, t; int i, j, k, n, m, i0, m0, path1010; n=9; for (i=0; i=n

17、; i+) for (j=0; j=n; j+) aij = 1.0e10; for (i=0; i=n; i+) for (j=0; j=9; j+) pathij = j; for (i=0; i=n; i+) aii = 0; a12 = 6; a13 = 3; a14 = 1; a25 = 1; a32 = 2; a34 = 2; a46 = 10; a54 = 6; a56 = 4; a57 = 3; a58 = 6; a65 = 10; a67 = 2; a78 = 4; a98 = 3; a95 = 2; for (k=1; k=n; k+) for(i=1; i=n; i+)

18、for(j=1; j aik + akj ) aij = aik + akj; pathij = pathik; puts(The matrix a:); for (i=1; i=n; i+) for (j=1; j=n; j+) printf(%5.1f , aij); puts(); puts(The matrix path:); for (i=1; i=n; i+) for (j=1; j , i0); i0 = pathi0m0; printf(%dn,m0);练习：(1) 编程实现用Floyd方法求下面的无向图中从v1到其它某个节点的距离的最小值，要求其它某节点待定，其序号由键盘输入。图6