新课标人教A数学必修二2334直线平面垂直的判定及其性质课件.docx
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新课标人教A数学必修二2334直线平面垂直的判定及其性质课件
2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质
【课标要求】
1.掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系.
2.掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线.
3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.
【核心扫描】
1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，培养空间观念、空间想象能力以及逻辑推理能力，能准确解决相关问题，提升转化能力.（重点）
2.性质定理的推导与熟练应用.（难点）
挑战自我i点点落实
自学导引
线面垂直、面面垂直的性质定理
名称
知识
线面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
定理
内容
垂直于同一个平面的两条直线平行.
两个平面垂直，则一个平面内垂直于父线的直线与另一个平面垂直•
a丄0
U=>l_L/3
/丄加
试一试：
由线面垂直的性质定理知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗？
名师点睛
1.对直线与平面垂直性质定理的几点认识
（1）直线与平面垂直的性质定理阐明了在直线与平面垂直的条件下，可得岀直线与直线平行的结论.
（2）该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化.
2.平面与平面垂直的性质定理
（1）定理成立的条件有两个；
1两平面垂直；
2直线在其中一个面内且与两平面的交线垂直.
（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直或线线垂直.
（3）定理还说明了若两个平面垂直，过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内.
⑷解题过程中遇到面面垂直的问题时，通常利用此定理转化为线面垂直.
3.线、面垂直的转换关系
线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下：
判定
线褒垂直話羞线面垂直話童面宙垂直t性质性质|
当证明垂直关系时，要灵活地应用垂直之间的转换关系.当运
用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其
中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面
垂直或线线垂直.
题型一线面垂直性质定理的应用
【例1】如图，在正方体AXBXCXDX-ABCD中，EF与异面直线
AC.4Q都垂直相交.
求证：
EF//BD{.
证明如图所示，连接AB】、BQ】、B、C、BD,
•••DDi丄平面ABCD,
ACC平面ABCD，•••DD」AC・
又AC丄BD:
.AC丄平面BDDb，
又BD]U平面BDD、B\,
:
.AC1.BDX.
同理可证BDi丄5C,•••BDi丄平面AB{C.
TEF丄AC,EF丄AQ,又4Q〃B]C,・・・EF丄5C.
•••EF丄平面ABjC,:
.EF//BDX.
规律方法线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在有线面垂直的条件下，要得平行线，就应考虑线面垂直的性质定理.
【变式1】如图所示，在正方体ABCD—AXB{CXDX中，M是A〃上一点，N是AC的中点，MN丄平面AXDC.
求证：
（l）MN//ADl；
（2）M是的中点.
A
M
B
证明（l）・・・4DD]4i为正方形,AADilAjD.
又VCD丄平面ADDXAV
・・・CD丄ADi.
•.•4]"CD=D
••・4Di丄平面AjDC.
又•:
MN丄平面AXDC,
:
.MN//ADx.
（2）连接ON,在厶AXDC中,AiO=OD,A\N=NC,
・•・ON繙gcD繙,：
.ON//AM,
丈：
MN//OA,
・•・四边形AMNO为平行四边形,:
.ON=AM.
\*ON=^AB,:
.AM=^AB,・・・M是AB的中点,
题型二面面垂直性质定理的应用
【例2】如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
解已知a丄〃0丄力aC]/3=l.
求证：
/丄％
法一在y内取一点P,作PA垂直a与卩的交线于A,PB垂
直0与卩的交线于b则B4丄弘PB邛.•：
l=aCB，：
.l±PA,I丄PB.
XB4nPB=P,且B4Uy,PBUy,
•I/丄卩.
法二在a内作直线加垂直于a与卩的交线，在0内作直线〃垂直于0与y的交线，
Ta丄力0丄〃・
•\m//〃•乂nU/3,m//p.乂加Ua,aCp=l,•\m///./e/Xy.
规律方法面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质.
【变式2】如图，在三棱锥P-ABC中，丄平面ABC,平面丄平面PBC.求证：
BCLAB・
证明在平面B4B内，作ADLPB于D•••平面刊B丄平面PBC，
且平面PABn平面PBC=PB.
:
.AD丄平面PBC.
又BCU平面FBC,:
.AD丄BC.
又丄平面ABC,BCU平面ABC,
•••B4丄BC,:
.BC丄平面
又ABU平面
:
.BC±AB.
题型三线面、面面垂直的综合应用
【例3】如图所示，已知在矩形ABCD中，过4作S4丄平面
AC,再过4作4E丄SB交SB于点过点E作EF丄SC交SC
于点F.
⑴求证：
4F丄SC；
（2）若平面AEF交SD于点G.求证：
4G丄SD
［规范解答］
（1）V5A丄平面AC,
BCU平面AC,・・・S4丄BC.
T四边形ABCD为矩形，:
.ABLBC,
:
・BC丄平面SAB,:
-BC±AE.^SB_LAE,
:
.AE丄平面SBC,:
.AE丄SC.
又EF丄SC,:
.SC丄平面AEF,AAF±5C.（6分）
（2）*.•5A丄平面AC,・・・S4丄DC,
又AD丄DC,:
.DC丄平面SAD.：
.DC丄AG.
又由⑴有SC丄平面AEF,4GU平面AEF,
:
・SC丄4G,:
.AG丄平面SDC,AAG±SD.（12分）
【变式3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且ZDAB=60°,侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD・
（1）若G为AD的中点，
求证：
BG丄平面
（2）求证：
AD丄
P
B
解
（1）如图，在菱形ABCD中，连接BD,由已知ZDAB=60°,
・•・△ABD为正三角形，
TG是AD的中点，:
.BG丄4D
•・•平面B4D丄平面ABCD,
且平面PADn平面ABCD=AD,
:
.BG丄平面PAD.
（2）如图，连接PG.
是正三角形，G是AD的中点,
:
.PGLAD,由
（1）知BG丄AD.
又・.・PG0BG=G.
:
.AD丄平面PBG.而FBU平面PBG.:
.AD丄PB.
误区警示误把结论当题设
如图所示，在正三棱柱ABC-A{B{Cy中，D是侧棱38]
求证：
平面ADCr丄平面AjACQ.
［错解］TD是棱B5的中点,・・・BD=EQ.又•••三棱柱ABC-AXB{C{为正三棱柱，:
.AB=B{CX,ZABD=ZC［BiD,
・•・△ABDmC/iD
:
.AD=CXD.取4G中点E,连接DE,
则DE丄ACb而AQ是平面ADCX与平面AlACCl的交线,・•・平面ADC{丄平面AXACC{.
思维突破a要证的是平面ADC】丄平面A0CQ,错解中把它作为了条件.
［正解］如图，取AG中点E,
EF、FB、,
则EF繙如人
又TD为5B中点，
/.BiD繙*4/.
:
.EF繙B\D・
连接DE，取A]Ci中点F,连接
・•・四边形EDB.F为平行四边形，
:
・DE//B\F.
又I三棱柱ABC-A.B,G为正三棱柱,
・•・△401C1为正三角形，
:
.B{F丄AG.
又平面4/iCi丄平面4/CCi，
:
.BrF丄平面AiACCi，
・・・DE丄平面ApACCi.
而DEU平面4DG，
・•・平面ADCi丄平面AiACCi.
追室込有时候利用面面垂直的性质定理来寻找垂线，但是证明时要分清求证的结论与题设.
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