普通高等学校招生全国统一考试数学带答案解析.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学带答案解析
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2•回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若z=1+i,则|z2Ez|=
A.0B.1C.J2D.2
2.设集合A={x|x2-4w,0}B={x|2x+a<0}且AQB={x|-2x^1},则a=
A.-B.-2C.2D.4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值
为
12,到y轴的距离为9,则p=
10
30
由此散点图,在109至409之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率
褊度厂C
y和温度x的回归方程
A.
y
abx
C.
y
x
abe
6.函数
f(x)x
A.
y
2x1
C.
y
2x3
7.设函数
f(x)
类型的是
2x3的图像在点(1,f
(1))处的切线方程为
cos(
C.
10n
9
4n
3
8.(x
2
J(x
x
C.15
2
abx
ablnx
2x1
2x1
x弓在[nn的图像大致如下图,贝yf(x)的最小正周期为
6
y)5的展开式中x3y3的系数为
7n
6
3n
2
10
D.20
9•已知
(0,n,且3cos28cos5,则sin
A.空
3
B•2
3
C1
3
D.空
9
10•已知A,B,C为球O的球面上的三个点,OO,ABC的外接圆,若OO,的面积为4n,
ABBCACOO,,则球O的表面积为
A•64nB•48nC.36nD•32n
22
11•已知OM:
xy2x2y20,直线l:
2xy20,P为I上的动点,过点P作OM的切
线PA,PB,切点为AB,当|PM||AB|最小时,直线AB的方程为
A•2x
y1
0
B•2xy10
C
2xy10
D•2xy10
a
12•若2
log2a
4b
2log4b,则
A•a
2b
B•a2b
C
ab2
D•ab2
二、填空题:
本题共
4小题,每小题5分,共
20分。
2xy20,
13•若x,y
满足约束条件
xy10,则z-x+7y的最大值为
y10,
14•设a,b为单位向量,且|ab|1,则|ab|.
22
15•已知F为双曲线C:
X2^21(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于xab
轴•若AB的斜率为3,则C的离心率为.
16•如图,在三棱锥P-\BC的平面展开图中,AC=1,ABAD3,AB丄AC,AB丄AD,/CAE=30°
贝Hcos/FCB=.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
设{a.}是公比不为1的等比数列,ai为a2,83的等差中项.
(1)求{気}的公比;
(2)若q1,求数列{nan}的前n项和.
18.(12分)
如图,D为圆锥的顶点,0是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AEAD.△ABC是底面的内接正
三角形,P为DO上一点,PO-^DO.
6
(1)证明:
PA平面PBC;
(2)求二面角BPCE的余弦值.
19.(12分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行
下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其
中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束•
经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空•设每场比赛双方获胜的概率都为1,
2
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
20.(12分)
2
X2
已知A、B分别为椭圆E:
py1(a>1)的左、右顶点,
a
线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:
直线CD过定点.
21.(12分)
已知函数f(x)exax2X.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
1
(2)当x》0寸,f(x)>-x3+1,求a的取值范围.
2
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
xcoskt,
在直角坐标系xOy中,曲线G的参数方程为k(t为参数).以坐标原点为极点,X轴正半轴为
ysint
极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos16sin30.
(1)当k1时,C1是什么曲线?
(2)当k4时,求^与C2的公共点的直角坐标.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)|3x1|2|x1|.
(1)画出yf(x)的图像;
(2)求不等式f(x)f(x1)的解集.
参考答案
选择题答案
一、选择题
1.D
2.B
3.C
4.C
5.D
6.B
7.C
8.C
9.A
10.A
11.D
12.B
非选择题答案
二、填空题
13.114...315.216.-
4
三、解答题
2
17.解:
(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1a?
a?
即2印agag.
所以q2q20,解得q1(舍去),q2.
故{an}的公比为2.
(2)设Sn为{nan}的前n项和.由
(1)及题设可得,an
(2)n1所以
Sn12
(2)川n
(2)n1
2Sn22
(2)2川(n1)
(2)n1n
(2)n.
可得3Sn1
(2)
(2)2川
(2)n1n
(2)n十n
(2)n所以缶1(3n1)
(2)".
99
又PA2PC2AC2,从而PAPC.
Oxyz.
由题设可得E(0,1,0),A(0,1**'°),C(于,如心.
所以EC(弓、詁启(°,1
可取m
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:
1
甲连胜四场的概率为16;
1
乙连胜四场的概率为116;
所以需要进行第五场比赛的概率为1丄丄1m.
161684
(3)丙最终获胜,有两种情况:
1
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为丄.
8
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:
胜
胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为
11117
因此丙最终获胜的概率为§16§S花.
20.解:
(1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则AG(a,1),gB=
2
所以E的方程为—+y2=1.
9
(2)设C(X1,y1),D(X2,y2),P(6,t).
若t丰0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-由于直线PA的方程为y=9(x+3),所以yE(X1+3).
直线PB的方程为y=i(xH3),所以y2=1
33
=y2(X1+3).
(X23)(X23)
(X2-3).
可得3y1
2
由于电
9
(X2£)
2
y21,
2
故y2
,可得27y2『2(为3)(X23),
即(27m
2)%y2
m(n
3)(%y2)
(n
9
3)0.①
将xmy
所以y1y2
2
n代入乞
9
mn
~2T
m9
代入①式得
(27m2
)(n
解得n=43(含去),
3n=一
2
故直线CD的方程为
2
1得(m
2
9)y
2
2mnyn90.
yy
2
n
~2m
9)
2m(n3)mn
22
(n3)(m
9)0.
x=my
3,即直线cd过定点(;,
0).
3
若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(—,0).
2
3
综上,直线CD过定点(-,0).
2
f(x)>0•所以f(乂)在(-o0)单调递减,
21.解:
(1)当a=1时,f(x)=ex+/-,贝Uf(x)=eX+2x-.故当x€(-oo0)时,f(x)<0;当x€(0,+x)时,在(0,+o)单调递增.
(2)f(x)
设函数g(x)
13
x
2
1
(2
g(x)(1x
x3
13
1等价于(2x
3ax2
fx[x2
1x(x
2
2ax
1)ex1.
ax2
(2a
x1)e
3)x
x
(x
0),
2ax
1)e
x
4a2]e
2a1)(x2)e.
1
(i)若2a+1W0,即a-,则当x€(0,
=1,故当x€(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
11
(ii)若0<2a+1<2,即-a,则当x€(0,2a+1)u(2,+^)寸,
所以g(x)在(0,2a+1),(2,+s)单调递减,
-27一2
g
(2)=(7-4a)ew1即a>.
4
2)时,g(x)>0.所以g
(2a+1,2)单调递增
0)在(0,2)单调递增,而g(0)
g'(x)<0;当x€(2a+1,2)时,g'(x)>0.
.由于g(0)=1,所以g(x)w当且仅当
7e2
4
1丄
a-时,g(x)w1.
113
(iii)若2a+1>2,即a-,则g(x)W_x
22
z13
(x
2
所以当
由于0
故当a
综上,
解:
当
1)ex.
7e21
[-一,一),故由(ii)
42
一时,g(x)w1.
a的取值范围是
k=1时,Ci:
(2)当k=4时,Ci:
C2的直角坐标方程为
可得
x
1)ew1.
7e2
[〒
).
xcost,22
s『t,消去参数t得xy1,故曲线G是圆心为坐标原点,半径为1的圆.
4x
由xy1,解得
4x16y30
cost,
・4丄
sint,
16y
1
x-
4
1
y;
消去参数t得G的直角坐标方程为x.y1
11
故g与C2的公共点的直角坐标为(冇).
1
x3,x,
3
1
23.解:
(1)由题设知f(x)5x1,—x1,3
x3,x1.
yf(x)的图像如图所示.
(2)函数y
yf(x)的图像与y
711
f(x1)的图像的交点坐标为(一,).
66
由图像可知当且仅当
x-时,yf(x)的图像在yf(x1)的图像上方,
6
故不等式f(x)f(x
1)的解集为(,Z).
6
i
丙上场后连胜三场的概率为1
8