数学中考专题等腰三角形.docx

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数学中考专题等腰三角形

课题21　等腰三角形

A组　基础题组

一、选择题

1.（2018河北中考）已知:

如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:

点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是（　　）

A.作∠APB的平分线PC交AB于点C

B.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC

C.取AB中点C,连接PC

D.过点P作PC⊥AB,垂足为C

2.（2017邢台一模）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）

A.三条高的交点

B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条边的垂直平分线的交点

3.（2017邯郸模拟）下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）

A.∠A=30°,∠B=60°

B.AB=5,AC=12,BC=13

C.∠A=50°,∠B=80°

D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD=（　　）

A.36°B.54°C.18°D.64°

5.（2018邯郸模拟）如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,若CD=2,AB=8,则△ABD的面积是　（　　）

A.6B.8C.10D.12

6.（2018承德模拟）如图,已知P是∠AOB的角平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,点C是OB上的一个动点,若PC的最小值为3cm,则MD的长度为（　　）

A.3cmB.4cmC.2.5cmD.2cm

二、填空题

7.如图,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为　　　　. 

8.（2017石家庄模拟）如图,已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP=　　　　时,△AOP为等边三角形. 

9.（2018石家庄高邑期末）如图,已知△ABC的周长是24,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,则△ABC的面积是　　　　. 

10.（2018承德模拟）三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠3=60°,则∠1+∠2=　　　　. 

三、解答题

11.（2018保定一模）如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点E在BC边上.

（1）求证:

△ACD≌△ABE;

（2）若∠CDE=60°,求∠AEB的度数.

12.（2017秦皇岛模拟）如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.

（1）求∠F的度数;

（2）若CD=2,求DF的长.

B组　提升题组

一、选择题

1.（2018廊坊安次二模）如图,△ABC是等边三角形,点P是三角形内的任意一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周长为12,则PD+PE+PF=（　　）

A.12B.8C.4D.3

2.（2017河北中考）如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域.甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向

是（　　）

A.北偏东55°B.北偏西55°

C.北偏东35°D.北偏西35°

3.（2018黑龙江中考）如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为（　　）

A.15B.12.5C.14.5D.17

二、填空题

4.（2018德州中考）如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为　　　. 

5.（2017石家庄模拟）已知等边三角形ABC的两个顶点坐标为A（-3,0）,B（3,0）,则点C的坐标为　　　　. 

三、解答题

6.（2018唐山丰南一模）如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,AD+EC=AB.

（1）求证:

△DEF是等腰三角形;

（2）当∠A=40°时,求∠DEF的度数;

（3）当∠A为多少度时,△DEF是等边三角形?

答案精解精析

A组　基础题组

一、选择题

1.B　无论作∠APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PC⊥AB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.

2.D　3.C　

4.B　∵AB=AC,∠ABC=72°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=36°.∵BD⊥AC,∴∠ABD=90°-36°=54°.故选B.

5.B　如图,过点D作DE⊥AB于E,∵AB=8,CD=2,AD是∠BAC的角平分线,∠C=90°,∴DE=CD=2,∴△ABD的面积=

AB·DE=

×8×2=8.故选B.

6.A　当PC⊥OB时PC最小,∵P是∠AOB的平分线上的一点,PD⊥OA,PC⊥OB,∴PD=PC=3cm,∠AOP=30°,∴OP=2PD=6cm,∵PD⊥OA,M是OP的中点,∴DM=

OP=3cm,故选A.

二、填空题

7.

答案　13

解析　∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.

8.a

9.

答案　36

解析　如图,连接OA,∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∴点O到AB,AC,BC的距离都相等,∵△ABC的周长是24,OD⊥BC于D,且OD=3,∴S△ABC=

×24×3=36.

10.

答案　120°

解析　∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,∴∠ABC=180°-60°-60°=60°,∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2,∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°,∴∠1+∠2=120°.

三、解答题

11.

解析　

（1）证明:

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠BAC-∠CAE=∠DAE-∠CAE,

即∠DAC=∠EAB,

在△ACD与△ABE中,

∴△ACD≌△ABE（SAS）.

（2）∵△ACD≌△ABE,

∴∠ADC=∠AEB,

∴∠AEB=∠ADE+∠CDE=45°+60°=105°.

12.

解析　

（1）∵△ABC是等边三角形,

∴∠B=60°.

∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.

∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.

∴∠F=90°-∠EDC=30°.

（2）∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,

∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.

∵∠DEF=90°,∠F=30°,

∴DF=2DE=4.

B组　提升题组

一、选择题

1.C　延长EP、FP分别交AB、BC于G、H,则由PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,可得四边形PGBD,EPHC是平行四边形,∴PG=BD,PE=HC,

又△ABC是等边三角形,由PF∥AC,PD∥AB可得△PFG,△PDH是等边三角形,∴PF=PG=BD,PD=DH,又△ABC的周长为12,∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=

×12=4,故选C.

2.D　

3.B　如图,过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,如图.

∵∠DAB=∠DCB=90°,∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC,∴∠D=∠ABE,

又∵∠DAB=∠CAE=90°,∴∠CAD=∠EAB.

又∵AD=AB,∴△ACD≌△AEB,∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形,∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,

∵S△ACE=

×5×5=12.5,∴四边形ABCD的面积为12.5,故选B.

二、填空题

4.3　5.（0,3

）或（0,-3

）

三、解答题

6.

解析　

（1）证明:

∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵AD+EC=AB,AD+BD=AB,∴BD=EC.

在△DBE和△ECF中,

∴△DBE≌△ECF（SAS）.

∴DE=EF,即△DEF是等腰三角形.

（2）∵∠A=40°,∠B=∠C,

∴∠B=∠C=70°.

∴∠BDE+∠DEB=110°.

∵△DBE≌△ECF,∴∠BDE=∠FEC.

∴∠FEC+∠DEB=110°.

∴∠DEF=70°.

（3）当∠A为60度时,△DEF是等边三角形.

理由:

由

（2）知,∠DEF=∠B.

∵∠DEF=60°,∴∠B=60°.

∵AB=AC,

∴△ABC是等边三角形.

∴∠A=60°.