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1、计算流体力学总复习计算流体力学课程复习提细考试对间：6月7目下午2:30考试地点：8201绪论计算流体力学是一门新兴学科、交叉学科。它是20世 纪60年代伴随着计算机科学迅速崛起而形成的，是通过数 值模拟和可视化处理，对流体流动和热传导等相关物理现彖 进行计算机数值分析和研究的一门力学分支学科。一般研究与解决流体动力学问题的方法有三种：一是进 行实验测量研究，二是理论分析研究，三是数值模拟计算。实验研究是进行大量实验，并对所得数据进行分析，总 结出流动的规律。理论研究是运用基本概念、定律和数学工具，把握问题 的主要因素，忽略次要因素，选取某种抽象或建立简化模型, 作定量分析，从而获得规律和结果

2、，给出所研究问题的解析 解或简化方程。（数学问题）数值模拟方法是在计算机应用基础上，采用各种离散化 方法，建立数值模型，通过计算机进行数值计算和实验，得 到在时间和空间上许多数据组成的集合体，最终获得描述流 场的数值解。流体力学基本方程组几个基本概念连续介质假设：流体质点连续地充满所在的整个空间， 他的宏观流动量应该满足一切宏观物理规律及性质。流场中 的特征尺度比流体分子平均自由程大得多。牛顿流体与非牛顿流体在流体力学中描述流体运动的观点和方法主要有两种： 即Lagrange方法和Euler方法。Lagrange方法着眼于流体的质点，以质点的位移作为 基本变量。主要研究流体质点流动量随时间的变

3、化，分析任 意时间立体质点的运动轨迹、速度、压力、密度等。Euler方法着眼于空间点，以空间点的速度作为基本变 量。主要研究一个指定位置上流动量随时间的变化，分析流 体流过指定位置时流体质点的瞬间速度、压力、密度。推导流体力学基本方程组的基本思路 流体力学基本方程组微分形式的方程组（统一形式）0（） + （ = （*）+ S*J dV + f pV ndS = O%）強分形威的方程组j 0（）dz + J pVV - ndS = J pFdV 4- J n bdSn（r） & aci（t） n（r） 0时，方程为双曲型方程当肝44C二0时，方程为抛物型方程当肝一 44C 0时，方程为椭圆型方程

4、定解条件的提法在数值求解流动的基本方程组时必须给出合适的定解 条件。定解条件分为初始条件和边界条件。初始条件由特定的流动问题本身来确定。一般说来，初 始条件就是给出某一时刻计算区域内速度、压力和密度的分 布。边界条件比较复杂。1） 刚性壁面（固体壁面）条件对于无粘流动，壁面满足不可穿透条件 v.h = o对于粘性流动，在固壁面上满足无滑移条件v = o2） 自由面条件流体与大气之间的界面特别成为自由面。在自由面上流体随自由面运动。设自由面方程为Z = “（X, y, r）或 F（x, y, Z0 = Z（兀 y, f） = 0 则p = pa = constdF+ F = 0dt包+ m包+卩

5、包=0dt dx dy有限差分法有限差分法的计算步骤1） 求解区域划分为差分网格2） 变量信息存储在网格节点上3） 将偏微分方程的导数用差商代替4） 带入偏微分方程的初始条件和边界条件5） 推导出关于网格节点变量的代数方程组6） 编写程序（如Fortran）求解代数方程组7） 通过计算机获得偏微分方程的近似解 有限差分网格一维情况二维情况一阶导数T的几种差分格式近似dx前差（竺=畑冷+ 0（心）V dx ）i Ax（竺=g=L+o （心）中心差分f乞=畑-“1 +。（心2）V dx ）i 2 Ax推导过程:UM Ui+Ox）：62u i Ax2.页+dx265u j Ax3 葫.页+如二终Ax

6、dx2Ax2d2u I Ax.2理为微分项在节点处的值V & ）：如土为微分项在节点处的有限差分形式 Ar后面称为截断误差同理可推导二阶导数（uQ的中心差分2） g对空间的一阶导数项，称为对流项3） g对空间的二阶导数项，称为扩散项差分格式的构造-维非恒定热扩散方程，构造其差分格式的不同形式对流方程ut+aux=O （a是常数），构造其差分格式的不同形式例对于-维非定常对流扩散方程牛恃。（其札为常数）, 写出此模型方程时间为全隐格式，对流项为一阶迎风差分格式，具体写出空间项离散釆用Tayloi级数展开形式的过程。解：釆用Taylor展开空间离散过程:喲广冒+心（向前差分）任卜鲁+。（向后差分）

7、1当心0时，一阶迎风格式采用向后差分，则可以得到模型方程的离散格式:Ar Ax2当ovo时，一阶迎风格式采用向前差分，则可以得到模型方程的离散格式：差分方程有效性分析一个偏微分方程可以得到不同的差分方程。但不同的差 分方程和原偏微分方程有完全不同的对应关系，它们有不同 的数学性质，数值结果也不完全相同。因此，有些差分方程 是有效和可靠的，有些则在一定条件下是有效和可靠的，有 些则完全无效。相容性、收敛性和稳定性相容性是考虑差分方程与其微分方程的近似性。收敛性是考虑差分方程解与其微分方程解的近似性。稳定性是讨论数值解计算每一步产生的数值误差对后 来步的计算的影响。差分方程相容性是讨论当心TO、A

8、f O时，差分方程逼 近于偏微分方程的程度 差分格式的稳定性分析将微分方程的解展开为Fouier级数，即解由无穷多个 单波叠加而成。工比少其中波= ,兄为波长，k 2人为波数为k的单波振幅，为圆频率，纯虚数”=Z辱2 = Z入严严=z E（少如k k kBk（t）= A/表示波数为殆勺单波在时亥片的振幅* _严cosa = sina = -/ 2 2ic（ ia e = cosa + zsuicr e = cosa-isma例对流方程的 FTBS FTFS、FTCS、Lax-Friedrich、全 隐格式、Leap-Frog scheme （蛙跳格式）等差分格式的稳定 性分析例题一维对流方程的

9、Leap-Frog Scheme格式为：/i+l /-I n nd如如=0,写出此格式的放大因子G和|G|放大系 2/ 2心数，并根据放大系数判断此格式的稳定条件。解：格式为：卄 1 H-i 3 / n n 甘 rH ? /比=ut _几（如厂如 具甲：& =牡采用Fourier展开表达：进一步可以得到:B = BT-Bnk (严g) =令：a = -i2/lsin(AAx)a 1 .1 0则可以得到:则放大因子为:进一步求岀它的特征值:可以求出:则放大系数：| = 22sin2应匕+1-才sin2kx0即为：园=问二 FQe 一 F、札=De （如-如）-D、p -如） 令P尸十聞七=普,表

10、示对流与扩散的程度比 若对流项采用中心差分格式为:二你虫严一化如严=2（如-如）-2（如-血）+如=b+字血+ 2丿 2丿1 2丿 2 ）因为流动满足连续性条件，所以有警U在控制体上积分整理可得Fe - Fw = 0方程写成通式为:QpOp =弧，血 + QeOe av = d + y aE = D厂亏Clp = + Cl E-维有源项的瞬态对流扩散问题O（Q0）丄 6（刊0）_ d （讪、 丄 Ydx其中时间采用全隐格式，空间采用中心差分格式。对模型方程在控制体内进行积分:f+Aff1.对瞬态项进行积分:警沐J5 AV2.对对流项进行积分:3.4.对扩散项进行积分：（5（ 00） I ,/

11、dVdt匕去I dx）.f+4 r z r 八 / r八-=f*! LI ）e 办丿护17八 /八 _米用中心差分： =J T-（如-如）-（如-如）力 t 丿 e I。兀丿 w -f+A/=j 2（九-如）-2（如-九）_ d5.对源项进行积分:r+A/JjSdtdV = j （Sc + Sp（/）p）bVdt t6.对于上述的时间积分，釆用加权处理：f+d ydt =纱曲 一 （1 一 &）y如，其屮 0 W 0 W1 t（1） 当& = 0时， 即为显式时间积分方案（2） 当&=1时， 即为全隐式时间积分方案（3） 当&=1/2时，即为Crai-Nicolson时间积分方案（4） 当on

12、e时，即为隐式时间积分方案二维问题的离散压力速度耦合问题的有限体积法普通网格若遇压力场为棋盘式分布时，压力计算处处为 Oo事实不符。引用交错网格，会解决此类问题。求解二维压力速度耦合问题的离散方程时，若采用分离 式求解法，方程组中没有关于压力的独立控制方程。直接对 方程组中各方程离散无法单独求解压力场。可通过由连续性 方程推导出的压力修正方程循环迭代，基本算法成为 SIMPLE 算法。它的基本步骤如下：（1） 假设一个压力分布P*。（2） 求解动量方程组得到速度近似值和b。（3） 求解由连续性方程导岀的压力修正方程，得到压 力修正值P。（4） 根据压力修正值计算压力、速度改进值，即Pi,j =

13、 Pu + PijV/,J = uhj +d/j（P/,z - P/J（5） 解其他场变量0的离散输运方程。（6） 重复2-5过程，直至p、a、v、收敛。例在图中所示的情形中，已知:pw=609几=40, %=7,叫=21。又给定 = 0.7(兀-几)，匕=06(Ps 卩尸)。以上各量的单位都是协调的。试采用SIMPLE算法确定几,叫和匕的值Q N解：假设：/ = 1则：叮=0.7(心pj = 35 Gw盯=0.6(Ps-Pp) = 18由图示连续性方程为：匕=叫+ % +匕按SIMPLE算法：% =冷:+ 叫，=35 + 0J(pwpP )匕=叫+ 匕=18 + 0.6(p J PP )由于已知，即几。，久。将上述方程代入连续性方程可得到：60 1.3pJ = 21由此得：p/ = 30则：如,= 35 + 0.7(pJ pP *) = 14匕=18 + 0.6(pJPJ) = O4- O（Ajv2 ）差分方程偏微分方程一般含有多个导数项1）5对时间的一阶导数项，称为非定常项（瞬态项、非恒定项）取两个角点Pe = fds = Se(fne +人)二级精度Se 2