[答案] D
由题悟法
1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤
（1）准确判断简单命题p、q的真假；
（2）判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
（1）p∨q：
p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；
（2）p∧q：
p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；
（3）綈p：
与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
以题试法
1．
（1）如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．
其中正确的结论是（ ）
A．①③B．②④
C．②③D．①④
（2）（2012·江西盟校联考）已知命题p：
“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：
“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，＋∞）B．[1,4]
C．[e,4]D．（－∞，1]
解析：
（1）选A “非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．
（2）选C “p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0,1]，a≥ex，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.
全称命题与特称命题的真假判断
典题导入
[例2] 下列命题中的假命题是（ ）
A．∀a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列
B．∃x0∈（－∞，0），2x0<3x0
C．∀x∈R,3x≠0
D．∃x0∈R，lgx0＝0
[自主解答] 对于A，an＋1－an＝a（n＋1）＋b－（an＋b）＝a常数．A正确；对于B，∀x∈（－∞，0），2x>3x，B不正确；对于C，易知3x≠0，因此C正确；对于D，注意到lg1＝0，因此D正确．
[答案] B
由题悟法
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
以题试法
2．（2012·湖南十二校联考）下列命题中的真命题是（ ）
A．∃x0∈R，使得sinx0cosx0＝
B．∃x0∈（－∞，0），2x0>1
C．∀x∈R，x2≥x－1
D．∀x∈（0，π），sinx>cosx
解析：
选C 由sinxcosx＝
，得sin2x＝
>1，故A错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B，D错误；因为x2－x＋1＝
2＋
>0恒成立，所以C正确．
全称命题与特称命题的否定
典题导入
[例3] （2013·武汉适应性训练）命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（ ）
A．所有能被2整除的整数都是奇数
B．所有不能被2整除的整数都不是奇数
C．存在一个能被2整除的整数是奇数
D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数
[自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.
[答案] D
若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．
答案：
所有能被2整除的整数都不是奇数
由题悟法
1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
3．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假相反．
4．常见词语的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p（x）真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p（x0）假
以题试法
3．（2012·辽宁高考）已知命题p：
∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≥0，则綈p是（ ）
A．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0
B．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0
D．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0
解析：
选C 命题p的否定为“∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0”．
[典例] （2012·湖北高考）命题“存在一个无
理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
[尝试解题] 特称命题的否定为全称命题，即将“存在”改为“任意”，并将其结论进行否定．原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
[答案] B
——————[易错提醒]——————————————————————————
1.因只否定量词不否定结论，而误选A.
2.对含有一个量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律.
——————————————————————————————————————
针对训练
1．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________．
解析：
全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为：
∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3.
答案：
∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3
2．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．
解析：
省略了全称量词“任何一个”，否定为：
有些可以被5整除的数，末位不是0.
答案：
有些可以被5整除的数，末位不是0
1．将a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2改写成全称命题是（ ）
A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2
解析：
选D 全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2对于全体实数都成立，故选D.
2．（2012·山东高考）设命题p：
函数y＝sin2x的最小正周期为
；命题q：
函数y＝cosx的图象关于直线x＝
对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真 B．q为真
C．p∧q为假D．p∨q为真
解析：
选C 命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题．
3．（2013·广州模拟）已知命题p：
所有有理数都是实数，命题q：
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（綈p）∨qB．p∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∨（綈q）
解析：
选D 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈p为假命题，綈q为真命题，所以（綈p）∨（綈q）为真命题．
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．∃m∈R，使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）是偶函数
B．∃m∈R，使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）是奇函数
C．∀m∈R，函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）`都是偶函数
D．∀m∈R，函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）都是奇函数
解析：
选A 由于当m＝0时，函数f（x）＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）为偶函数”是真命题．
5．（2012·福建高考）下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x0∈R，ex0≤0
B．∀x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是
＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
解析：
选D 因为∀x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出
＝－1，故排除C.
6．（2012·石家庄质检）已知命题p1：
∃x0∈R，x
＋x0＋1<0；p2：
∀x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是（ ）
A．（綈p1）∧（綈p2）B．p1∨（綈p2）
C．（綈p1）∧p2D．p1∧p2
解析：
选C ∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x2＋x＋1<0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴（綈p1）∧p2为真命题．
7．（2012·“江南十校”联考）下列说法中错误的是（ ）
A．对于命题p：
∃x0∈R，使得x0＋
>2，则綈p：
∀x∈R，均有x＋
≤2
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
解析：
选D 显然选项A正确；对于B，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，选项B正确；对于C，原命题的逆否命题是：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项C正确；对于D，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故选项D错误．
8．（2013·石家庄模拟）已知命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：
∃x0∈R，x
＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＝1或a≤－2B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1D．－2≤a≤1
解析：
选A 若命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.
若命题q：
∃x0∈R，x
＋2ax0＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4（2－a）≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题所以a＝1或a≤－2.
9．命题“存在x0∈R，使得x
＋2x0＋5＝0”的否定是________．
答案：
对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
10．已知命题p：
“∀x∈N*，x>
”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________（填“真”或“假”）．
解析：
q：
∃x0∈N*，x0≤
，当x0＝1时，x0＝
成立，故q为真．
答案：
∃x0∈N*，x0≤
真
11．若命题“存在实数x0，使x
＋ax0＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：
由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
答案：
（－∞，－2）∪（2，＋∞）
12．若∃θ∈R，使sinθ≥1成立，则cos
的值为________．
解析：
由题意得sinθ－1≥0.又－1≤sinθ≤1，∴sinθ＝1.
∴θ＝2kπ＋
（k∈Z）．故cos
＝
.
答案：
13．已知命题p：
∃a0∈R，曲线x2＋
＝1为双曲线；命题q：
≤0的解集是{x|1①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（綈q）”是真命题；③命题“（綈p）∨q”是真命题；④命题“（綈p）∨（綈q）”是真命题．其中正确的是________．
解析：
因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题“p∧q”是假命题，命题“p∧（綈q）”是真命题，命题“（綈p）∨q”是假命题，命题“（綈p）∨（綈q）”是真命题．
答案：
②④
14．下列结论：
①若命题p：
∃x0∈R，tanx0＝2；命题q：
∀x∈R，x2－x＋
>0.则命题“p∧（綈q）”是假命题；
②已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是
＝－3；
③“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：
“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．
其中正确结论的序号为________．（把你认为正确结论的序号都填上）
解析：
在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧（綈q）”是假命题是正确的．在②中l1⊥l2⇔a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a、b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：
“设a、b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．
答案：
①③
1．下列说法错误的是（ ）
A．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：
若“a≠0，则ab≠0”
C．若命题p：
∃x0∈R，ln（x
＋1）<0，则綈p：
∀x∈R，ln（x2＋1）≥0
D．“sinθ＝
”是“θ＝30°”的充分不必要条件
解析：
选D sinθ＝
是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.
2．（2012·“江南十校”联考）命题p：
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：
若函数f（x）在（－∞，0]及（0，＋∞）上都是减函数，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数．下列说法中正确的是（ ）
A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题
C．綈p为假命题D．綈q为假命题
解析：
选B ∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f（x）＝
综上可知，“p或q”是假命题．
3．已知命题p：
“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：
若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，∴m≤1.
答案：
（－∞，1]
4．下列四个命题：
①∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2；②对∀x∈R，sinx＋
≥2；③对∀x∈
，tanx＋
≥2；④∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝
.
其中正确命题的序号为________．
解析：
∵sinx＋cosx＝
sin
∈[－
，
]；
故①∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2错误；
④∃x0∈R，使sinx0＋cosx0＝
正确；
∵sinx＋
≥2或sinx＋
≤－2，
故②对∀x∈R，sinx＋
≥2错误；
③对∀x∈
，tanx>0，
>0，由基本不等式可得tanx＋
≥2正确．
答案：
③④
5．设命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：
实数x满足
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：
（1）由x2－4ax＋3a2<0，得（x－3a）（x－a）<0.
又a>0，所以a当a＝1时，1由
解得
即2所以q为真时，2若p∧q为真，则
⇔2所以实数x的取值范围是（2,3）．
（2）设A＝{x|x≤a，或x≥3a}，B＝{x|x≤2，或x>3}，
因为綈p是綈q的充分不必要条件，
所以AB.
所以03，即1所以实数a的取值范围是（1,2]．
6．已知命题p：
方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：
只有一个实数x0满足不等式x
＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．
解：
由2x2＋ax－a2＝0，得（2x－a）（x＋a）＝0，
∴x＝
或x＝－a，
∴当命题p为真命题时，
≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x
＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p∨q”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为
.
1．（2012·济宁模拟）有下列四个命题：
p1：
若a·b＝0，则一定有a⊥b；
p2：
∃x，y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny；
p3：
∀a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝a1－2x＋1都恒过定点
；
p4：
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F≥0.其中假命题的是（ ）
A．p1，p4B．p2，p3
C．p1，p3D．p2，p4
解析：
选A 对于p1：
∵a·b＝0⇔a＝0或b＝0或a⊥b，当a＝0，则a方向任意，a，b不一定垂直，故p1假，否定B、D，又p3显然为真，否定C.
2．若命题p：
关于x的不等式ax＋b>0的解集是
，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集是{x|a解析：
依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．
答案：
綈p，綈q
3．已知p：
方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：
方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解：
若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根x1，x2，
则
即
解得m>2，即p：
m>2.
若方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根，
则Δ＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）<0.
解得11∵p或q为真，p且q为假，
∴p、q两命题应一真一假，即p为真、q为假或p为假、q为真．
∴
或
解得m≥3或1∴m的取值范围是（1,2]∪[3，＋∞）．
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