(3)当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b)
FZ(z)=x2y2dxdy=103dy103x2y2dx
yzx
16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4求其中没有一只寿命小于180h的概率.
只,
【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,20),
从而
P{min(X1,X2,X3,X4)180}Xi之间独立P{X1180}gP{X2180}
P{X180}gP{X180}=[1-P{X1180}]g[1-P{X2180}]g[1-P{X3180}]g[1-P{X4180}]
4
=[1-P{X1180}]=1-180-160
=[1-
(1)]4=(0.158)4=0.00063.
17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为
P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,
P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….证明随机变量Z=X+Y的分布律为
i
P{Z=i}=p(k)q(i-k),i=0,1,2,….
k=0
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,
所以
{Z=i}={X+Y=i}
={X=0,Y=i}U{X=1,Y=i-1}ULU{X=i,Y=0}
于是
ii
P{Z=i}=P{X=k,Y=i-k}X,Y相互独立P{X=k}gP{Y=i-k}k=0k=0
k
=P(X=i)gP{Y=k-i}
i=0
方法二:
设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则
X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′,
X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.
19.
设随机变量(X,Y)的分布律为
0
0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05
0
1
2
3
4
5
(1)求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
2)求V=max(X,Y)的分布律;
3)求U=min(X,Y)的分布律;
4)求W=X+Y的分布律.
解】
(1)P{X=2|Y=2}=P{XP{=Y=,Y2}=2}
P{X=2,Y=2}0.051
P{X=i,Y=2}0.252
i=0
所以V的分布律为
V=max(X,Y)
0
1
2
3
4
5
P
0
0.04
0.16
0.28
0.24
0.28
(3)P{U=i}=P{min(X,Y)=i}
=P{X=i,Y³i}+P{X>i,Y=i}
=P{X=i,Y=k}+P{X=k,Y=i}=0,1,2,3,
k=ik=i+1
12345678
0.020.060.130.190.240.190.120.05
题20图解】因(X,Y)的联合概率密度为
1
f(x,y)=πR
0,
1)P{Y0|YX}=P{YP{Y0,YX}X}
f(x,y)d
y0
yx
f(x,y)d
yx
πdR1rdr
π/40πR2
54πdR1rdr
π/40πR2
3/83
1/2=4
=1-P{X£0,Y£0}=1-
(2)P{M0}=P{max(X,Y)0}=1-P{max(X,Y)0}
f(x,y)d=1-=.x044
y0
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少?
题21图
e212
解】区域D的面积为S0=1dx=lnx1e=2.(X,Y)的联合密度函数为
01x1
0,其他.
X,Y)关于X的边缘密度函数为
所以fX
(2)=1.
22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
XY
y1
y2
y3
P{X=xi}=pi
x1
x2
1/8
1/8
P{Y=yj}=pj
1/6
1
而X与Y独立,故P{X=xi}gP{Y=yj}=P{X=xi,Y=yi},从而P{X=x1}´1=P{X=x1,Y=y1}=1.
即:
P{X=x}=1/1=1.
12464
又P{X=x1}=P{X=x1,Y=y1}+P{X=x1,Y=y2}+P{X=x1,Y=y3},即=++P{X=x1,Y=y3},
42481,3
从而P{X=x1,Y=y3}=1.
13
同理P{Y=y2}=1,P{X=x2,Y=y2}=3
3111
又P{Y=yj}=1,故P{Y=y3}=1-1-1=1.
j=1623
3
同理P{X=x}=3.
从而
P{X=x2,Y=y3}=P{Y=y3}-P{X=x1,Y=y3}=1-1=1.故
XY
y1
y2
y3
P{X=xi}=Pi
1
1
1
1
x1
24
8
12
4
x2
1
3
1
3
8
8
4
4
P{Y=yj}=pj
1
6
1
2
1
3
1
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;
(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
【解】
(1)P{Y=m|X=n}=Cmpm(1-p)n-m,0mn,n=0,1,2,L.
(2)P{X=n,Y=m}=P{X=n}gP{Y=m|X=n}
e
=Cnmpm(1-p)n-mgen,nmn,n=0,1,2,L.
24.设随机变量X和Y独立,其中X的概率分布为X~12,而Y的概率密度为f(y),
求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
【解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为
G(u)=P{X+Yu}=0.3P{X+Yu|X=1}+0.7P{X+Yu|X=2}
=0.3P{Yu-1|X=1}+0.7P{Yu-2|X=2}由于X和Y独立,可见
G(u)=0.3P{Yu-1}+0.7P{Yu-2}
=0.3F(u-1)+0.7F(u-2).由此,得U的概率密度为
g(u)=G(u)=0.3F(u-1)+0.7F(u-2)
=0.3f(u-1)+0.7f(u-2).
25.设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P{max{X,Y}≤1}.
解:
因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有
因为X,Y相互独立,所以
f(x,y)=9
0x3,0y3,
x0,y0,x3,y3.
推得P{max{X,Y}1}=1.
26.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
YX
-1
0
1
-1
a
0
0.2
0
0.1
b
0.2
1
0
0.1
c
其中a,b,c为常数,且X的数学期望E(X)=-0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5,记Z=X+Y.求:
(1)
(2)
(3)解
a,b,c的值;
Z的概率分布;
P{X=Z}.
由E(X)=-0.2,可得
-a+c=-0.1.
(1)由概率分布的性质知,
a+b=0.3
解以上关于a,b,c的三个方程得
a=0.2,b=0.1,c=0.1.
(2)Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,
P{Z=-2}=P{X=-1,Y=-1}=0.2,
P{Z=-1}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=-1}=0.1,
P{Z=0}=P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=-1}=0.3,
P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.3,
P{Z=2}=P{X=1,Y=1}=0.1,
即Z的概率分布为
Z
-2
-1
0
1
2
P
0.2
0.1
0.3
0.3
0.1
(3)P{X=Z}=P{Y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.
27.设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),求Z=max{X,Y}的分布函数.
解:
因为X,Y独立同分布,所以FX(z)=FY(z),则FZ(z)=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{x≤z}·P{Y≤z}=[F(z)]2.
28.设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为
P{X=i}=1,i=-1,0,1,
Y的概率密度为fY(y)=
1,0y1,
(1)求P{Z1|X=0};
(2)求Z的概率密度fZ(z)
分析题
(1)可用条件概率的公式求解.题
(2)可先求Z的分布函数,再求导得密度函数.
2)F(z)=P{Zz}=P{X+Yz}
=P{X+Y£z,X=-1}+P{X+Y£z,X=0}+P{X+Y£z,X=1}
=P{Y£z+1,X=-1}+P{Y£z,X=0}+P{Y£z-1,X=1}
=P{Y£z+1}P{X=-1}+P{Y£z}P{X=0}+P{Y£z-1}P{X=1}
=1[P{Y£z+1}+P{Y£z}+P{Y£z-1}]
=[FY(z+1)+FY(z)+FY(z-1)]
fZ(z)=F'Z(z)=1[fY(z+1)+fY(z)+fY(z-1)]
29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,求在Y=y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y).
解:
由第四章第三节所证可知,二维正态分布的不相关与独立性等价,所以f(x,y)=
fX(x)·FY(y),由本章所讨论知,fX/Y(x/y)=f(x,y)=fX(x)gfY(y)=fX(x).
X/YfY(y)fY(y)X
30.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1)求P{X2Y};
2)求Z=X+Y的概率密度fZ(z).
分析已知(X,Y)的联合密度函数,可用联合密度函数的性质P{(X,Y)∈
当z0或z2时,f(z)=0;
当0z1时,f(z)=(2-z)dx=z(2-z);
0
1
(2-z)dx=(2-z)2,z-1
z(2-z)0z1
即Z的概率密度为fZ(z)=(2-z)21z20其他