北邮版概率论答案3.docx

1、北邮版概率论答案3习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和 Y 的联合分布律. 解】X 和 Y 的联合分布律如表：Y X0123101 1 1 31110C1g1 1 1 = 3C2g1 1 1=3/83 2 2 2 83 22231001 1 1 1 =82 2 2 82.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 解】X 和 Y 的联合分布律如表：Y X0123000C32gC22 3C33gC12 2

2、C4 = 35C4 = 3510C13gC12 gC22 6C32gC12 gC12 12C33gC12 2C4 = 35C4 = 35C4 = 352P(0黑,2红,2白)=C13gC22 gC12 6C32gC22 30C22gC22 / C47 = 1C4 = 35C4 = 353.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为0 x ,0 y22 其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域 0 x 4 , 6 y 3 内的概率.解】如图P0 X , Y 公式(3.2) F(4,3)-F(4,6)-F(0,3)+F(0,6) = sin gsin - sin gsin - sin0 gsin +

3、 sin0 gsin4 3 4 6 3 6=2 ( 3 -1).题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.x 0, y 0, 其他.设随机变量（X，Y）的分布密度f(x，y)= Ae , f x y = 0,求：（1） 常数 A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P0X1，0Y2.解】（1） 由 f （x, y）dxdy = Ae-（3x+4y）dxdy = A =1 得 A=12（2） 由定义，有F(x, y) = f (u,v)dudv- - y y12e-(3u+4v)dudv = 00 0, (1- e-3x)(1- e-4y) y 0, x 0,0, 其他k(6

4、- x - y),0,0 x 2,2 y 4, 其他.（1）确定常数 k ；（2）求 P X 1 ，Y 3；（3）求 P X1.5；（4）求 P X+ Y 4.解】（1） 由性质有题6图解】（1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为 + + 24 f (x, y)dxdy = k(6 - x - y)dydx =8k =1, - - 02故 R = 18(2) PX 1,Y 3 = 1 3f (x, y)dydx- -1313= 0 2 8 k(6 - x - y)dydx = 8(3) PX 1.5 = f (x, y)dxdy如图a f (x, y)dxdy x

5、 1.5 D1= 0dx 28(6 - x - y)dy = 32.(4) PX +Y 4 = f (x, y)dxdy如图b f (x, y)dxdy D2 , 0 x 0.2,fX (x)= 0.2 0, 其他.所以f(x,y)X,Y独立fX(x)gfY(y)(2) P(Y X)= f (x, y)dxdy如y x图 25e-5ydxdyD0.2 x 0.2= dx 25e-5ydy = (-5e-5x + 5)dx =e-1 0.3679.7.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为求（X，Y）的联合分布密度.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为+fY(y)= f(x,y)dx-题

6、10 图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= cx2y,0,x2 y 1, 其他.1） 试确定常数 c；2） 求边缘概率密度.解】（1） f (x, y)dxdy如图 f (x, y)dxdy- - D= -1dx x2 cx2 ydy =241c =1.21c = .4+(2) fX (x) = f (x, y)dy-= xx2 4 x ydy0,+fY (y) = f (x, y)dx- - y 4 x ydx0,11.设随机变量（X，Y）的概率密度为21x80,2(1- x4), -1 x 1,其他.72 y,0,0 y 1,其他.f（x，y）= 1, y x,0 x

7、 1, 0, 其他.求条件概率密度 fYX（yx）， fX+解】 fX (x) = f (x, y)dy- x1dy = 2x, = - x 0,0 x 1, 其他.+ fY (y) = f (x, y)dx = - 1dx = 1+ y, 1dx =1- y,y0,-1 y 0,0 y 1, 其他.所以fY|X(y | x) = ff(Xx(,xy)2x , | y| x 1,0, 其他.y x 1,1- y1, -y x 1,1+ y0, 其他.X Y345PX = xi11122336C3C5= 10C35= 10C3 =C510102011223C35= 10C3 =C51010300

8、111C52=1010PY = yi13610101012.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大 的号码为 Y.（1） 求 X 与 Y 的联合概率分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】（1） X 与 Y 的联合分布律如下表(2) 因 PX =1gPY = 3= 160 110(2) 因 PX = 2gPY = 0.4= 0.2 0.8 = 0.16 0.15 = P(X = 2,Y = 0.4),（2） 方程a + 2Xa +Y = 0有实根的条件是 = (2X)2 - 4Y 0PX 2 Y = f (x, y)dxdyx2 y求 Z=

9、 X /Y 的概率密度 .X解】如图,Z 的分布函数 FZ (z) = PZ z = PX z(1) 当 z0 时， FZ (z) = 02） 当 0z i,Y = i= PX = i,Y = k+ PX = k,Y = i = 0,1,2,3,k = i k = i +11 2 3 4 5 6 7 80.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05题 20 图 解】因（X，Y）的联合概率密度为 1f(x,y) = R 0,1)PY 0|Y X=PYP Y0 ,YX X f(x,y)d y 0y x f(x,y)d y x d R 1 rdr /4 0 R2 54

10、 d R 1 rdr /4 0 R23/8 31/2=4=1- PX 0,Y 0 =1-(2) PM 0= Pmax(X,Y) 0 =1- Pmax(X,Y) 0 f(x,y)d =1- = . x 0 44y 021.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0，x=1,x=e 所围成，二维随机变量（X，Y） 在区域 D 上服从均匀分布，求（X，Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？题 21 图e2 1 2解】区域 D 的面积为 S0= 1dx = lnx 1e = 2. （X,Y）的联合密度函数为01 x 10, 其他.X，Y）关于 X 的边缘密度函数为所以 fX (

11、2) = 1.22.设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律中的部分数值 .试将其余数值填入表中的空白处.X Yy1y2y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61而X与Y独立，故PX = xigPY = yj=PX =xi,Y = yi, 从而PX =x11 =PX =x1,Y = y1= 1.即：PX =x= 1 /1 = 1.1 24 6 4又PX = x1 = PX =x1,Y = y1+PX =x1,Y = y2+PX =x1,Y = y3, 即 = + + PX = x1,Y = y3,4 24

12、 8 1, 3从而PX =x1,Y = y3= 1 .13同理PY =y2=1, PX =x2,Y = y2=33 1 1 1又 PY =yj=1,故PY = y3=1-1-1 =1.j=1 6 2 33同理PX =x =3.从而PX =x2,Y = y3= PY = y3-PX =x1,Y = y3=1- 1 = 1. 故X Yy1y2y3PX =xi=Pi1111x1248124x213138844PY =yj=pj161213123.设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 （0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为 p（0p1），且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，

13、求：（1）在发 车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概 率分布.【解】（1） PY =m|X =n=Cmpm（1-p）n-m,0 m n,n=0,1,2,L .(2) PX =n,Y =m=PX = ngPY =m|X =ne= Cnm pm(1- p)n-mge n,n m n,n=0,1,2,L.24.设随机变量X 和Y独立，其中X的概率分布为X 1 2 ，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【解】设 F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为G(u)=PX +Y u=0.3PX

14、 +Y u|X =1+0.7PX +Y u|X =2= 0.3PY u-1|X =1+0.7PY u-2|X =2 由于 X 和 Y 独立，可见G(u) = 0.3PY u-1+0.7PY u-2=0.3F(u-1)+0.7F(u-2). 由此，得 U 的概率密度为g(u) = G (u) = 0.3F (u -1) + 0.7F (u - 2)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2).25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 PmaxX,Y 1.解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有因为 X，Y 相互独立，所以f (x,y) = 90 x 3,0

15、y 3,x 0,y 0,x 3,y 3.推得 PmaxX,Y 1=1.26. 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为Y X-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中 a,b,c 为常数，且 X的数学期望 E(X)= -0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求：（1）（2）（3） 解a,b,c 的值；Z 的概率分布；PX=Z.由E(X) = -0.2，可得-a+ c = -0.1.（1） 由概率分布的性质知，a+b=0.3解以上关于 a，b，c的三个方程得a = 0.2,b = 0.1,c = 0.1.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，PZ = -2= PX =-1

16、,Y =-1=0.2，PZ = -1= PX =-1,Y =0+PX =0,Y = -1 = 0.1，PZ =0=PX =-1,Y =1+PX =0,Y =0+PX =1,Y = -1 = 0.3 ，PZ =1=PX =1,Y =0+PX =0,Y =1 = 0.3 ，PZ =2=PX =1,Y =1 = 0.1，即 Z 的概率分布为Z-2-1012P0.20.10.30.30.1（3） PX =Z=PY = 0 = 0.1+ b + 0.2 = 0.1+ 0.1+ 0.2 = 0.4 .27.设随机变量 X,Y 独立同分布,且X 的分布函数为 F（x）,求 Z=maxX,Y的分布函数.解：因

17、为 X,Y 独立同分布，所以 FX（z）=FY（z）,则 FZ（z）=PZz=PXz，Yz=Px zPYz=F（z）2.28.设随机变量X 与Y相互独立，X的概率分布为PX =i= 1, i = -1, 0,1,Y的概率密度为 fY（y）= 1, 0 y 1,(1)求PZ 1| X =0;(2)求Z的概率密度 fZ(z)分析 题(1)可用条件概率的公式求解.题(2)可先求Z 的分布函数，再求导得密度函数.2)F (z)=PZ z=PX +Y z=PX +Y z,X = -1+ PX +Y z,X =0+PX +Y z,X =1=PY z+1,X =-1+PY z,X = 0+ PY z-1,X

18、 =1=PY z+1PX = -1+ PY zPX =0+PY z -1PX =1=1PY z+1+PY z+ PY z-1= FY(z+1)+ FY(z)+ FY(z -1)fZ(z)=FZ(z)=1fY(z+1)+ fY(z)+ fY(z-1)29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度, 求在Y=y的条件下,X的条件概率密度fXY(xy).解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以 f(x,y)=fX (x) FY(y)，由本章所讨论知， fX/Y(x/y)= f(x,y) = fX (x)gfY (y) = fX(x).X/Y fY(y) fY(y) X30.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为1)求PX 2Y;2)求Z=X+Y的概率密度 fZ(z).分析 已知(X,Y)的联合密度函数，可用联合密度函数的性质 P(X,Y) 当z 0或z 2时， f(z)=0；当0 z 1时， f (z)= (2 - z)dx = z(2-z);0 1(2 - z)dx = (2 - z)2, z-1 z(2-z) 0 z 1即Z的概率密度为 fZ(z)= (2-z)2 1 z 2 0 其他