特殊角的三角函数.docx

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特殊角的三角函数

第一课时

课题锐角三角函数

教学目标

一.知识与能力：

初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

二.方法与过程：

逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。

三.情感、态度与价值观：

提高学生对几何图形美的认识。

1．教学重点:

正弦，余弦，正切概念

2．教学难点:

用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切

（三）教学程序

一．探究活动

1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。

2．归纳三角函数定义。

siaA=

cosA=

tanA=

3例1.求如图所示的Rt

⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。

B

4.学生练习P21练习1，2，3

二．探究活动二

1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia30°cos45°tan60°

归纳结果

30°

45°

60°

siaA

cosA

tanA

2.求下列各式的值

（1）sia30°+cos30°

（2）

sia45°-

cos30°

（3）

+ta60°-tan30°

三．拓展提高

1.如图，在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=

AC=2

求AB

四．小结

五．作业

课本p79练习

第二课时

课题解直角三角形应用

（一）

 教学目标

（一）知识与能力：

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

（二）方法与过程：

 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）情感、态度与价值观：

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

教学重点：

直角三角形的解法．

教学难点：

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

教学疑点：

学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

教学方法：

学生学法：

教学过程

（一）知识回顾

1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系sinA=

cosA=

tanA

（2）三边之间关系a2+b2=c2（勾股定理）

（3）锐角之间关系∠A+∠B=90°．

（二） 探究活动

1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？

激发了学生的学习热情．

 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？

”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？

（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形）．

 3．例题评析

 例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=

a=

，解这个三角形．

 例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=20

=35

，解这个三角形（精确到0.1）．

例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．

（三）巩固练习

 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，

的平分线AD=4

，解此直角三角形。

（四）总结与扩展

 请学生小结：

1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素．

2、解决问题要结合图形。

（五）、布置作业

第三课时

解直三角形应用

（二）

 教学目标

（一）、知识与能力：

使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．

（二）、方法与过程：

逐步培养分析问题、解决问题的能力．

（三）情感、态度与价值观：

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

教学重点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．

教学难点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．

 教学方法：

学生学法：

教学过程：

（一）回忆知识

1．解直角三角形指什么？

2．解直角三角形主要依据什么？

（1）勾股定理：

a2+b2=c2

（2）锐角之间的关系：

∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系：

tanA=

（二）新授概念 

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图（6-16），某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）

解：

在Rt△ABC中sinB=

AB=

=

=4221（米）

答：

飞机A到控制点B的距离约为4221米．

（三）．巩固练习：

练习

（四）总结与扩展

 请学生总结：

本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．

（五）、布置作业

第四课时

解直三角形应用（三）

教学目标

（一）知识与能力：

使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

（二）能力目标：

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）情感目标：

渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．

教学重点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

教学难点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

教学方法：

学生学法：

教学过程：

1．导入新课

上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．

2．例题分析

例1．如图6-21，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，∠A-26°，

求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长（精确到0.01米）．

分析：

上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？

 例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65

方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34

方向上的B处。

这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？

．

引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？

 3、巩固练习

 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）． 

（三）总结与扩展

请学生总结：

通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．

本课涉及到一种重要教学思想：

转化思想．

4、布置作业

第五课时

解直三角形应用（四）

教学目标

（一）知识与能力

使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．

（二）方法与过程：

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）情感、态度与价值观：

培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．

教学重点：

把等腰梯形转化为解直角三角形问题；

教学难点：

如何添作适当的辅助线．

教学方法：

学生学法：

教学过程

1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．

2．例题

例燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）．

分析：

（1）引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．

（2）让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．

例题小结：

遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．

3．巩固练习

如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD（精确到0.01米）．

分析：

（1）请学生审题：

因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．

（2）学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．

4、小结

请学生作小结，教师补充．

本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．

5、布置作业

 第六课时

解直三角形应用（五） 

教学目标

（一）知识与能力

巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．

（二）方法与过程：

逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．

（三）情感、态度与价值观：

培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．

教学重点：

能熟练运用有关三角函数知识．

教学难点：

解决实际问题．

教学疑点：

株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．

教学方法：

学生学法：

教学过程

1．探究活动一

（1）教师出示投影片，出示例题．

例1如图6-29，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．

（2）．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形

已知：

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．

（3）．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．

答：

斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

 2．探究活动二

例2如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远（精确到0.1m），正好能使A、C、E成一条直线？

由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。

解：

要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．

∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．

∴DE=BD·cosD

=520×0.6428=334.256≈334.3（m）．

答：

开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，

3、练习P95练习1，2。

4、小结与扩展

教师请学生总结：

在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．

 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案。

四、布置作业

课本习题P979，10

第七课时

解直三角形应用

一、

教学目标：

（一）知识与 能力

巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．

（二）方法与过程：

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。

（三）情感、态度与价值观：

培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点． 

教学重点：

解决有关坡度的实际问题． 

教学难点：

理解坡度的有关术语．

教学疑点：

对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．

教学方法：

学生学法：

教学过程

1．创设情境，导入新课．

例同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：

如图6-33

水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．

 介绍概念：

坡度与坡角

2．讲授新课

引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．

解：

作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

∴AE=3BE=3×23=69（m）．

FD=2.5CF=2.5×23=57.5（m）．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5（m）．

因为斜坡AB的坡度i＝tan

＝

≈0.3333，查表得

α≈18°26′

答：

斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

3．巩固练习

 教材P124.2

 4、总结与扩展

 引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．

1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．

2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．

3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．

4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．

四、布置作业

1．看教材，培养看书习惯，作本章小结．

2．课本习题P96第5，8题