第六篇山东高考试题立体几何汇编.docx

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第六篇山东高考试题立体几何汇编

第六篇立体几何

1.（2007

）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④2,。

（2007）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱1111ABCDA

BC

D-中，已知122DCDDADAB===，ADDC⊥，

ABDC∥．

（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：

1DE∥平面11ABD；（Ⅱ）求二面角11ABDC--的余弦值．

3.（2008）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（D（A9π（B）10π（C11ππ

4.（2008）（本小题满分12分

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC∠=︒,E，F分别是BC,PC的中点.

（Ⅰ）证明：

AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为2

求二面角E—AF—C的余弦值.

①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥B

DA

1A1D

1C

1B

E

5（2009.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（.

A.2π+

B.4π+

C.2π

D.4π+

6.（2009.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“mβ⊥”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（2009（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB

的中点。

（1）证明：

直线EE1//平面FCC1；

（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。

8.（2010在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行9.（2010（本小题满分12分）如图，在五棱锥P—ABCDE中，⊥PA平面ABCDE，AB//CD，AC//ED，AE//BC，

42,

22,45===︒=∠AEBCABABC，三角形PAB

是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：

平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。

侧（左视图

正（主视图E

E1AB1

1

D

10.（2011）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：

①存在三棱柱，其正（主视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正（主视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是

（A）3（B）2（C）1（D）011.（2011（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD

为平行四边形，

90ACB∠=︒，EA

⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC,2ABEF=.

（Ⅰ若M是线段AD的中点，求证：

GM∥平面ABFE;（Ⅱ）若2ACBCAE==,求二面角ABFC--的大小．

12.（2012如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

（A6（B9（C12（D18

13.（2012已知三棱锥SABC-的所有顶点都在球O的求面上，ABC∆是边长为1的正三角形，

SC为球O的直径，且2SC=；则此棱锥的体积为（）

（

A（B（C（D14.（2012（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABCABC-中，11

2

ACBCAA==

，D是棱1AA的中点，BDDC⊥1

（1）证明：

BCDC⊥1

（2）求二面角11CBDA--的大小。

C

D

2007解法一：

（Ⅰ）连结BE，则四边形DABE为正方形，

11BEADAD∴==，且11BEADAD∥∥，

∴四边形11ADEB为平行四边形．11DEAB∴∥．

又1DE⊄平面1ABD，1AB⊂平面1ABD，

1DE∴∥平面1ABD．

（Ⅱ）以D为原点，1DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，不妨设1DA=，则（000D，，，（100A，，，（110B，，，（022C，，，1（102A，，，

1（102DA∴=，，，（110DB=，，，

设（xyz=，，n为平面1ABD的一个法向量．

由1DA⊥n，DB⊥n，得200.

xzxy+=⎧⎨

+=⎩，

取1z=，则（231=-，

，n．又2（023DC=，，，（110DB=，，，

设111（xyz=，，m为平面1CBD的一个法向量，由DC⊥m，DB⊥m，得11112200.

yzxy+=⎧⎨

+=⎩，

取11z=，则（1

11=-，，m，设m与n的夹角为a，二面角11ABDC--为θ，显然θ为锐角，

cosθ∴=

==mnmn．B

A

1A1D

1C

1B

cos3

θ∴=

，即所求二面角11ABDC--

的余弦为3

．解法二：

（Ⅰ）以D为原点，1DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设DAa=，由题意知：

（000D，，，（00Aa，，，（0Baa，，，（020Ca，，，1（022Caa，，，1（02Aaa，，，1（002Da，，，（00Ea，，．

1（02DEaa∴=-，，，1（02DAaa=，，，（0DBaa=，，

，又（02（0（02aaaaaa-=-，，

，，，，，1DEDBDA∴=-．

1DADB⊂，平面1ABD，1DE⊄平面1ABD，

1DE∴∥平面1ABD．

（Ⅱ）取DB的中点F，1DC的中点M，连结1AF，FM，由（Ⅰ）及题意得知：

022aaF⎛⎫

⎪⎝⎭

，，（0Maa，，，1222aaFAa⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，，，22aaFMa⎛⎫

=-⎪⎝⎭，，

12（0022aaFADBaaa⎛⎫

=-=⎪⎝⎭，，，，，

（0022aaFMDBaaa⎛⎫

+=-+=⎪⎝⎭

，，，．

1FADB∴⊥，FMDB⊥，1AFM∴∠为所求二面角的平面角．

111cosFAFMAFMFAFM

∴=

∠

2

aaaaaa⎛⎫⎛

⎫--⎪

⎪=，，，，22

2

2

32

aaa--+==．所以二面角11ABDC--的余弦值为3

．解法三：

（Ⅰ）证明：

如解法一图，连结1AD，AE，设1

1ADADG=，AE

BDF=，连结GF，

由题意知G是1AD的中点，又E是CD的中点，

∴四边形ABED是平行四边形，故F是AE的中点，∴在1AED△中，1GFDE∥，

又GF⊂平面1ABD，1DE⊄平面1ABD，

1DE∴∥平面1ABD．

（Ⅱ）如图，在四边形ABCD

中，设ADa=，ABAD=，ADDC⊥，ABDC∥，ADAB∴⊥．故BD=

，由（Ⅰ）得

2222222BCBEECaaa=+=+=，2DCa=，90DBC∴=∠，即BDBC⊥．

又1BDBB⊥，

BD∴⊥平面11BCCB，又1BC⊂平面11BCCB，

1BDBC∴⊥，

B

D

1AD

1C

1B

E

取1DC的中点M，连结1AF，FM，由题意知：

1FMBC∴∥，

FMBD∴⊥．

又11ADAB=，1AFBD∴⊥．

1AFM∴∠为二面角11ABDC--的平面角．

连结1AM，在1AFM△中，由题意知：

1AF=

，112FMBC==，取11DC的中点H，连结1AH，HM，在1RtAHM△中，

1AH=，HMa=

，1

AM∴．222

1111cos2AFFMAMAFMAFFM+-∴=

∠

22

2

933

aa

a+-=3

=

∴二面角11ABDC--的余弦值为

3

．2008（Ⅰ）证明：

由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面

PAD，又PD⊂平面PAD.所以AE⊥PD.

（Ⅱ）解：

设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE

所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA

=

2

AEAHAH==因此AH

又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以PA=2.

解法一：

因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°

=

2

，AO=AE·cos30°=32,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°

=

4

又

4

SE==

=在Rt△ESO中，cos∠

ESO=SOSE==

解法二：

由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B

-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E

0，0），

F

（

1

122

）

，所以

1,1.22

AEAF==设平面AEF的一法向量为111（,,,mxyz=

则0,0,

mAEmAF⎧=

⎪⎨=⎪

⎩因此11110,1

0.2

xyz=++=取

11,（0,2,1,zm=-=-则

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，

故BD为平面AFC的一法向量.

又BD=（），所以cos＜m,

BD＞

=

||||mBDmBD==

因为二面角E-AF-C为锐角，2009解法一：

（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CD=//

A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为1EE⊄平面FCC1，1CF⊂平面FCC1，所以直线EE1//平面FCC1.

（2）因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥

E

C

E1AB1

1

D

BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC1-C的一个平面角,在△BCF为正三角形中

OB=在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵

11OPOFCCCF=

∴22OP==

在Rt△OPF中

BP===

cosOPOPBBP∠===所以二面角B-FC1-C

.解法二:

（1）因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,,则D（0,0,0）,A

）,F

）,C（0,2,0）,

C1（0,2,2）,E

（

12

-,0）,E1（

11

12

EE=-,1,0CF=-,1（0,0,2CC=1（,2FC=设平面CC1F的法向量为（,,nxyz=则10

nCFnCC⎧⋅=⎪⎨

⋅=⎪⎩所以00yz-==⎪⎩取（1n=,则11

110022

nEE⋅=

-⨯=,所以1nEE⊥,所以直线EE1//平面FCC1.

（2）（0,2,0FB=,设平面BFC1的法向量为1111（,,nxyz=,则1110

0nFBnFC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以

1111020

yyz=⎧⎪

⎨

++=⎪⎩,取1n=,则121002nn⋅=⨯+=,||2n==,1||n==,

所以111cos,||||nnnnnn⋅〈〉=

==,由图可知二面角B-FC1-C为锐角,所以二面角

EA

B-FC1-C的余弦值为7.7w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2010）本小题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。

（Ⅰ）证明：

在DABC中，因为ÐABC=45°，BC=4，AB=22所以AC=AB+BC-2AB×BC×cos45=8222P因此AC=22故BC=AC+AB222EACBD所以ÐBAC=900又PA^平面ABCDE，AB//CD，所以CD^PA,CD^AC又PA，ACÌ平面PAC，且PA∩AC=A，所以CD^平面PAC，又CDÌ平面PCD，所以平面PCD^平面PAC。

（Ⅱ）解法一：

因为DAPB是等腰三角形，所以PA=AB=22因此PB=PA2+AB2=4又AB//CD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离。

由于CD^平面PAC，在RtDPAC中，PA=22,AC=22所以PC=4故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离，所以B到平面PCD的距离为h=2.设直线PB与平面PCD所成的角为q，则sinq=又qÎ[,0所以q=ph21==，PB42]p.62解法二：

由（Ⅰ）知AB，AC，AP两两相互垂直，

分别以AB，AC，AP为x轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于DPAB是等腰三角形，所以PA=AB=22又AC=22，因此A（0,0,0,B（22,0,0,C（0,22,0,P（0,0,22因为AC//DE，CD^AC，所以四边形ACDE是直角梯形，因为AE=2,ÐABC=450,AE//BC所以ÐBAE=135因此ÐCAE=4500zPEACBD20故CD=AE×sin45=2´=22所以D（-2,22,0因此CP=（0,-22,22,CD=（-2,0,0设m=（x,y,z是平面PCD的一个法向量，则m×CP=0,m×CD=0解得x=0,y=z取y=1,得m=（0,1,1又BP=（-22,0,22设q表示向量BP与平面PCD的法向量m所成的角，则cosq=所以q=yxm×BP|m||BP|=12p3因此直线PB与平面PCD所成的角为（Ⅲ）因为AC//ED，CD^AC所以四边形ACDE是直角梯形p.6

因为AE=2,ÐABC=450,AE//BC，所以ÐBAE=135因此ÐCAE=4500故CD=AE×sin45=2´02=222=22ED=AC-AE×cos450=22-2´2+22´2=3.2所以S四边形ACDE=又PA^平面ABCDE，所以VP-CDE=1´3´22=2232012B2012A2012

（1）在RtDDAC中，AD=AC得：

ÐADC=45°°°同理：

ÐA1DC1=45ÞÐCDC1=90得：

DC1^DC,DC1^BDÞDC1^面BCDÞDC1^BC

（2）DC1^BC,CC1^BCÞBC^面ACC1A1ÞBC^AC取A1B1的中点O，过点O作OH^BD于点H，连接C1O,C1HA1C1=B1C1ÞC1O^OH^BDÞ1CH^，面AB11A1B1C1^面A1BDÞC1O^面A1BDH与点D重合B得：

点D且ÐC1DO是二面角A1-BD-C1的平面角设AC=a，则C1O=2a，C1D=2a=2C1OÞÐC1DO=30°2°既二面角A1-BD-C1的大小为30