河南省平顶山市学年高二下学期期末调研考试数学文试题.docx
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河南省平顶山市学年高二下学期期末调研考试数学文试题
【全国市级联考】河南省平顶山市2020-2021学年高二下学期期末调研考试数学（文）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．设为虚数单位，则（）
A．B．C．D．
2．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
那么d
A．aB．bC．cD．d
3．下列命题中的假命题是（）
A．，B．，
C．，D．，
4．设某大学的女生体重y（单位：
kg）与身高x（单位：
cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
5．双曲线虚轴的一个端点为，焦点为、，，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）
A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元
8．已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且则的方程为（）
A．B．C．D．
9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：
“是乙或丙获奖．”乙说：
“甲、丙都未获奖．”丙说：
“我获奖了．”丁说：
“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．曲线在点处切线的斜率等于（）
A．B．C．D．
11．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（）
A．B．C．D．
12．设直线与函数，的图像分别交于点，，则的最小值为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．平面上有条直线，其中，任意两条直线不平行，任意三条直线不共点，那么这些直线的交点个数为__________．
14．曲线在点处的切线方程是__________．
15．已知点是抛物线上的一个动点，则到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为__________．
16．设，如果关于的方程，，至少有一个有实数根，那么的取值范围是__________．
三、解答题
17．设函数在及时取得极值．
（1）求的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．
18．微信红包是一款年轻人非常喜欢的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各种型号的手机在相同环境下抢到红包的个数进行统计，得到如下数据：
品牌型号
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
甲品牌（个）
4
3
8
6
12
乙品牌（个）
5
7
9
4
3
红包个数
手机品牌
优良
一般
合计
甲品牌（个）
乙品牌（个）
合计
（Ⅰ）如果抢到红包个数超过个的手机型号为“优良”，否则为“一般”，请完成上述表格，并据此判断是否有的把握认为抢到红包的个数与手机品牌有关？
（Ⅱ）不考虑其它因素，现要从甲、乙两品牌的种型号中各选出种型号的手机进行促销活动，求恰有一种型号是“优良”，另一种型号是“一般”的概率；
参考公式：
随机变量的观察值计算公式：
，
其中.临界值表：
0.10
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
19．为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法.为此，相关部分在该市随机调查了户居民六月份的用电量（单位：
）和家庭收入（单位：
万元），以了解这个城市家庭用电量的情况.
用电量数据如下：
.
对应的家庭收入数据如下：
.
（Ⅰ）根据国家发改委的指示精神，该市计划实施阶阶梯电价，使的用户在第一档，电价为元/；的用户在第二档，电价为元/；的用户在第三档，电价为元/，试求出居民用电费用与用电量间的函数关系；
（Ⅱ）以家庭收入为横坐标，电量为纵坐标作出散点图（如图），求关于的回归直线方程（回归直线方程的系数四舍五入保留整数）.
（Ⅲ）小明家的月收入元，按上述关系，估计小明家月支出电费多少元？
参考数据：
，，，，.
参考公式：
一组相关数据，，…，的回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，其中，为样本均值.
20．已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）设，证明：
对任意，.
21．已知椭圆的焦距为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点，连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？
并说明理由.
22．选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为.
（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设平面直角坐标系中的点，经过点倾斜角为的直线与相交于，两点，求的取值范围.
23．选修4-5：
不等式选讲
已知，，，函数.
（Ⅰ）如果，，，求不等式的解集；
（Ⅱ）如果的最小值为，求的最小值.
参考答案
1．D
【解析】
分析：
复数的分子、分母分别按照多项式的运算法则化简，化简复数为的形式即可.
详解：
.
故选：
D.
点睛：
本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力.
2．A
【解析】
3．B
【详解】
试题分析：
当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B．
考点：
特称命题与存在命题的真假判断．
4．D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
5．B
【解析】
由题意知
.
6．A
【分析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：
由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选A．
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
7．B
【解析】
试题分析：
由题，，所以．
试题解析：
由已知，
又因为，
所以，即该家庭支出为万元．
考点：
线性回归与变量间的关系．
8．C
【解析】
如图，，，由椭圆定义得.①在中，.②
由①②得，∴.∴椭圆C的方程为.应选C.
【考点定位】椭圆方程的求解
9．C
【详解】
若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符；
当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.
故选C.
点睛：
本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.
10．A
【解析】
分析：
求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.
详解：
，
当时，.
故选：
A.
点睛：
本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础.
11．C
【解析】
试题分析：
由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，
，选C．
考点：
1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．
12．D
【解析】
分析：
将两个函数作差，得到函数，再求此函数的最小值，即可得到结论.
详解：
设函数，则.
令，，，函数在上单调递增；
令，，，函数在上单调递减.
当时，函数取得最小值为.
故选：
D.
点睛：
本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值.
13．.
【解析】
分析：
首先可得2条直线的交点个数；进而逐一得出3条，4条，……的交点个数，分析总结即可.
详解：
2条直线的交点个数为2个；
3条直线的交点个数为个；
4条直线的交点个数为个；
…
n条直线的交点个数为.
故答案为：
.
点睛：
本题考查归纳推理的运用，注意运用数列的性质来发现其中的规律，并进行计算.
14．.
【解析】
分析：
求导即可.
详解：
，
当时，.
曲线在点处的切线斜率为，
又切点为，
，
即.
故答案为：
.
点睛：
本题主要考查函数的导数的几何意义，以及直线的点斜式方程，正确求导是解题的关键，属于基础题.
15．.
【解析】
分析：
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得，再求出的值即可.
详解：
依题设P在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为F，则，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为，
则点P到点的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
.
故答案为：
.
点睛：
本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想.
16．或.
【解析】
分析：
计算对立面，即关于的方程，，没有实数根，再取其补集.
详解：
计算对立面，即关于的方程，，没有实数根，
则，解得.
关于的方程，，至少有一个有实数根，的取值范围是或.
故答案为：
.
点睛：
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，计算对立面是解本题的关键.
17．（Ⅰ），．（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）求出，利用，列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得的最大值为，由解不等式即可得结果.
【详解】
（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；当时，；
当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，
的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以 ，解得 或，因此的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
18．
（1）表格见解析；没有90%的把握认为抢到红包的个数与手机品牌有关．
（2）.
【解析】
分析：
（I）根据表中数据做出列表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观
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