计算流体力学总复习.docx

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计算流体力学总复习

计算流体力学课程复习提细

考试对间：

6月7目下午2:

30

考试地点：

8201

绪论

计算流体力学是一门新兴学科、交叉学科。

它是20世纪60年代伴随着计算机科学迅速崛起而形成的，是通过数值模拟和可视化处理，对流体流动和热传导等相关物理现彖进行计算机数值分析和研究的一门力学分支学科。

一般研究与解决流体动力学问题的方法有三种：

一是进行实验测量研究，二是理论分析研究，三是数值模拟计算。

实验研究是进行大量实验，并对所得数据进行分析，总结出流动的规律。

理论研究是运用基本概念、定律和数学工具，把握问题的主要因素，忽略次要因素，选取某种抽象或建立简化模型,作定量分析，从而获得规律和结果，给出所研究问题的解析解或简化方程。

（数学问题）

数值模拟方法是在计算机应用基础上，采用各种离散化方法，建立数值模型，通过计算机进行数值计算和实验，得到在时间和空间上许多数据组成的集合体，最终获得描述流场的数值解。

流体力学基本方程组

几个基本概念

连续介质假设：

流体质点连续地充满所在的整个空间，他的宏观流动量应该满足一切宏观物理规律及性质。

流场中的特征尺度比流体分子平均自由程大得多。

牛顿流体与非牛顿流体

在流体力学中描述流体运动的观点和方法主要有两种：

即Lagrange方法和Euler方法。

Lagrange方法着眼于流体的质点，以质点的位移作为基本变量。

主要研究流体质点流动量随时间的变化，分析任意时间立体质点的运动轨迹、速度、压力、密度等。

Euler方法着眼于空间点，以空间点的速度作为基本变量。

主要研究一个指定位置上流动量随时间的变化，分析流体流过指定位置时流体质点的瞬间速度、压力、密度。

推导流体力学基本方程组的基本思路流体力学基本方程组

微分形式的方程组（统一形式）

0（^^）+▽（=▽・（「*▽

>）+S*

J—dV+fpV•ndS=O

%）強分形威的方程组

j0（"）d\z+JpVV-ndS=JpFdV4-Jn•bdS

n（r）&aci（t）n（r）

n（r）

J+JpEV-ndS=j*pFJn（o-V）c/S-Jqnd

n（r）&an（r）n（r）anan

偏微分方程的分类及数学性质

在数学上偏微分方程一般划分为双曲型、抛物型和椭圆型三种类型。

不同类型方程所描述的流动主要特征与物理背景都很不一样，他们的数学性质、定解条件提法和数值算法也大相径庭。

如果有特征方程：

aa2+ba+c=o

当B2-4AC>0时，方程为双曲型方程

当肝—44C二0时，方程为抛物型方程

当肝一44C〈0时，方程为椭圆型方程

定解条件的提法

在数值求解流动的基本方程组时必须给出合适的定解条件。

定解条件分为初始条件和边界条件。

初始条件由特定的流动问题本身来确定。

一般说来，初始条件就是给出某一时刻计算区域内速度、压力和密度的分布。

边界条件比较复杂。

1）刚性壁面（固体壁面）条件

对于无粘流动，壁面满足不可穿透条件v.h=o

对于粘性流动，在固壁面上满足无滑移条件v=o

2）自由面条件

流体与大气之间的界面特别成为自由面。

在自由面上流体随自由面运动。

设自由面方程为

Z=“（X,y,r）或F（x,y,Z0=Z—〃（兀y,f）=0则

p=pa=const

dF

—+—▽F=0

dt

包+m包+卩包=0

dtdxdy

有限差分法

有限差分法的计算步骤

1）求解区域划分为差分网格

2）变量信息存储在网格节点上

3）将偏微分方程的导数用差商代替

4）带入偏微分方程的初始条件和边界条件

5）推导出关于网格节点变量的代数方程组

6）编写程序（如Fortran）求解代数方程组

7）通过计算机获得偏微分方程的近似解有限差分网格

一维情况

二维情况

一阶导数T的几种差分格式近似

dx

前差（竺］=畑—冷+0（心）

Vdx）iAx

（竺］=g=L+o（心）

中心差分f乞］=畑-“1+。

（心2）

Vdx）i2Ax

推导过程:

UM~Ui

—+

Ox）：

62uiAx2

.页+

dx2

65ujAx3葫.页+

如二终

Ax

dx2

Ax2

d2uIAx

.2

理为微分项在节点处的值

V&）：

如土为微分项在节点处的有限差分形式Ar

后面称为截断误差

同理可推导

二阶导数（uQ的中心差分

2）g对空间的一阶导数项，称为对流项

3）g对空间的二阶导数项，称为扩散项

差分格式的构造

-维非恒定热扩散方程，构造其差分格式的不同形式

对流方程ut+aux=O（a是常数），构造其差分格式的不同

形式

例对于-维非定常对流扩散方程牛恃。

（其札为常数）,写出此模型方程时间为全隐格式，对流项为一阶迎风差分格

式，具体写出空间项离散釆用Tayloi•级数展开形式的过程。

解：

釆用Taylor展开空间离散过程:

喲广冒+心（向前差分）

任卜鲁+。

㈣（向后差分）

1•当心0时，一阶迎风格式采用向后差分，则可以得到模型

方程的离散格式:

ArAx

2•当ovo时，一阶迎风格式采用向前差分，则可以得到模型

方程的离散格式：

差分方程有效性分析

一个偏微分方程可以得到不同的差分方程。

但不同的差分方程和原偏微分方程有完全不同的对应关系，它们有不同的数学性质，数值结果也不完全相同。

因此，有些差分方程是有效和可靠的，有些则在一定条件下是有效和可靠的，有些则完全无效。

相容性、收敛性和稳定性

相容性是考虑差分方程与其微分方程的近似性。

收敛性是考虑差分方程解与其微分方程解的近似性。

稳定性是讨论数值解计算每一步产生的数值误差对后来步的计算的影响。

差分方程相容性是讨论当心TO、Af—O时，差分方程逼近于偏微分方程的程度差分格式的稳定性分析

将微分方程的解展开为Fouier级数，即解由无穷多个单波叠加而成。

"工比少®其中波=—,兄为波长，

k2

人为波数为k的单波振幅，⑵为圆频率，纯虚数

”=Z辱2"=Z入严严=zE（少如

kkk

Bk（t）=A/"表示波数为殆勺单波在时亥片的振幅

*_严

cosa=sina=-/

22

ic（•—ia•

e=cosa+zsuicre=cosa-isma

例对流方程的FTBS>FTFS、FTCS、Lax-Friedrich、全隐格式、Leap-Frogscheme（蛙跳格式）等差分格式的稳定性分析

例题一维对流方程的Leap-FrogScheme格式为：

/i+l//-Inn

d如如=0,写出此格式的放大因子G和|G|放大系2△/2心

数，并根据放大系数判断此格式的稳定条件。

解：

格式为：

卄1H-i3/nn\甘rH?

△/

比=ut_几（如厂如具甲：

&=牡

采用Fourier展开表达：

进一步可以得到:

B"=BT-^Bnk（严—g）=

令：

a=-i2/lsin（AAx）

a1

£.

10

则可以得到:

则放大因子为:

进一步求岀它的特征值:

°可以求出:

则放大系数：

|<|=22sin2应匕+1-才sin2k\x

l-/l2siii2Z:

A¥>0

即为：

园=问二<1即为稳定性条件

有限差分离散的数值效应

数值效应：

在数值求解微分方程问题时，以一个有限自由度的离散模型逐时间步地求解原来时空皆连续的系统，使原来系统的物理性质受到某些歪曲甚至破坏。

数值耗散效应：

由于截断误差存在偶阶导数项而引起解的振幅衰减现象。

（非物理的耗散效应）

流动本身所固有的耗散，例如N-S方程中粘性耗散项，称为物理耗散效应。

数值色散效应：

由于截断误差存在奇阶导数项，引起的相位变化。

一般说来长波的色散效应小，短波的色散效应大。

有限体积法

有限体积法（FiniteVolumeMethod,FVM）又称控制容积积分法。

有限差分法是从流体力学基本方程组微分形式出发的。

有限体积法是从流动方程组积分形式出发的。

有限体积法是在有限差分法基础上，吸收了有限单位算法中一些思路和做法逐步发展起来的。

它的网格划分方法和有限差分法类似，而它的控制体单元思想和局部近似离散做法，又和有限单元法的加权余量法十分相似。

有限体积法基本思路：

把计算区域近似离散成有限个互不重叠的网格。

围绕每个网格点取一系列互不重叠的控制体单元，在每个控制体单元中只包含一个节点。

并把待求流动量设置在网格节点上，然后利用流动量守恒律对每个控制体单元进行积分，导出一组离散格式。

对它进行求解，得到流

动的数值解。

控制体单元的构造方法

（1）单元中心型控制体单元（Cell-centered）：

控制单元直接由网格单元来构成，网格单元的边就是控制体单元的边，计算节点放在控制体单元的中心，流动量放在控制体单元的中心。

（2）节点中心型控制体单元（Node-centered）：

首先定义节点位置，围绕它构造控制体单元。

控制体单元可以直接由相邻网格单元形心来构造或形心与他们各边的中点依次连线来构造。

流动量在节点上。

计算网格设置

一维

二维（交错网格）

面积分近似计算

己知数值矢通量f在e表面的分布

（1）

取平均值:

Fe=\fds=fSe一阶精度

Se

（2）

（3）

取三个点T心扑伉”*）三阶精度

状态变量分布的近似

用有限体积法推导离散化方程时，必须确定物理量的局部分布，这是历史过程极为重要的一步，不仅关系到守恒性

是否保持，而且关系到算法的精度。

（1）梯形分布。

一阶格式（迎风）0=如或九

（2）分段线性分布。

二阶精度。

丄

中心差分格式e严飞~

（3）抛物线分布。

三阶精度

入_3丛J1以

QUICK格式0二§如+§九_§0比

-维定常对流扩散问题

对方程在控制体上积分:

令F=pu,表示单元面上的对流质量通量

D=£,表示单元界面上的扩散传导率=>FQe一F、、札=De（如-如）-D、®p-如）令P尸十聞七=普,表示对流与扩散的程度比若对流项采用中心差分格式为:

二你虫严一化如严=2（如-如）-2（如-血）

+

如=

b+字

血+

<2丿

<2丿

12丿

<2）

因为流动满足连续性条件，所以有警U

在控制体上积分整理可得Fe-Fw=0

方程写成通式为:

QpOp=弧，血+QeOea\v=d«+~yaE=D厂亏

Clp=+ClE

-维有源项的瞬态对流扩散问题

O（Q0）丄6（刊0）_d（讪、丄Y~dx}

其中时间采用全隐格式，空间采用中心差分格式。

对模型方程在控制体内进行积分:

f+Af

f

1.对瞬态项进行积分:

□警沐J

5AV

2.对对流项进行积分:

3.

4.对扩散项进行积分：

（5（00）"I,

——/—dV・dt

匕去Idx）.

f+4rzr八/r八-

=f

*!

LI^）e办丿―

护17八/八_

米用中心差分：

=JT-（如-如）-—（如-如）•力t丿eI。

兀丿w-

f+A/

=j[2（九-如）-2（如-九）_d

5.对源项进行积分:

r+A/

JjSdtdV=j（Sc+Sp（/）p）bV・dtt

6.对于上述的时间积分，釆用加权处理：

f+d\ydt=[纱曲一（1一&）y"如，其屮0W0W1t

（1）当&=0时，即为显式时间积分方案

（2）当&=1时，即为全隐式时间积分方案

（3）当&=1/2时，即为Crai±-Nicolson时间积分方案

（4）当one时，即为隐式时间积分方案

二维问题的离散

压力■速度耦合问题的有限体积法

普通网格若遇压力场为棋盘式分布时，压力计算处处为Oo事实不符。

引用交错网格，会解决此类问题。

求解二维压力■速度耦合问题的离散方程时，若采用分离式求解法，方程组中没有关于压力的独立控制方程。

直接对方程组中各方程离散无法单独求解压力场。

可通过由连续性方程推导出的压力修正方程循环迭代，基本算法成为SIMPLE算法。

它的基本步骤如下：

（1）假设一个压力分布P*。

（2）求解动量方程组得到速度近似值£和b。

（3）求解由连续性方程导岀的压力修正方程，得到压力修正值P。

（4）根据压力修正值计算压力、速度改进值，即

Pi,j=Pu+Pij

V/,J=uhj+d/j（P/,z-P/J

（5）解其他场变量0的离散输运方程。

（6）重复2-5过程，直至p、a、v、©收敛。

例在图中所示的情形中，已知:

pw=609几=40,%=7,叫=21。

又给定％=0.7（兀-几），匕=0・6（Ps—卩尸）。

以上各量的单

位都是协调的。

试采用SIMPLE算法确定几,

叫和匕的值

QN

解：

假设：

/<=1°

则：

叮=0.7（心—pj=35G

w

盯=0.6（Ps-Pp）=18

由图示连续性方程为：

匕=叫+%+匕

按SIMPLE算法：

%=冷:

+叫，'=35+0J（pw~pP'）

匕=叫"+匕=18+0.6（pJ—PP'）

由于已知，即几"。

，久〜。

将上述方程代入连续性方程可得到：

60—1.3pJ=21

由此得：

p/=30

则：

如,=35+0.7（pJ—pP*）=14

匕=18+0.6（pJ—PJ）=O

4-O（Ajv2）

差分方程

偏微分方程一般含有多个导数项

1）5对时间的一阶导数项，称为非定常项（瞬态项、

非恒定项）

取两个角点Pe=\fds=\Se（fne+人）二级精度

Se2