北邮版概率论答案3.docx

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北邮版概率论答案3

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.解】X和Y的联合分布律如表：

1113

111

C1g111=3

C2g111=3/8

32228

3222

1111

2228

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只

数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.解】X和Y的联合分布律如表：

C32gC223

C33gC122

C4=35

C13gC12gC226

C32gC12gC1212

C33gC122

C4=35

P（0黑,2红,2白）=

C13gC22gC126

C32gC223

C22gC22/C47=1

C4=35

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ

0£x£,0£y£

22其他.

求二维随机变量（X，Y）在长方形域0xπ4,π6yπ3内的概率.

解】如图P{0Xπ,πYπ}公式（3.2）

ππππππ

F（4π,π3）-F（4π,6π）-F（0,π3）+F（0,π6）

ππππππ

=singsin-singsin-sin0gsin+sin0gsin

434636

=2（3-1）.

题3图说明：

也可先求出密度函数，再求概率。

x0,y0,其他.

设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=Ae,fxy=0,

求：

（1）常数A；

（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.

解】

（1）由f（x,y）dxdy=Ae-（3x+4y）dxdy=A=1得A=12

（2）由定义，有

F（x,y）=f（u,v）dudv

-¥-¥

yy12e-（3u+4v）dudv=00

（1-e-3x）（1-e-4y）y0,x0,

0,其他

k（6-x-y）,

0x2,2y4,其他.

（1）

确定常数k；

（2）

求P{X<1，Y<3}；

（3）

求P{X<1.5}；

（4）

求P{X+Y≤4}.

解】

（1）由性质有

题6图

解】

（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

+¥+¥24

f（x,y）dxdy=k（6-x-y）dydx=8k=1,--02

故R=1

（2）P{X1,Y3}=13f（x,y）dydx

-¥-¥

1313

=028k（6-x-y）dydx=8

（3）P{X1.5}=f（x,y）dxdy如图af（x,y）dxdyx1.5D1

=0dx28（6-x-y）dy=32.

（4）P{X+Y4}=f（x,y）dxdy如图bf（x,y）dxdyD2

0x0.2,

fX（x）=0.2

0,其他.

所以

f（x,y）X,Y独立fX（x）gfY（y）

（2）P（YX）=f（x,y）dxdy如

图25e-5ydxdy

0.2x0.2

=dx25e-5ydy=（-5e-5x+5）dx=e-10.3679.

7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求（X，Y）的联合分布密度.

8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

+¥

fY（y）=f（x,y）dx

-¥

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

cx2y,

x2y1,其他.

1）试确定常数c；

2）求边缘概率密度.

解】

（1）

f（x,y）dxdy如图f（x,y）dxdy

-¥-¥D

=-1dxx2cx2ydy=241c=1.

c=.

+¥

（2）fX（x）=f（x,y）dy

-¥

x24xydy

+¥

fY（y）=f（x,y）dx

-¥

-y4xydx

11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

2（1-x4）,-1x1,

其他.

2y,

0y1,

其他.

f（x，y）=

1,yx,0x1,0,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜

+¥

解】fX（x）=f（x,y）dy

-¥

1dy=2x,=-x

0x1,其他.

+fY（y）=f（x,y）dx=

-¥

1dx=1+y,

1dx=1-y,

-1

0y1,其他.

所以

fY|X（y|x）=ff（Xx（,xy））

2x,|y|x1,

0,其他.

yx1,

1-y

-y

1+y

0,其他.

P{X=xi}

=10

C35

=10

C3=

C35

=10

C3=

C52=

P{Y=yi}

12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.

（1）求X与Y的联合概率分布；

（2）X与Y是否相互独立？

【解】

（1）X与Y的联合分布律如下表

（2）因P{X=1}gP{Y=3}=160110

（2）因P{X=2}gP{Y=0.4}=0.20.8=0.160.15=P（X=2,Y=0.4）,

（2）方程a+2Xa+Y=0有实根的条件是

=（2X）2-4Y0

P{X2Y}=f（x,y）dxdy

x2y

求Z=X/Y的概率密度.

解】如图,Z的分布函数FZ（z）=P{Zz}=P{Xz}

（1）当z≤0时，FZ（z）=0

2）当0

（3）当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

FZ（z）=x2y2dxdy=103dy103x2y2dx

yzx

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4求其中没有一只寿命小于180h的概率.

只，

【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4），则Xi~N（160，20），

从而

P{min（X1,X2,X3,X4）180}Xi之间独立P{X1180}gP{X2180}

P{X180}gP{X180}=[1-P{X1180}]g[1-P{X2180}]g[1-P{X3180}]g[1-P{X4180}]

=[1-P{X1180}]=1-180-160

=[1-

（1）]4=（0.158）4=0.00063.

17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，

P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….证明随机变量Z=X+Y的分布律为

P{Z=i}=p（k）q（i-k），i=0，1，2，….

k=0

【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以

{Z=i}={X+Y=i}

={X=0,Y=i}U{X=1,Y=i-1}ULU{X=i,Y=0}

于是

P{Z=i}=P{X=k,Y=i-k}X,Y相互独立P{X=k}gP{Y=i-k}k=0k=0

=P（X=i）gP{Y=k-i}

i=0

方法二：

设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,

X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.

19.

设随机变量（X，Y）的分布律为

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

0.01

0.02

0.04

0.05

0.06

0.08

0.01

0.03

0.05

0.06

0.01

0.02

0.04

0.06

0.05

（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；

2）求V=max（X，Y）的分布律；

3）求U=min（X，Y）的分布律；

4）求W=X+Y的分布律.

解】

（1）P{X=2|Y=2}=P{XP{=Y=,Y2}=2}

P{X=2,Y=2}0.051

P{X=i,Y=2}0.252

i=0

所以V的分布律为

V=max（X,Y）

0.04

0.16

0.28

0.24

0.28

（3）P{U=i}=P{min（X,Y）=i}

=P{X=i,Y³i}+P{X>i,Y=i}

=P{X=i,Y=k}+P{X=k,Y=i}=0,1,2,3,

k=ik=i+1

12345678

0.020.060.130.190.240.190.120.05

题20图解】因（X，Y）的联合概率密度为

f（x,y）=πR

1）P{Y0|YX}=P{YP{Y0,YX}X}

f（x,y）d

πdR1rdr

π/40πR2

54πdR1rdr

π/40πR2

3/83

1/2=4

=1-P{X£0,Y£0}=1-

（2）P{M0}=P{max（X,Y）0}=1-P{max（X,Y）0}

f（x,y）d=1-=.x044

21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图

e212

解】区域D的面积为S0=1dx=lnx1e=2.（X,Y）的联合密度函数为

01x1

0,其他.

X，Y）关于X的边缘密度函数为

所以fX

（2）=1.

22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.

P{X=xi}=pi

1/8

P{Y=yj}=pj

1/6

而X与Y独立，故P{X=xi}gP{Y=yj}=P{X=xi,Y=yi},从而P{X=x1}´1=P{X=x1,Y=y1}=1.

即：

P{X=x}=1/1=1.

12464

又P{X=x1}=P{X=x1,Y=y1}+P{X=x1,Y=y2}+P{X=x1,Y=y3},即=++P{X=x1,Y=y3},

42481,3

从而P{X=x1,Y=y3}=1.

同理P{Y=y2}=1,P{X=x2,Y=y2}=3

3111

又P{Y=yj}=1,故P{Y=y3}=1-1-1=1.

j=1623

同理P{X=x}=3.

从而

P{X=x2,Y=y3}=P{Y=y3}-P{X=x1,Y=y3}=1-1=1.故

P{X=xi}=Pi

P{Y=yj}=pj

23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0

（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；

（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.

【解】

（1）P{Y=m|X=n}=Cmpm（1-p）n-m,0mn,n=0,1,2,L.

（2）P{X=n,Y=m}=P{X=n}gP{Y=m|X=n}

=Cnmpm（1-p）n-mgen,nmn,n=0,1,2,L.

24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~12，而Y的概率密度为f（y），

求随机变量U=X+Y的概率密度g（u）.

【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G（u）=P{X+Yu}=0.3P{X+Yu|X=1}+0.7P{X+Yu|X=2}

=0.3P{Yu-1|X=1}+0.7P{Yu-2|X=2}由于X和Y独立，可见

G（u）=0.3P{Yu-1}+0.7P{Yu-2}

=0.3F（u-1）+0.7F（u-2）.由此，得U的概率密度为

g（u）=G（u）=0.3F（u-1）+0.7F（u-2）

=0.3f（u-1）+0.7f（u-2）.

25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.

解：

因为随即变量服从［0，3］上的均匀分布，于是有

因为X，Y相互独立，所以

f（x,y）=9

0x3,0y3,

x0,y0,x3,y3.

推得P{max{X,Y}1}=1.

26.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

-1

0.2

0.1

0.2

0.1

其中a,b,c为常数，且X的数学期望E（X）=-0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求：

（1）

（2）

（3）解

a,b,c的值；

Z的概率分布；

P{X=Z}.

由E（X）=-0.2，可得

-a+c=-0.1.

（1）由概率分布的性质知，

a+b=0.3

解以上关于a，b，c的三个方程得

a=0.2,b=0.1,c=0.1.

（2）Z的可能取值为-2，-1，0，1，2，

P{Z=-2}=P{X=-1,Y=-1}=0.2，

P{Z=-1}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=-1}=0.1，

P{Z=0}=P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=-1}=0.3，

P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.3，

P{Z=2}=P{X=1,Y=1}=0.1，

即Z的概率分布为

-2

-1

0.2

0.1

0.3

0.1

（3）P{X=Z}=P{Y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.

27.设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F（x）,求Z=max{X,Y}的分布函数.

解：

因为X,Y独立同分布，所以FX（z）=FY（z）,则FZ（z）=P{Z≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{x≤z}·P{Y≤z}=[F（z）]2.

28.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为

P{X=i}=1,i=-1,0,1,

Y的概率密度为fY（y）=

1,0y1,

（1）求P{Z1|X=0};

（2）求Z的概率密度fZ（z）

分析题

（1）可用条件概率的公式求解.题

（2）可先求Z的分布函数，再求导得密度函数.

2）F（z）=P{Zz}=P{X+Yz}

=P{X+Y£z,X=-1}+P{X+Y£z,X=0}+P{X+Y£z,X=1}

=P{Y£z+1,X=-1}+P{Y£z,X=0}+P{Y£z-1,X=1}

=P{Y£z+1}P{X=-1}+P{Y£z}P{X=0}+P{Y£z-1}P{X=1}

=1[P{Y£z+1}+P{Y£z}+P{Y£z-1}]

=[FY（z+1）+FY（z）+FY（z-1）]

fZ（z）=F'Z（z）=1[fY（z+1）+fY（z）+fY（z-1）]

29.设随机变量（X,Y）服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX（x）,fY（y）分别表示X,Y的概率密度,求在Y=y的条件下,X的条件概率密度fX｜Y（x｜y）.

解：

由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以f（x,y）=

fX（x）·FY（y），由本章所讨论知，fX/Y（x/y）=f（x,y）=fX（x）gfY（y）=fX（x）.

X/YfY（y）fY（y）X

30.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

1）求P{X2Y};

2）求Z=X+Y的概率密度fZ（z）.

分析已知（X,Y）的联合密度函数，可用联合密度函数的性质P{（X,Y）∈

当z0或z2时，f（z）=0；

当0z1时，f（z）=（2-z）dx=z（2-z）;

（2-z）dx=（2-z）2,z-1

z（2-z）0z1

即Z的概率密度为fZ（z）=（2-z）21z20其他

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